解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)1(2018河北省衡水中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，數(shù)列bn是等比數(shù)列，a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)若cn設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Tn，求T2n.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q0)，a13，b11，b2S210，a52b2a3，解得d2，q2，an2n1(nN*)，bn2n1(nN*)(2)由(1)知，Snn(n2)，cnT2n(21232522n1)(nN*)2(2018南昌模擬)十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，某幫扶單位為幫助定點扶貧村真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進(jìn)行銷售為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間1 500,3 000內(nèi)(單位：克)，統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在1 750,2 000)，2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2 000克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5 000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：A所有蜜柚均以40元/千克收購；B低于2 250克的蜜柚以60元/個收購，高于或等于2 250的以80元/個收購請你通過計算為該村選擇收益最好的方案解(1)由題意得蜜柚質(zhì)量在1 750,2 000)和2 000，2 250)內(nèi)的比例為23，應(yīng)分別在質(zhì)量為1 750,2 000)，2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚中各抽取2個和3個記抽取質(zhì)量在1 750,2 000)內(nèi)的蜜柚為A1，A2，質(zhì)量在2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚為B1，B2，B3，則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有以下10種：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中質(zhì)量均小于2 000克的僅有(A1，A2)這1種情況，故所求概率為.(2)方案A好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在1 500,1 750)的頻率為2500.000 40.1，同理，蜜柚質(zhì)量在1 750,2 000)，2 000,2 250)，2 250，2 500)，2 500,2 750)，2 750,3 000內(nèi)的頻率依次為0.1，0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收購：根據(jù)題意各段蜜柚個數(shù)依次為500,500,750,2 000,1 000,250，于是總收益為401 000250(67)2(78)2(89)3(910)8(1011)4(1112)1401 0002550(2630511528423)457 500(元)若按方案B收購：蜜柚質(zhì)量低于2 250克的個數(shù)為(0.10.10.15)5 0001 750，蜜柚質(zhì)量高于2 250克的個數(shù)為5 0001 7503 250，收益為1 750603 2508025020(73134)365 000(元)，方案A的收益比方案B的收益高，應(yīng)該選擇方案A.3(2018威海模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，BCEF，BF，ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDF是菱形，F(xiàn)AC60，M，N分別是AB，DF的中點求證：(1)MN平面AEF；(2)平面ABC平面ACDF.證明(1)取AC的中點O，連接OM，ON，因為M，N分別是AB，DF的中點，所以在菱形ACDF中，ONAF，又ON平面AEF，AF平面AEF，所以O(shè)N平面AEF.在ABC中，OMBC，又BCEF，所以O(shè)MEF，又OM平面AEF，EF平面AEF，所以O(shè)M平面AEF，又OMONO，所以平面OMN平面AEF，又MN平面OMN，所以MN平面AEF.(2)連接OF，OB，因為ABC是邊長為2的等邊三角形，所以BOAC，BO，因為四邊形ACDF是菱形，所以AF2，因為FAC60，所以O(shè)FAC，OF，因為BF，所以BO2OF2BF2，所以BOOF.又FOACO，F(xiàn)O，AC平面ACDF，所以BO平面ACDF，又BO平面ABC，所以平面ABC平面ACDF.4(2018咸陽模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點與拋物線y24x的焦點重合，且橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C的右頂點，過P點作兩條直線分別與橢圓C交于另一點A，B，若直線PA，PB的斜率之積為，求證：直線AB恒過一個定點，并求出這個定點的坐標(biāo)解(1)依題意得解得a2，b，即橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線AB的方程為xtym(2<m<2)，則由得3(tym)24y212，即(3t24)y26tmy3m2120，(6tm)24(3t24)(3m212)144t248m2192>0，y1y2，y1y2.設(shè)A(ty1m，y1)，B(ty2m，y2)，而P(2,0)，則由kPAkPB，得，即4y1y29(ty1m2)(ty2m2)0，(49t2)y1y29t(m2)(y1y2)9(m2)20，即(49t2)9t(m2)9(m2)20，整理得m23m20，解得m1或m2(舍去)，當(dāng)m1時，滿足>0，直線AB的方程為xty1，即直線AB恒過定點(1,0)5(2018峨眉山模擬)已知函數(shù)f(x)ex(sin xax22ae)，其中aR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a1時，求證：對任意的x0，)，f(x)<0.(1)解當(dāng)a0時，f(x)ex(sin xe)，f(x)ex(sin xcos xe)ex<0，f(x)在(，)上單調(diào)遞減(2)證明要證ex<0對任意的x0，)恒成立，即證sin xax22ae<0對任意的x0，)恒成立，令g(a)(2x2)asin xe，即證當(dāng)a時，g(a)(2x2)asin xe<0恒成立，即證成立sin x1<e，式成立現(xiàn)證明式成立：令h(x)sin xx22e，h(x)cos x2x，設(shè)存在x00，)，使得h(x0)cos x02x00，則0<x0<，h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在x0，)上單調(diào)遞減，h(x)maxh(x0)sin x0x2esin x02esin x0e.0<x0<，sin x0，sin x0e<e<0.綜上所述，當(dāng)x0，)時，f(x)<0恒成立6在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為6sin ，點P的極坐標(biāo)為，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點P的直角坐標(biāo)；(2)過點P的直線l與曲線C相交于A，B兩點，若|PA|2|PB|，求|AB|的值解(1)由6sin ，得26sin ，又xcos ，ysin ，x2y26y，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2(y3)29，P點的直角坐標(biāo)為(1,1)(2)設(shè)過點P的直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，將其代入x2y26y，得t22(cos 2sin )t40，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t1t24，|PA|2|PB|，t12t2，t12，t2或t12，t2，|AB|t1t2|3.7(2018安徽省江南十校模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)解不等式：f(x)x3；(2)若不等式|m|f(x)|m2|3m2|對任意mR恒成立，求x的取值范圍解(1)由得2x6；由得1<x<2；由得0x1.由可得x0,6(2)當(dāng)m0時，00，xR；當(dāng)m0時，即f(x)對mR恒成立，4，當(dāng)且僅當(dāng)3，即0<m時取等號，f(x)|x1|x2|4，當(dāng)x2時，2x34，解得x；當(dāng)1<x<2時，x12x4，解得x；當(dāng)x1時，32x4，解得x，綜上，x的取值范圍為.