第02節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與值域【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測函數(shù)的單調(diào)性與最值1理解函數(shù)的單調(diào)性，會判斷函數(shù)的單調(diào)性.2理解函數(shù)的最大（?。┲档暮x，會求函數(shù)的最大（?。┲?2014浙江文7；理6，15；2015浙江文12；理10；2016浙江理18；2017浙江5，17.2018浙江7，22.1.確定函數(shù)的最值（值域）2.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。⒀芯亢瘮?shù)的最值等，常與奇偶性結(jié)合，有時與導(dǎo)數(shù)綜合考查.3.備考重點： （1）判斷函數(shù)的單調(diào)性方法；（2）求函數(shù)最值的方法；（3）利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解不等式、確定參數(shù)取值范圍.【知識清單】1函數(shù)的單調(diào)性（1）.增函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).2.函數(shù)的最值1.最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大值.2.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值.【重點難點突破】考點1 單調(diào)性的判定和證明【1-1】【2018屆遼寧省大連市二?！肯铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用函數(shù)奇偶性的判斷方法判斷函數(shù)的奇偶性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理和圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【1-2】【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三實驗班第一次考試】已知，那么( )A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在上單調(diào)遞增C. 在上單調(diào)遞增 D. 在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】，在記，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，且而在不具有單調(diào)性，故A錯誤；當(dāng)時，不具有單調(diào)性，故B錯誤；當(dāng)時，單調(diào)遞增，且而在不具有單調(diào)性，故C錯誤；當(dāng)時，單調(diào)遞減，且而在單調(diào)遞減，根據(jù)“同增異減”知，D正確.故選：D【領(lǐng)悟技法】1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖像：只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；2.性質(zhì)法：（1）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)；（2）函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）時，函數(shù)與的單調(diào)性相反（）；時，函數(shù)與的單調(diào)性相同（）.2.導(dǎo)數(shù)法：在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.4.定義法：作差法與作商法（常用來函數(shù)單調(diào)性的證明，一般使用作差法）.【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性，還需注意斷點處兩邊函數(shù)值的大小比較.【觸類旁通】【變式一】【2017北京西城八中上期中】下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【變式二】【2017山西孝義二?！亢瘮?shù)，當(dāng)時是增函數(shù)，當(dāng)時是減函數(shù)，則等于（ ）A-3 B13 C. 7 D 5【答案】B【解析】由題意知函數(shù)的對稱軸，所以，所以，故選B考點2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【2-1】【2019屆四川省成都市第七中學(xué)零診】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用二次函數(shù)的單調(diào)性， 結(jié)合函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.詳解：得或，令，則為增函數(shù)，在上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D.【2-2】的遞增區(qū)間是（ ）A. B. C. D.【答案】A【領(lǐng)悟技法】1.基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)圖象參數(shù)范圍單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性一次函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間二次函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.反比例函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為和單調(diào)遞增區(qū)間為和指數(shù)函數(shù)（且）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為對數(shù)函數(shù)（且）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為冪函數(shù)在上遞減沒有單調(diào)性在上遞增正弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間余弦函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間正切函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間2.圖象法：對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.復(fù)合函數(shù)法：對于函數(shù)，可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復(fù)合函數(shù)法來進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.4.導(dǎo)數(shù)法：不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【觸類旁通】【變式一】【2017屆北京西城35中高三上期中】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)， ， ，函數(shù)定義域為，所以先排除A，B；在上函數(shù)m先增后減，故D不對；由圖像可知，該復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間為，故選【變式二】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .【答案】和.【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.考點3 利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍【3-1】【2018屆云南省昆明市5月檢測】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A詳解：函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù). 由得.解得.故選A.【3-2】【2018年天津卷文】已知aR，函數(shù)若對任意x3，+），f(x)恒成立，則a的取值范圍是_【答案】，2【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：分類討論：當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，則；當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時，則；綜合可得的取值范圍是.點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號四個方面分析【3-3】已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍 .【答案】 【解析】函數(shù)： ，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若 在 （-2，+）為增函數(shù)，1-2a0， 【領(lǐng)悟技法】1.解決抽象不等式時，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則.2.在比較、的大小時，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將、通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小.【觸類旁通】【變式一】【2018屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學(xué)9月月考】已知函數(shù) 是奇函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】設(shè) ，則 為奇函數(shù)， 在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 故答案為【變式二】【2017浙江金華十校聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，若f(a2a)>f(a3)，則實數(shù)a的取值范圍為_考點4 函數(shù)的單調(diào)性和最值（值域）及其綜合應(yīng)用【4-1】【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則_【答案】3或【解析】當(dāng)時，=函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像可知函數(shù)的最大值是.令，經(jīng)檢驗，a=3滿足題意.令，經(jīng)檢驗a=5或a=1都不滿足題意.令，經(jīng)檢驗不滿足題意.當(dāng)時，,函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像得函數(shù)的最大值是.當(dāng)時，,函數(shù)，對稱軸為，觀察函數(shù) 的圖像可知函數(shù)的最大值是.令，令,所以.綜上所述，故填3或.點睛：本題的難點在于通過函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì). 本題絕對值里面是一個閉區(qū)間上的二次函數(shù)，要求它的最大值，所以要先畫出二次函數(shù)的圖像，再結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析出最大值的可能情況.【4-2】【2017浙江，17】已知R，函數(shù)在區(qū)間1，4上的最大值是5，則的取值范圍是_ 【答案】【解析】【領(lǐng)悟技法】函數(shù)最值（值域）的求解方法：1.單調(diào)性法： 利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值.2.圖象法：對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值.3. 利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍.4.利用三角函數(shù)的有界性,如.5.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個不為零)的函數(shù),求其值域可用此法.6.利用換元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域9.求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時每段交替使用求值若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍 10.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部 分剔除.【觸類旁通】【變式一】【2018屆陜西省西安市長安區(qū)大聯(lián)考（一）】已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【變式二】【2018屆浙江省杭州市高三上期末】設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)在上的最大值， 為的最大值.（ ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】C【解析】由題意得， 則若，則，此時任意有則， ， ，在時與題意相符，故選【易錯試題常警惕】易錯典例：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .易錯分析：求單調(diào)區(qū)間時，只顧及到內(nèi)層二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而忽視了函數(shù)定義域的重要性.正確解析：自變量滿足，解得或，令，則內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，而外層函數(shù)在上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【規(guī)范解答】因為f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9). 2分又f(a)>f(a1)2，所以f(a)>f(a1)f(9)，再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)>f(9(a1). 4分從而有 8分解得1<a<.11分故所求實數(shù)a的取值范圍為. 12分【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果.【典例】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為和.【解析】其圖象如圖1所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為和.