規(guī)范答題示例5數(shù)列的綜合問題典例5(16分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a，(an1)(an11)6(Snn)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若對任意的nN*，都有Snn(3n1)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a2時，將數(shù)列an中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列bn，且b1a2，求證：存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列bn審題路線圖(1) (2)(3)規(guī) 范 解 答分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板(1)解當n1時，(a11)(a21)6(S11)，故a25；當n2時，(an11)(an1)6(Sn1n1)，所以(an1)(an11)(an11)(an1)6(Snn)6(Sn1n1)，即(an1)(an1an1)6(an1)又an0，所以an1an16，3分所以a2k1a6(k1)6ka6，a2k56(k1)6k1，kN*，故數(shù)列an的通項公式為an5分(2)解當n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，所以an3na3，an13n2，所以(3na31)(3n21)6(Snn)，整理得Sn(3na2)(n1)n.由Snn(3n1)，得a對nN*恒成立令f(n)(nN*)，則f(n1)f(n)0，所以f(n)(nN*)單調(diào)遞增，f(n)minf(1)4，所以a4.8分當n為偶數(shù)時，n1為奇數(shù)，an3n1，an13na，所以(3n11)(3na1)6(Snn)，整理得Sn，由Snn(3n1)得，a3(n1)對nN*恒成立，所以a9.又a1a0，所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4.10分(3)解當a2時，若n為奇數(shù)，則an3n1，所以an3n1(nN*)因為數(shù)列bn的首項是b15，其整數(shù)倍的最小項是a720，故可令等比數(shù)列bn的公比q4m(mN*)，因為b1a25，所以bn54m(n1)設(shè)km(n1)，因為14424k1，所以4k3(14424k1)1，所以54k53(14424k1)135(14424k1)21.14分因為5(14424k1)2為正整數(shù)，所以數(shù)列bn是數(shù)列an中包含的無窮等比數(shù)列又公比q4m(mN*)有無數(shù)個不同的取值，對應(yīng)著不同的等比數(shù)列，故無窮等比數(shù)列bn有無數(shù)個.16分第一步找關(guān)系，求通項：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關(guān)系第二步巧轉(zhuǎn)化，定方法：根據(jù)要證式子或所求結(jié)論的結(jié)構(gòu)，進行適當轉(zhuǎn)化，如對數(shù)列求和，將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質(zhì)等確定解題方法第三步寫步驟，再反思：確定解題方案后要認真規(guī)范書寫解題步驟，數(shù)列綜合問題一般為壓軸題，難度較大，要有搶分意識，不放過任何一個得分點.評分細則(1)求出an的遞推公式給3分；(2)求出an的通項公式給2分；(3)討論n為奇數(shù)的情況給3分；(4)討論n為偶數(shù)的情況給2分；(5)求出bn的通項公式給4分；(6)證明出最后結(jié)果給2分跟蹤演練5(2018南通、徐州等六市調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1, b2，b3，b4的公差為d，且q1，d0.記ciaibi (i1,2,3,4)(1)求證：數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列；(2)設(shè)a11，q2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；(3)數(shù)列c1,c2, c3，c4能否為等比數(shù)列？并說明理由(1)證明假設(shè)數(shù)列c1，c2，c3是等差數(shù)列，則2c2c1c3，即2. 因為b1，b2，b3是等差數(shù)列，所以2b2b1b3.從而2a2a1a3.又因為a1，a2，a3是等比數(shù)列，所以aa1a3.所以a1a2a3，這與q1矛盾，從而假設(shè)不成立所以數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列(2)解因為a11, q2，所以an2n1. 因為cc1c3，所以2，即b2d23d, 由c22b20，得d23d20，所以d1且d2.又d0，所以b2d23d，定義域為.(3)解設(shè)c1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，其公比為q1，則則將2得， a1(q1)2c1(q11)2， 將2得， a1q2c1q12， 因為a10, q1，由得c10, q11.由得qq1，從而a1c1.代入得b10.再代入，得d0，與d0矛盾所以c1，c2，c3，c4不成等比數(shù)列