考點規(guī)范練45橢圓一、基礎鞏固1.已知橢圓的焦點坐標為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案A解析由題意知a=13,c=5,則b2=a2-c2=144.又橢圓的焦點在x軸上,橢圓方程為x2169+y2144=1.2.已知橢圓x29+y24+k=1的離心率為45,則k的值為()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案C解析若a2=9,b2=4+k,則c=5-k,由ca=45,即5-k3=45,得k=-1925;若a2=4+k,b2=9,則c=k-5,由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.若曲線ax2+by2=1是焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)a,b滿足()A.a2>b2B.1a<1bC.0<a<bD.0<b<a答案C解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1,因為焦點在x軸上,所以1a>1b>0,所以0<a<b.4.(2018河南中原名校質(zhì)量考評)已知點P(x1,y1)是橢圓x225+y216=1上的一點,F1,F2是焦點,若F1PF2取最大值時,則PF1F2的面積是()A.1633B.12C.16(2+3)D.16(2-3)答案B解析橢圓方程為x225+y216=1,a=5,b=4,c=25-16=3,因此橢圓的焦點坐標為F1(-3,0),F2(3,0).根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知,當點P與短軸端點重合時,F1PF2取最大值,則此時PF1F2的面積S=21234=12,故選B.5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.63B.33C.23D.13答案A解析以線段A1A2為直徑的圓的方程是x2+y2=a2.因為直線bx-ay+2ab=0與圓x2+y2=a2相切,所以圓心到該直線的距離d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,從而e=ca=63.故選A.6.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D.34答案B解析設橢圓的一個頂點坐標為(0,b),一個焦點坐標為(c,0),則直線l的方程為xc+yb=1,即bx+cy-bc=0,短軸長為2b,由題意得bcb2+c2=142b,與b2+c2=a2聯(lián)立得a=2c,故e=12.7.如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且BFC=90,則該橢圓的離心率是.答案63解析由題意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因為BFC=90,所以BFCF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.8.已知F1,F2分別為橢圓x22+y2=1的左、右焦點,過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,連接AF2和BF2.(1)求ABF2的周長;(2)若AF2BF2,求ABF2的面積.解(1)F1,F2分別為橢圓x22+y2=1的左、右焦點,過F1的直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,連接AF2和BF2.ABF2的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=42.(2)設直線l的方程為x=my-1,由x=my-1,x2+2y2-2=0,得(m2+2)y2-2my-1=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.AF2BF2,F2AF2B=0,F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-(m2+1)m2+2-2m2mm2+2+4=-m2+7m2+2=0.m2=7.ABF2的面積S=12|F1F2|(y1+y2)2-4y1y2=89.9.(2018北京,文20)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,焦距為22,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B.(1)求橢圓M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)設P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若C,D和點Q-74,14共線,求k.解(1)由題意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.所以橢圓M的方程為x23+y2=1.(2)設直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x1+x2)2-4x1x2=12-3m22.當m=0,即直線l過原點時,|AB|最大,最大值為6.(3)設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直線PA的方程為y=y1x1+2(x+2).由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得(x1+2)2+3y12x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.設C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.設D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.記直線CQ,DQ的斜率分別為kCQ,kDQ,則kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因為C,D,Q三點共線,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.二、能力提升10.已知F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,若橢圓上存在點P使得PF1PF2,則該橢圓的離心率的取值范圍是()A.55,1B.22,1C.0,55D.0,22答案B解析F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,離心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.設點P(x,y),由PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,化簡得x2+y2=c2,聯(lián)立方程組x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)a2c20,解得e22,又0<e<1,22e<1.故選B.11.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率為()A.32B.22C.12D.14答案C解析因為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因為c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化為c2a2=14,所以e=ca=12.12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關于直線y=bcx的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是.答案22解析設Q(x0,y0),則y0x0-c=-cb,bcx0+c2=y02,解得x0=c(c2-b2)a2,y0=2bc2a2.因為點Q在橢圓上,所以c2(c2-b2)2a4a2+4b2c4a4b2=1,化簡得a4c2+4c6-a6=0,即4e6+e2-1=0.即4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以e=22.13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1過A(2,0),B(0,1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N.求證:四邊形ABNM的面積為定值.(1)解由題意,得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以離心率e=ca=32.(2)證明設P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x02+4y02=4.又A(2,0),B(0,1),所以直線PA的方程為y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,從而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.直線PB的方程為y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,從而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.所以四邊形ABNM的面積S=12|AN|BM|=122+x0y0-11+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.從而四邊形ABNM的面積為定值.14.設O為坐標原點,動點M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2NM.(1)求點P的軌跡方程;(2)設點Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.(1)解設P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM得x0=x,y0=22y.因為M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.三、高考預測15.橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作垂直于x軸的直線l與橢圓E在第一象限交于點P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求橢圓E的方程;(2)A,B是橢圓C上位于直線l兩側(cè)的兩點.若直線AB過點(1,-1),且APF2=BPF2,求直線AB的方程.解(1)由題意可得|PF2|=b2a=3,因為|PF1|=5,由橢圓的定義得a=4,所以b2=12,故橢圓E方程為x216+y212=1.(2)易知點P的坐標為(2,3).因為APF2=BPF2,所以直線PA,PB的斜率之和為0.設直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,設A(x1,y1),B(x2,y2),則直線PA的方程為y-3=k(x-2),由y-3=k(x-2),x216+y212=1可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2,同理直線PB的方程為y-3=-k(x-2),可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,所以滿足條件的直線AB的方程為y+1=12(x-1),即為x-2y-3=0.