2.4.1拋物線及其標(biāo)準方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解拋物線的定義及焦點、準線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準方程及其推導(dǎo).3.明確拋物線標(biāo)準方程中參數(shù)p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準方程的問題知識點一拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線(2)定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點，設(shè)為M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于11)知識點二拋物線的標(biāo)準方程思考拋物線的標(biāo)準方程有何特點？答案(1)是關(guān)于x，y的二元二次方程，且只有一個二次項，一個一次項，根據(jù)平方項可以確定一次項的取值范圍(2)p的幾何意義是焦點到準線的距離梳理由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準方程有以下幾種形式：y22px(p>0)，y22px(p>0)，x22py(p>0)，x22py(p>0)現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的圖形、標(biāo)準方程、焦點坐標(biāo)及準線方程列表如下：標(biāo)準方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形焦點坐標(biāo)準線方程xxyyp的幾何意義焦點到準線的距離(1)拋物線的方程都是二次函數(shù)()(2)拋物線的焦點到準線的距離是p.()(3)拋物線的開口方向由一次項確定()類型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0等于()A1B2C4D8考點拋物線定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案A解析由題意，知拋物線的準線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義，得x0|AF|x0，所以x01，故選A.(2)若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則P點的軌跡方程是()Ay216xBy232xCy216xDy232考點拋物線定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案C解析點P到點(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，將直線x50右移1個單位，得直線x40，即x4，易知點P到直線x4的距離等于它到點(4,0)的距離根據(jù)拋物線的定義，可知P的軌跡是以點(4,0)為焦點，以直線x4為準線的拋物線設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，可得4，得2p16，拋物線的標(biāo)準方程為y216x，即P點的軌跡方程為y216x，故選C.反思與感悟依據(jù)拋物線定義可以實現(xiàn)點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練1(1)拋物線x24y上的點P到焦點的距離是10，則P點的坐標(biāo)為_考點拋物線定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案(6,9)或(6,9)解析設(shè)點P(x0，y0)，由拋物線方程x24y，知焦點坐標(biāo)為(0,1)，準線方程為y1，由拋物線的定義，得|PF|y0110，所以y09，代入拋物線方程得x06.(2)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線l與x軸的交點為M，點P在拋物線上，且|PM|PF|，則PMF的面積為()A4B8C16D32考點拋物線定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案B解析如圖所示，易得F(2,0)，過點P作PNl，垂足為N.|PM|PF|，|PF|PN|，|PM|PN|.設(shè)P，則|t|2，解得t4，PMF的面積為|t|MF|448.類型二求拋物線的標(biāo)準方程例2分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準方程(1)過點(3,2)；(2)焦點在直線x2y40上考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程解(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為y22px或x22py(p0)，又點(3,2)在拋物線上，2p或2p，所求拋物線的標(biāo)準方程為y2x或x2y.(2)當(dāng)焦點在y軸上時，已知方程x2y40，令x0，得y2，所求拋物線的焦點為(0，2)，設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為x22py(p0)，由2，得2p8，所求拋物線的標(biāo)準方程為x28y；當(dāng)焦點在x軸上時，已知x2y40，令y0，得x4，拋物線的焦點為(4,0)，設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為y22px(p0)，由4，得2p16，所求拋物線的標(biāo)準方程為y216x.綜上，所求拋物線的標(biāo)準方程為x28y或y216x.反思與感悟拋物線標(biāo)準方程的求法(1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準方程(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準方程(1)拋物線的焦點是雙曲線16x29y2144的左頂點；(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y3與拋物線交于點A，|AF|5.考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程解(1)雙曲線方程可化為1，左頂點為(3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)且3，p6，拋物線的方程為y212x.(2)設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的方程為y22px(p0)，A(m，3)，由拋物線定義，得5|AF|.又(3)22pm，p1或p9，故所求拋物線方程為y22x或y218x.類型三拋物線的實際應(yīng)用問題例3河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？考點拋物線的標(biāo)準方程題點拋物線方程的應(yīng)用解如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，由題意可知，點B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設(shè)此時船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航反思與感悟涉及拱橋，隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準方程進行求解跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OP1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后落下，若最高點距水面2m，P距拋物線的對稱軸1m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計多長？(精確到1m)考點拋物線的標(biāo)準方程題點拋物線方程的應(yīng)用解如圖所示，以拋物線狀噴泉的最高點為原點，以過原點且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)依題意有P(1，1)在此拋物線上，代入得p，故拋物線方程為x2y.又B在拋物線上，將B(x，2)代入拋物線方程得x，即|AB|，則|OB|OA|AB|1，因此水池的直徑為2(1)m，約為5 m，即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為5 m.1(2017牌頭中學(xué)期中)準線方程為y4的拋物線的標(biāo)準方程是()Ax216yBx28yCx216yDx28y答案C解析由題意可設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，拋物線的準線方程為y4，p8，該拋物線的標(biāo)準方程為x216y，故選C.2以F(1,0)為焦點的拋物線的標(biāo)準方程是()Ax4y2By4x2Cx24yDy24x考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程答案D解析拋物線焦點為F(1,0)，可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，且1，則p2，拋物線方程為y24x.3已知拋物線x24y上的一點M到此拋物線的焦點的距離為2，則點M的縱坐標(biāo)是()A0B.C1D2考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案C解析根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)為(0,1)，準線方程為y1，根據(jù)拋物線定義，得yM12，解得yM1.4一動圓過點(0,1)且與定直線l相切，圓心在拋物線x24y上，則l的方程為()Ax1BxCy1Dy考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案C解析因為動圓過點(0,1)且與定直線l相切，所以動圓圓心到點(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等，又因為動圓圓心在拋物線x24y上，且(0,1)為拋物線的焦點，所以l為拋物線的準線，所以l：y1.5動點P到直線x40的距離比它到點M(2,0)的距離大2，則點P的軌跡方程是_考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案y28x解析由題意可知，動點P到直線x20的距離與它到點M(2,0)的距離相等，利用拋物線定義求出方程1焦點在x軸上的拋物線，其標(biāo)準方程可以統(tǒng)設(shè)為y2mx(m0)，此時焦點為F，準線方程為x；焦點在y軸上的拋物線，其標(biāo)準方程可以統(tǒng)設(shè)為x2my(m0)，此時焦點為F，準線方程為y.2設(shè)M是拋物線上一點，焦點為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑若M(x0，y0)在拋物線y22px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|x0.3對于拋物線上的點，利用定義可以把其到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，也可以把其到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，因此可以解決有關(guān)距離的最值問題一、選擇題1對拋物線y4x2，下列描述正確的是()A開口向上，焦點為(0,1)B開口向上，焦點為C開口向右，焦點為(1,0)D開口向右，焦點為考點求拋物線的焦點坐標(biāo)及準線方程題點求拋物線的焦點坐標(biāo)答案B解析由y4x2，得x2y，所以開口向上，焦點坐標(biāo)為.2已知拋物線y22px(p>0)的準線經(jīng)過點(1,1)，則該拋物線的焦點坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考點求拋物線的焦點坐標(biāo)及準線方程題點求拋物線的焦點坐標(biāo)答案B解析拋物線y22px(p>0)的準線方程為x，由題設(shè)知1，即p2，故焦點坐標(biāo)為，故選B.3已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，2)到焦點的距離為4，則m的值為()A4B2C4或4D12或2考點拋物線的標(biāo)準方程題點拋物線方程的應(yīng)用答案C解析由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為x22py(p>0)，由定義知點P到準線的距離為4，故24，p4，x28y.將點P的坐標(biāo)代入x28y，得m4.4若動圓的圓心在拋物線yx2上，且與直線y30相切，則此圓恒過定點()A(0,2) B(0，3)C(0,3) D(0,6)考點拋物線的標(biāo)準方程題點拋物線方程的應(yīng)用答案C解析直線y30是拋物線x212y的準線，由拋物線的定義，知拋物線上的點到直線y3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)5已知點P是拋物線x24y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|PQ|的最小值為()A7B8C9D10考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用答案C解析拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則|PA|PQ|的最小值為9.故選C.6如果P1，P2，Pn是拋物線C：y24x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1x2xn10，則|P1F|P2F|PnF|等于()An10Bn20C2n10D2n20考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應(yīng)用答案A解析由拋物線的方程y24x可知其焦點為(1,0)，準線為x1，由拋物線的定義可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10，故選A.7已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是()A.B.C.D25考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用答案A解析拋物線的焦點F坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y(x2)由得B點的坐標(biāo)為.|AB|AF|BF|282，AB的中點到準線的距離為.二、填空題8(2017牌頭中學(xué)期中)若拋物線y22px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p_；準線方程為_答案2x19若拋物線y22px(p0)的準線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個焦點，則p_.考點拋物線的標(biāo)準方程題點拋物線方程的應(yīng)用答案2解析雙曲線x2y21的左焦點為(，0)，所以，故p2.10以橢圓1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準方程為_考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的標(biāo)準方程答案y216x解析橢圓的方程為1，右頂點為(4,0)設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為y22px(p>0)，則4，即p8，拋物線的標(biāo)準方程為y216x.11已知P為拋物線y24x上的任意一點，記點P到y(tǒng)軸的距離為d，對于定點A(4,5)，|PA|d的最小值為_考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用答案1解析拋物線y24x的焦點為F(1,0)，準線l：x1.由題意得d|PF|1，|PA|d|AF|111，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，|PA|d取得最小值1.三、解答題12已知拋物線y22x的焦點為F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時P點的坐標(biāo)考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用解將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部設(shè)拋物線上動點P到準線l：x的距離為d，由拋物線的定義，知|PA|PF|PA|d.當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值為，即|PA|PF|的最小值為，此時P點的縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，P點的坐標(biāo)為(2,2)13如圖所示，拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x2y21相切(1)求拋物線C的方程；(2)若點A，B都在拋線C上，且2，求點A的坐標(biāo)考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程解(1)依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x22py(p>0)，其準線l的方程為y.準線l與圓x2y21相切，圓心(0,0)到準線l的距離d01，解得p2.故拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得F(0,1)，(x2，y21)，(x1，y1)，2，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1，2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即點A的坐標(biāo)為或.四、探究與拓展14設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程答案C解析易知拋物線的焦點為F.由拋物線的定義，得M.設(shè)N點坐標(biāo)為(0,2)因為圓過點N(0,2)，所以NFNM，即1.設(shè)t，則式可化為t24t80，解得t2，即p210p160，解得p2或p8.15已知拋物線y22px(p0)上的一點M到定點A和焦點F的距離之和的最小值等于5，求拋物線的方程考點拋物線的標(biāo)準方程題點求拋物線的方程解拋物線的準線為l：x.當(dāng)點A在拋物線內(nèi)部時，422p，即p時，過M作MAl，垂足為A，則|MF|MA|MA|MA|.當(dāng)A，M，A共線時，(|MF|MA|)min5，即5，p3，滿足p，拋物線方程為y26x.當(dāng)點A在拋物線外部時，422p，即p時，|MF|MA|AF|，當(dāng)A，M，F(xiàn)共線時取等號，|AF|5，即5，p1或p13(舍)，拋物線方程為y22x.當(dāng)點A在拋物線上，即p時，結(jié)合明顯不成立綜上，拋物線方程為y26x或y22x.