第3講平面向量考情考向分析1.江蘇高考對(duì)平面向量側(cè)重基本概念與基本計(jì)算的考查重點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算.2.向量作為工具，常與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合，考查向量的綜合運(yùn)用解題時(shí)要注意解析法和轉(zhuǎn)化思想的滲透熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算例1(1)如圖，在ABC中，DEBC交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N，設(shè)a，b，用a，b表示向量，則_.答案(ab)解析因?yàn)镈EBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以()(ab)，所以(ab)(2)(2018江蘇啟東中學(xué)模擬)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB3CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)若xy，其中x，yR，則xy的值為_答案解析由題意得，()(3)(33)2，故xy.思維升華(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底，同時(shí)注意向量共線定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC135，設(shè)(R)，則的值為_答案解析由AOC135知，點(diǎn)C在直線yx(x<0)上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，a)，a<0，(R)，有(a，a)(1，)，得a1，a，消去a得.(2)如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對(duì)角線AC于點(diǎn)K，其中，則的值為_答案解析，2.由向量加法的平行四邊形法則可知，()2，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，得21，可得.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積例2(1)(2018江蘇興化一中模擬)在ABC中，點(diǎn)D，E分別在線段AC，BC上，若AE，BD相交于點(diǎn)F，且|，則_.答案3解析如圖，由已知，得0，()()0，0，()0，即0，BDAE，在RtBEF中，|23.(2)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)如圖，已知ACBC4，ACB90，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_答案84解析以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，2)，設(shè)D(2cos ，2sin )，(4，2)，(22cos ，2sin )，4(22cos )4sin 84sin()，其中tan 2，sin()1,1，()min84.思維升華(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，特別要注意向量坐標(biāo)法的運(yùn)用(2)求解幾何圖形中的數(shù)量積問題，把向量分解轉(zhuǎn)化成已知向量的數(shù)量積計(jì)算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)量積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，也是一種較為簡(jiǎn)捷的方法跟蹤演練2(1)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2.若3，則_.答案解析方法一設(shè)4a，3b，其中|a|b|1，則2a，2b.由()()3，得(3b2a)(2b4a)3，化簡(jiǎn)得ab，所以12ab.方法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，設(shè)D(3cos ，3sin )，則C(3cos 2,3sin )，M(2cos ，2sin )由3，得(3cos 2,3sin )(2cos 4,2sin )3，化簡(jiǎn)得cos ，所以12cos .(2)如圖，已知在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC的中點(diǎn)，若向量m，且的終點(diǎn)M在ACD的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是_答案(2,6)解析()1616m216m23，由平行四邊形法則可得m，所以的取值范圍是(2,6)熱點(diǎn)三平面向量的綜合問題例3(1)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足向量a(xy,2)，b(xy2，1)共線，c，且a(ac)0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共線得xy2(xy2)，則xy42xy，即(xy)22(xy)80，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立又由x，y是正實(shí)數(shù)，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，則t2mt10，t4，)(*)對(duì)于方程t2mt10，當(dāng)m240，即2m2時(shí)，(*)式恒成立；當(dāng)m<2時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t<1，(*)式恒成立；當(dāng)m>2時(shí)，由相應(yīng)二次函數(shù)yt2mt1的對(duì)稱軸t<4，且164m10，得2<m.綜上可得，當(dāng)m時(shí)，(*)式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)在ABC中，若2，則的值為_答案解析方法一由2，得2bcacab，化簡(jiǎn)可得ac.由正弦定理得.方法二作AOBC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，所以(c，a)，(b，a)，(cb,0)，(b，a)，(c，a)，(bc,0)，則由2，得b22cb2a2c20，所以b22cbc2(cb)22(a2b2)，所以BCAB.由正弦定理得.思維升華向量和三角函數(shù)、解析幾何、不等式等知識(shí)的交匯是高考的熱點(diǎn)，解決此類問題的關(guān)鍵是從知識(shí)背景出發(fā)，脫去向量外衣，回歸到所要考查的知識(shí)方法跟蹤演練3(1)若向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|ab|2ab，則cos()的值是_答案1解析因?yàn)閨ab|2ab，所以2cos()，且cos()0，所以22cos()4cos2()，2cos2()cos()10，所以cos()1或cos()(舍去)，所以cos()1.(2)設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，點(diǎn)P(x，y)在ysin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點(diǎn)，且滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)yf(x)的值域是_答案解析令Q(c，d)，由新的運(yùn)算，可得mn，消去x，得dsin，yf(x)sin，易知yf(x)的值域是.1(2016江蘇)如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，4，1，則的值是_答案解析設(shè)a，b，則(a)(b)ab4.又D為BC中點(diǎn)，E，F(xiàn)為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則()ab，ab.ab，aabab，babab，則a2b2ab(a2b2)41，可得a2b2.又aabab，babab，則(a2b2)ab4.2(2017江蘇)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45.若mn(m，nR)，則mn_.答案3解析如圖，設(shè)m，n，則在ODC中，有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan 7，得cos ，又由余弦定理知，即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，當(dāng)n時(shí)，m105<0(舍去)，當(dāng)n時(shí)，m105，故mn3.3(2018全國(guó))已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.答案解析由題意得2ab(4,2)，因?yàn)閏(2ab)，所以42，得.4(2018揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)在ABC中，AH是底邊BC上的高，點(diǎn)G是三角形的重心，若AB2，AC4，BAH30，則()_.答案6解析如圖，在ABC中，AH是底邊BC上的高，AB2，BAH30，AH.由題意得.點(diǎn)G是ABC的重心，()()()(22)4.又|cosDAH|22.()246.5(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則PBC面積的最小值為_答案解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得A(0,0)，B，C(0，t)，(4,0)(0,1)(4,1)，P(4,1)又|，BC的方程為tx1，點(diǎn)P到直線BC的距離為d，PBC的面積為SBCd，當(dāng)且僅當(dāng)4t，即t時(shí)取等號(hào)，PBC面積的最小值為.6(2017江蘇)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)ab，3sin xcos x，3sin xcos x0，2sin0，即sin0，0x，x，x，x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0，x，sin1，2f(x)3，當(dāng)x，即x0時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取得最小值2.A組專題通關(guān)1設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則ab_.答案1解析由|ab|，得|ab|210，即a22abb210.又|ab|，所以a22abb26，由，得4ab4，則ab1.2在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則xy_.答案解析()，x，y，xy.3已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，則a，c的夾角大小為_答案120解析設(shè)a與c的夾角為，a(1,2)，b(2，4)，則b2a，(ab)cac，ac.cos ，0180，120.4已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_答案3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.5(2018淮安模擬)如圖，在ABC中，已知AB3，AC2，BAC120，D為邊BC的中點(diǎn)若CEAD，垂足為E，則的值為_答案解析()()2，由余弦定理，得BC，得cos C，AD，SACD，所以CE，所以.6在ABC中，已知23，則cos C的最小值是_答案解析已知23，可得bccos A2accos B3abcos C，由余弦定理得a22b23c2，由cos C，當(dāng)ba時(shí)取到等號(hào)，故cos C的最小值為.7已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則k的值為_答案解析因?yàn)閑1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以e1e2|e1|e2|cose1，e2cos ，又ab0，所以(e12e2)(ke1e2)0，即k2(2k)0，解得k.8(2018南通模擬)在ABC中，AB5，AC4，且12，設(shè)P是平面ABC上的一點(diǎn)，則()的最小值是_答案解析由AB5，AC4，且12，得cos A，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C(4,0)，B(3,4)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x，y)，則()(x，y)(72x,42y)2x27x2y24y222(y1)2，即()的最小值是.9設(shè)向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0<<<，若|2ab|a2b|，求的值解因?yàn)閨2ab|a2b|，所以|2ab|2|a2b|2，所以8ab3(|a|2|b|2)0，所以ab0.又因?yàn)閍(cos ，sin )，b(cos ，sin )，所以abcos cos sin sin cos()0，因?yàn)?<<<，所以.10(2018蘇北六市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)向量a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c.(1)若|ab|c|，求sin()的值；(2)設(shè)，0<<，且a(bc)，求的值解(1)因?yàn)閍(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c，所以|a|b|c|1，且abcos sin sin cos sin()因?yàn)閨ab|c|，所以|ab|2c2，即a22abb21，所以12sin()11，即sin().(2)因?yàn)椋詀.故bc.因?yàn)閍(bc)，所以0.化簡(jiǎn)得，sin cos ，所以sin.因?yàn)?<<，所以<<.所以，即.B組能力提高11在ABC中，AB2，AC3，角A的角平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O，若xy(x，yR)，則xy的值為_答案解析可設(shè)AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)條件AO為BAC的角平分線，從而可得，k>0.又D，O，C三點(diǎn)共線及D為AB的中點(diǎn)，便可得出(1)，從而由平面向量基本定理得所以k，所以xy.12(2018江蘇海門中學(xué)模擬)如圖，在扇形AOB中，OA4，AOB120，P為弧AB上的一點(diǎn)，OP與AB相交于點(diǎn)C，若8，則的值為_答案4解析由題意可知，44cosAOP8，則cosAOP，AOP60，結(jié)合平面幾何知識(shí)可得OCPCOP，由向量的運(yùn)算法則可知()()4284.13已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0<<x<.(1)若，求函數(shù)f(x)bc的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1<t<.則yt2t12，1<t<，t時(shí)，ymin，此時(shí)sin xcos x，即sin，<x<，<x<，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0<<x<，0<x<，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.14(2018江蘇泰州中學(xué)模擬)如圖，在ABC中，ABAC1，BAC.(1)求的值；(2)設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)，且xy，其中x，yR.求xy的取值范圍解(1)()|21.(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(1,0)，C.設(shè)P(cos ，sin )，由xy，得(cos ，sin )x(1,0)y.所以cos x，sin y.所以xcos sin ，ysin ，xysin cos sin2sin 2(1cos 2)sin.因?yàn)椋?，所以當(dāng)2，即時(shí)，xy的最大值為1；當(dāng)2或2，即0或時(shí)，xy的最小值為0.故xy的取值范圍是0,1