第07節(jié) 解三角形及其應(yīng)用舉例【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用2014浙江文18；理10，18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14；2018浙江卷13.1.測量距離問題；2.測量高度問題；3.測量角度問題.4.主要是利用定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題，關(guān)鍵是弄懂有關(guān)術(shù)語，認真理解題意. 從浙江卷來看，三角形中的應(yīng)用問題，主要是結(jié)合直角三角形，考查邊角的計算，也有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查的情況.5.備考重點：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握幾種常見題型的解法.（3）理解三角形中的有關(guān)術(shù)語.【知識清單】1. 測量距離問題實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖2)(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向北偏西即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向南偏西等其他方向角類似(4)坡度：定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角為坡角)坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)2. 測量高度問題余弦定理： ， ， .變形公式cos A，cos B，os C3. 測量角度問題應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理【重點難點突破】考點1 測量距離問題【1-1】【2018屆廣東省珠海市珠海二中、斗門一中高三上期中聯(lián)考】如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ，此時氣球的高是，則河流的寬度等于 （ ）A B C D 【答案】C【解析】因為從氣球上測得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ， ， ，故選C.【1-2】如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計算AB的長【答案】【1-3】如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達，測出AB的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CDa，同時在C，D兩點分別測得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB.若測得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B兩點間的距離【答案】【解析】ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點間的距離為 km.【領(lǐng)悟技法】研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.歸納起來常見的命題角度有：(1)兩點都不可到達；(2)兩點不相通的距離；(3)兩點間可視但有一點不可到達.【觸類旁通】【變式一】【2018屆江西省南昌市第一輪訓(xùn)練六】一艘海警船從港口出發(fā)，以每小時海里的速度沿南偏東方向直線航行， 分鐘后到達處，這時候接到從處發(fā)出的一求救信號，已知在的北偏東，港口的東偏南處，那么， 兩點的距離是()A 海里 B 海里 C 海里 D 海里【答案】A【解析】如圖由已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=20，從而ACB=45在ABC中，由正弦定理可得BC= sin30=10故答案為：A.【變式二】如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，ACB45，CAB105后，就可以計算A、B兩點的距離為 ()A50m B50m C25m D.m【答案】A【解析】由題意知ABC30，由正弦定理，AB50(m)考點2 測量高度問題【2-1】【2018屆山東、湖北部分重點中學(xué)高考沖刺（二）】我國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有海島算經(jīng).內(nèi)有一篇：“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高及去表各幾何?”請你計算出海島高度為_步. （參考譯文：假設(shè)測量海島,立兩根標桿，高均為5步,前后相距1000步,令前后兩根標桿和島在同一直線上,從前標桿退行123 步, 人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標桿頂恰好觀測到島峰,從后標桿退行127步, 人的視線從地面過標桿頂恰好觀測到島峰,問島高多少？ 島與前標桿相距多遠?）（丈、步為古時計量單位，當時是“三丈=5步”）【答案】1255步【2-2】如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對于山坡的斜度為，從A處向山頂前進l米到達B后，又測得CD對于山坡的斜度為，山坡對于地平面的坡角為.(1)求BC的長；(2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在中，根據(jù)正弦定理得，所以.(2)由(1)知米在中，根據(jù)正弦定理得，所以米【領(lǐng)悟技法】 已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時只有一解. 已知兩邊和夾角，余弦定理求出對對邊.【觸類旁通】【變式一】如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD.【答案】【變式二】如圖所示，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點與，現(xiàn)測得，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔?【答案】【解析】在中，由正弦定理得，所以.在中，.考點3 測量角度問題【3-1】【2017廣東佛山二?！磕逞睾Ｋ膫€城市、的位置如圖所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行， 后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則_【答案】【解析】設(shè)船行駛至，則，連接，過作于，則， , , ，所以，所以，又， ，可得，所以，故.【3-2】如圖，扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角AOB為，半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CDAO.設(shè)AOC. (1)用表示CD的長度，并寫出的取值范圍；(2)當為何值時，觀光道路最長？ (2)設(shè)觀光道路長度為L()，則L()BDCD弧CA的長1sin cos sin cos sin 1，L()sin cos 1，由L()0，得sin，又，所以，列表：L()0L()增函數(shù)極大值減函數(shù)所以當時，L()達到最大值，即當時，觀光道路最長【3-3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？【答案】緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時【解析】如圖，設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BC.由正弦定理，得sinABCsinBAC，得ABC45，即BC與正北方向垂直于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，得BCD30，BDC30.又，得t.所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時【領(lǐng)悟技法】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論注意在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系結(jié)論一般為特殊的三角形如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響提醒：1在ABC中有如下結(jié)論sin Asin Bab.2當b2c2a20時，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形；當b2c2a20時，角A為直角，三角形為直角三角形；當b2c2a20時，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形【觸類旁通】【變式一】如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處救援，則sin 的值為()A.BC.D【答案】D【變式二】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值【答案】【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為.【易錯試題常警惕】易錯典例：如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距10海里問：乙船每小時航行多少海里？ 易錯分析：不能分清已知條件和未知條件，從而不能將問題集中到一個三角形中再利用正、余弦定理求解解決此類問題時，要能理解題目給定的含義，轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理進行求解.正確解析：如圖，連接A1B2由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度為6030(海里/時)溫馨提醒：利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進行求解【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.【典例】【2018屆河北省衡水中學(xué)高三第十六次模擬】如圖，一山頂有一信號塔（所在的直線與地平面垂直），在山腳處測得塔尖的仰角為，沿傾斜角為的山坡向上前進米后到達處，測得的仰角為.（1）求的長；（2）若， ， ， ，求信號塔的高度.【答案】(1) ；(2) .（2）由（1）及條件知， ， ， ， .由正弦定理得