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規(guī)范答題示例5　數(shù)列的綜合問題 典例5　(16分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝a，(an＋1)(an＋1＋1)＝6(Sn＋n)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，都有Sn≤n(3n＋1)，求實數(shù)a的取值范圍； (3)當a＝2時，將數(shù)列{an}中的部分項按原來的順序構成數(shù)列{bn}，且b1＝a2，求證：存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列{bn}． 審題路線圖　(1) →→ (2)→→ → (3)→→ 規(guī) 范 解 答分 步 得 分 構 建 答 題 模 板 (1)解　當n＝1時，(a1＋1)(a2＋1)＝6(S1＋1)，故a2＝5； 當n≥2時，(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn－1＋n－1)， 所以(an＋1)(an＋1＋1)－(an－1＋1)(an＋1)＝6(Sn＋n)－6(Sn－1＋n－1)， 即(an＋1)(an＋1－an－1)＝6(an＋1)． 又an＞0，所以an＋1－an－1＝6，3分 所以a2k－1＝a＋6(k－1)＝6k＋a－6，a2k＝5＋6(k－1)＝6k－1，k∈N*， 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝5分 (2)解　當n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)， 所以an＝3n＋a－3，an＋1＝3n＋2， 所以(3n＋a－3＋1)(3n＋2＋1)＝6(Sn＋n)，整理得Sn＝(3n＋a－2)(n＋1)－n. 由Sn≤n(3n＋1)，得a≤對n∈N*恒成立． 令f(n)＝(n∈N*)，則f(n＋1)－f(n)＝＞0， 所以f(n)＝(n∈N*)單調遞增，f(n)min＝f(1)＝＝4，所以a≤4.8分 當n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，an＝3n－1，an＋1＝3n＋a， 所以(3n－1＋1)(3n＋a＋1)＝6(Sn＋n)，整理得Sn＝， 由Sn≤n(3n＋1)得，a≤3(n＋1)對n∈N*恒成立，所以a≤9. 又a1＝a＞0，所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4].10分 (3)解　當a＝2時，若n為奇數(shù)，則an＝3n－1，所以an＝3n－1(n∈N*)． 因為數(shù)列{bn}的首項是b1＝5，其整數(shù)倍的最小項是a7＝20， 故可令等比數(shù)列{bn}的公比q＝4m(m∈N*)， 因為b1＝a2＝5，所以bn＝54m(n－1)． 設k＝m(n－1)，因為1＋4＋42＋…＋4k－1＝， 所以4k＝3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1， 所以54k＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋1] ＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2]－1.14分 因為5(1＋4＋42＋…＋4k－1)＋2為正整數(shù)， 所以數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}中包含的無窮等比數(shù)列． 又公比q＝4m(m∈N*)有無數(shù)個不同的取值，對應著不同的等比數(shù)列，故無窮等比數(shù)列{bn}有無數(shù)個.16分 第一步 找關系，求通項：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關系． 第二步 巧轉化，定方法：根據(jù)要證式子或所求結論的結構，進行適當轉化，如對數(shù)列求和，將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質等確定解題方法． 第三步 寫步驟，再反思：確定解題方案后要認真規(guī)范書寫解題步驟，數(shù)列綜合問題一般為壓軸題，難度較大，要有搶分意識，不放過任何一個得分點. 評分細則　(1)求出an的遞推公式給3分； (2)求出{an}的通項公式給2分； (3)討論n為奇數(shù)的情況給3分； (4)討論n為偶數(shù)的情況給2分； (5)求出{bn}的通項公式給4分； (6)證明出最后結果給2分． 跟蹤演練5　(2018南通、徐州等六市調研)設等比數(shù)列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1, b2，b3，b4的公差為d，且q≠1，d≠0.記ci＝ai＋bi (i＝1,2,3,4)． (1)求證：數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列； (2)設a1＝1，q＝2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列，求b2關于d的函數(shù)關系式及其定義域； (3)數(shù)列c1,c2, c3，c4能否為等比數(shù)列？并說明理由． (1)證明　假設數(shù)列c1，c2，c3是等差數(shù)列， 則2c2＝c1＋c3， 即2＝＋. 因為b1，b2，b3是等差數(shù)列， 所以2b2＝b1＋b3.從而2a2＝a1＋a3. 又因為a1，a2，a3是等比數(shù)列，所以a＝a1a3. 所以a1＝a2＝a3，這與q≠1矛盾，從而假設不成立． 所以數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列． (2)解　因為a1＝1, q＝2， 所以an＝2n－1. 因為c＝c1c3， 所以2＝， 即b2＝d2＋3d, 由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0， 所以d≠－1且d≠－2. 又d≠0，所以b2＝d2＋3d，定義域為. (3)解　設c1，c2，c3，c4成等比數(shù)列，其公比為q1， 則 則將①＋③－2②得， a1(q－1)2＝c1(q1－1)2，⑤ 將②＋④－2③得， a1q2＝c1q12，⑥ 因為a1≠0, q≠1，由⑤得c1≠0, q1≠1. 由⑤⑥得q＝q1，從而a1＝c1.代入①得b1＝0. 再代入②，得d＝0，與d≠0矛盾． 所以c1，c2，c3，c4不成等比數(shù)列．