第一章 解三角形章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí).2.掌握解三角形的基本類(lèi)型，并能在幾何計(jì)算、測(cè)量應(yīng)用中靈活分解組合.3.能解決三角形與三角變換、平面向量的綜合問(wèn)題1正弦定理及其推論設(shè)ABC的外接圓半徑為R，則(1)2R.(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.(3)sinA，sinB，sinC.(4)在ABC中，A>Ba>bsinA>sinB.2余弦定理及其推論(1)a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.(2)cosA；cosB；cosC.(3)在ABC中，c2a2b2C為直角；c2>a2b2C為鈍角；c2<a2b2C為銳角3三角形面積公式(1)Sahabhbchc；(2)SabsinCbcsinAcasinB.4應(yīng)用舉例(1)測(cè)量距離問(wèn)題；(2)測(cè)量高度問(wèn)題；(3)測(cè)量角度問(wèn)題.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC.答案7解析由題意知58sin A10，即sin A，又ABC為銳角三角形，所以A60，cos A，所以BC7.(2)已知ABC中，若cosB，C，BC2，則ABC的面積為答案反思感悟利用正弦、余弦定理尋求三角形各元素之間的關(guān)系來(lái)解決三角形及其面積問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，A45，AB1，AC2，則SABC的值為()A.B.C.D2答案B(2)已知銳角ABC的面積為3，BC4，CA3，則角C的大小為()A75B60C45D30答案D解析SBCACsin C43sin C3，sin C，三角形為銳角三角形C30.題型二幾何計(jì)算例2如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，E在AC上，若BEAC，則ED.答案解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60.因?yàn)锽EAC，AB，所以AE.在EAD中，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED.反思感悟正確挖掘圖形中的幾何條件簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過(guò)解三角形，一般問(wèn)題便能很快解決跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，B120，AB，A的平分線AD，則AC等于()A1B2C.D2答案C解析如圖，在ABD中，由正弦定理，得，sinADB.由題意知0<ADB<60，ADB45，BAD1804512015.BAC30，C30，BCAB.在ABC中，由正弦定理，得，AC.題型三實(shí)際應(yīng)用例3如圖，已知在東西走向上有AM，BN兩個(gè)發(fā)射塔，且AM100m，BN200m，一測(cè)量車(chē)在塔底M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30，該測(cè)量車(chē)向北偏西60方向行駛了100m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B的仰角為，且BQA，經(jīng)計(jì)算，tan2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離解在RtAMP中，APM30，AM100 m，所以PM100 m，連接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100 m，所以PQM為等邊三角形，所以QM100 m.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200 m.在RtBNQ中，因?yàn)閠an 2，BN200 m，所以BQ100 m，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos ，所以BA100 m.故兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m.反思感悟?qū)嶋H應(yīng)用問(wèn)題的解決過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是抽象成幾何計(jì)算模型，在此過(guò)程中注意術(shù)語(yǔ)如“北偏西60”、“仰角”的準(zhǔn)確翻譯，并轉(zhuǎn)換為解三角形所需邊、角元素跟蹤訓(xùn)練3如圖，從無(wú)人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)無(wú)人機(jī)的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖，在ADC中，CAD903060，AD60m，所以CDADtan6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)故選C.題型四三角形中的綜合問(wèn)題例4a，b，c分別是銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量p(22sinA，cosAsinA)，q(sinAcosA,1sinA)，且pq，已知a，ABC的面積為，求b，c的大小解p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，又pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，即4sin2A30，又A為銳角，則sin A，A60，ABC的面積為，bcsin A，即bc6，又a，7b2c22bccos A，b2c213，聯(lián)立解得或反思感悟解三角形綜合問(wèn)題的方法(1)三角形中的綜合應(yīng)用問(wèn)題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識(shí)聯(lián)系在一起，要注意選擇合適的方法、知識(shí)進(jìn)行求解(2)解三角形常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識(shí)綜合考查，解答此類(lèi)題目，首先要正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)“翻譯”題目條件，然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解跟蹤訓(xùn)練4在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin2cos2A.(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b和c的值解(1)由4sin2cos2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cosA)4cos2A5，即4cos2A4cosA10，(2cosA1)20，解得cosA.0<A<180，A60.(2)由余弦定理，得cosA.cosA，化簡(jiǎn)并整理，得(bc)2a23bc，將a，bc3代入上式，得bc2.則由解得或1若ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是10，A60，則角A的對(duì)邊長(zhǎng)為()A5B6C7D8答案C解析設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，abc20，bc20a，即b2c22bc400a240a，b2c2a240040a2bc，又cosA，b2c2a2bc.又SABCbcsinA10，bc40.由可知a7.2在ABC中，已知cosA，cosB，b3，則c.答案解析在ABC中，cos A>0，sin A.cos B>0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.3在ABC中，cos，判斷ABC的形狀解由已知得cos2，2cos21cosB，cosAcosB，又0<A<，0<B<，AB，ABC為等腰三角形4設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因?yàn)锳2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因?yàn)閎3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.