11.1&1.1.2變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念預(yù)習(xí)課本P26，思考并完成下列問題(1)平均變化率的定義是什么？平均變化率的幾何意義是什么？ (2)瞬時(shí)變化率的定義是怎樣的？如何求瞬時(shí)變化率？(3)如何用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)？ 1函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：.(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比(3)意義：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢(4)平均變化率的幾何意義：設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲線yf(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的平均變化率為割線AB的斜率，如圖所示點(diǎn)睛x是變量x2在x1處的改變量，且x2是x1附近的任意一點(diǎn)，即xx2x10，但x可以為正，也可以為負(fù)2函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率定義式 實(shí)質(zhì)瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值作用刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢點(diǎn)睛“x無限趨近于0”的含義x趨于0的距離要多近有多近，即|x0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，且始終x0.3導(dǎo)數(shù)的概念定義式 記法f(x0)或y|xx0實(shí)質(zhì)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與x值的正、負(fù)無關(guān)()(2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的物理量()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，x，y都不可能為零()答案：(1)(2)(3)2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s(t)t23，則從3到3t的平均速度為()A6tB6tC3t D9t答案：A3已知函數(shù)f(x)2x24的圖象上兩點(diǎn)A，B，且xA1，xB1.1，則函數(shù)f(x)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均變化率為()A4 B4xC4.2 D4.02答案：C4在f(x0) 中，x不可能為()A大于0 B小于0C等于0 D大于0或小于0答案：C求函數(shù)的平均變化率典例求函數(shù)f(x)x2在x1,2,3附近的平均變化率，取x的值為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？解在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x；若x，則k12，k24，k36，由于k1k2k3，故在x3附近的平均變化率最大求平均變化率的步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x1)f(x0)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx1x0.(3)求平均變化率.活學(xué)活用求函數(shù)yx3從x0到x0x之間的平均變化率，并計(jì)算當(dāng)x01，x時(shí)平均變化率的值解：當(dāng)自變量從x0變化到x0x時(shí)，函數(shù)的平均變化率為3x3x0x(x)2，當(dāng)x01，x時(shí)平均變化率的值為312312.求瞬時(shí)速度 典例一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)3tt2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度解(1)當(dāng)t0時(shí)的速度為初速度在0時(shí)刻取一時(shí)間段0,0t，即0，t，ss(t)s(0)3t(t)2(3002)3t(t)2，3t，li li (3t)3.物體的初速度為3.(2)取一時(shí)間段2,2t，ss(2t)s(2)3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，1t， (1t)1，當(dāng)t2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為1.1求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度；(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度2求(當(dāng)x無限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把x作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算；(2)求出的表達(dá)式后，x無限趨近于0就是令x0，求出結(jié)果即可活學(xué)活用一木塊沿某一斜面自由滑下，測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為st2，則t2時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為()A2B1C. D.解析：選At2， 2，故選A.求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)典例(1)函數(shù)y在x1處的導(dǎo)數(shù)為_(2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的位移函數(shù)為yf(t)t33，當(dāng)t14，t0.01時(shí)，求y和比值；求t14時(shí)的導(dǎo)數(shù)解析(1)y1，li ，所以y|x1.答案：(1)(2)解：yf(t1t)f(t1)3tt3t1(t)2(t)3，故當(dāng)t14，t0.01時(shí)，y0.481 201，48.120 1. 3t3t1t(t)23t48，故函數(shù)yt33在t14處的導(dǎo)數(shù)是48，即y|t1448.1用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求極限 .2瞬時(shí)變化率的變形形式 f(x0) 活學(xué)活用求函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)解：因?yàn)閥(1x)x，所以1.當(dāng)x0時(shí)，2，所以函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)為2.層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1如果一個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0，則這個(gè)函數(shù)的圖象是()A圓B拋物線C橢圓 D直線解析：選D當(dāng)f(x)b時(shí)，瞬時(shí)變化率 0，所以f(x)的圖象為一條直線2設(shè)函數(shù)yf(x)x21，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為()A2.1 B1.1C2 D0解析：選A2.1.3設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b解析：選Cf(x0) (abx)a.4如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s3t2運(yùn)動(dòng)，則在t03時(shí)的瞬時(shí)速度為()A6B18C54D81解析：選Bs(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2.183t. (183t)18，故應(yīng)選B.5已知f(x)x23x，則f(0)()Ax3 B(x)23xC3 D0解析：選Cf(0) li (x3)3.故選C.6設(shè)f(x)ax4，若f(1)2，則a_.解析：f(1) a，a2.答案：27.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_解析：1kOA，2kAB，3kBC，由圖象知kOAkABkBC.答案：1238球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為_解析：y2313，.答案：9質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(s單位：m，t單位：s)若質(zhì)點(diǎn)在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值解：ss(2t)s(2)a(2t)21(a221)4ata(t)2，4aat，在t2時(shí)，瞬時(shí)速度為 4a,4a8，a2.10已知函數(shù)f(x)求f(4)f(1)的值解：當(dāng)x4時(shí)，y. .f(4).當(dāng)x1時(shí)，x2，由導(dǎo)數(shù)的定義，得f(1)li (x2)2，f(4)f(1)(2).層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知函數(shù)f(x)2x24的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1x，2y)，則等于()A4B4xC42x D42(x)2解析：選C2x4.2.甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖，則在0，t0這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是()Av甲v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小關(guān)系不確定解析：選B設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在0，t0上的平均變化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均變化率v乙kBC.因?yàn)閗ACkBC，所以v甲v乙3若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且滿足 1，則f(0)()A2 B1C1 D2解析：選Bf(x)圖象過原點(diǎn)，f(0)0，f(0) 1，選B.4已知f(x)，且f(m)，則m的值等于()A4 B2C2 D2解析：選Df(x) ，于是有，m24，解得m2.5已知函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間t,1上的平均變化率為2，則t_.解析：yf(1)f(t)(121)(t2t)t2t，t. 又2，t2.答案：26一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s7t28，則其在t_時(shí)的瞬時(shí)速度為1.解析：7t14t0，當(dāng) (7t14t0)1時(shí)，tt0.答案：7槍彈在槍筒中運(yùn)動(dòng)可以看作勻加速運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是5.0105 m/s2，槍彈從槍口射出時(shí)所用時(shí)間為1.6103 s，求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度解：位移公式為sat2，sa(t0t)2atat0ta(t)2，at0at， at0，已知a5.0105m/s2，t01.6103s，at0800 m/s.所以槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800 m/s.8設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，求下列各式的值(1) ；(2) .解：(1) m mf(x0)(2)原式 4 5 4f(x0)5f(x0)f(x0)