《（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題19 圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題19 圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 理.doc（29頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

母題十九 圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 【母題原題1】【2018天津，理19】 設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且． （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q． 若(O為原點(diǎn))，求k的值． 【考點(diǎn)分析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分14分． 【答案】（I）；（II）或． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由已知有， 又由，可得．由已知可得，，， 由，可得，從而，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 易知直線的方程為，由方程組消去，可得． 由，可得，兩邊平方，整理得， 解得，或，的值為或 【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意： （1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件； （2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題． 【母題原題2】【2017天津，理19】 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為． （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程． 【答案】（1），；（2），或． 【解析】試題分析：由于為拋物線焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出 所在直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程． 或．由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn)．由，可得直線的方程為，令，解得，故．∴．又∵的面積為，故，整理得，解得，∴．∴直線的方程為，或． 解法二：設(shè)則從而直線的方程為，代入橢圓方程，整理得．兩根之積為 代入，得．∴直線的方程為：，即．令，得，解得． 解得直線的方程為或，即，或． 【考點(diǎn)】直線與橢圓綜合問題 【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點(diǎn)，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標(biāo)化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵． 【母題原題3】【2016天津，理19】 設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若，且，求直線的斜率的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為． （Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為．設(shè)，由方程組，消去，整理得．解得，或，由題消去，解得．在中，，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或．所以直線的斜率的取值范圍為． 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 【母題原題4】【2015天津，理19】 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，． （I）求直線FM的斜率； （II）求橢圓的方程； （III）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍． 【答案】（I） ； （II） ；(III) ． 【解析】 試題分析：（I） 由橢圓知識(shí)先求出的關(guān)系，設(shè)直線直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； （II）由（I）設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程．(III)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍． 試題解析：（I） 由已知有，又由，可得，， 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有 ，解得． （II）由（I）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得． ①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得 ②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得 綜上，直線的斜率的取值范圍是． 【命題意圖】本類題通常主要考查對(duì)橢圓的離心率、橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的離心率、雙曲線的幾何性質(zhì)、雙曲線的漸近線、拋物線的幾何性質(zhì)等基本知識(shí)的理解，以及對(duì)直線與圓錐曲線間的交點(diǎn)問題（含切線問題）、與圓錐曲線定義有關(guān)的問題、與曲線有關(guān)的最值問題（含三角形和四邊形面積）等知識(shí)的理解與簡(jiǎn)單的應(yīng)用． 【命題規(guī)律】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，也會(huì)出現(xiàn)在解答題中第一問，難度一般中等，有時(shí)中等偏上，一般不會(huì)作為把關(guān)題，在考查內(nèi)容上一般以求離心率，求雙曲線的漸近線，求最值，求范圍，利用性質(zhì)求曲線方程等，著重考查對(duì)基本概念和基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，題型穩(wěn)定，中規(guī)中矩，不偏不怪，內(nèi)容及位置也很穩(wěn)定，計(jì)算量比過去減少，但思考量增大，思維層次的要求并沒有降低．若再按以前的“解幾套路”解題顯然難以成功． 【答題模板】以2017年高考題為例，求取橢圓或雙曲線離心率，一般可由下面三個(gè)方面著手： （1）根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值； （2）已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍． （3）求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于的不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到關(guān)于的不等式，由這個(gè)不等式確定的關(guān)系． 總體來說，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關(guān)參數(shù)． 【方法總結(jié)】 1．圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)．因此，對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求，拋物線的定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值1(點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離之比等于1)，常常利用拋物線的定義將拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的焦半徑問題與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離問題互相轉(zhuǎn)化． 2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，若頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為或 ()，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論，此時(shí)不具有的幾何意義．若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，也可設(shè)橢圓方程為，若雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，也可設(shè)雙曲線的方程為，其中異號(hào)且都不為0，若已知雙曲線的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）可避免分類討論，這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算． 3．求解與二次曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，即使不畫圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖像．對(duì)橢圓當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．對(duì)雙曲線應(yīng)圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”（兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)、虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)），“四線”（兩條對(duì)稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的特征三角形，雙曲線上一點(diǎn)與兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形），研究它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系． 4．橢圓取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用，橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[]．在橢圓中，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，稱該三角形為焦點(diǎn)三角形，則三角形的周長(zhǎng)為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長(zhǎng)；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)為．雙曲線取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用，雙曲線上一點(diǎn)到雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[)．在雙曲線中，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線上，稱該三角形為焦點(diǎn)三角形，則面積等于，其中是虛半軸的長(zhǎng)；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)即通徑長(zhǎng)為．拋物線中：拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p＞0）：　 ．焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：對(duì)于過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長(zhǎng)公式．設(shè)過拋物線y2=2px（p＞O）的焦點(diǎn)F的弦為AB，A，B，AB的傾斜角為，則有或，以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長(zhǎng)公式”來求．在拋物線中，以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與該拋物的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相切． 5．求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值；橢圓求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍．離心率與的關(guān)系為：=．雙曲線求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍．離心率與的關(guān)系為：=，在雙曲線中由于，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)．求離心率的范圍問題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于的不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到關(guān)于的不等式，由這個(gè)不等式確定的關(guān)系．求解圓錐曲線的離心率，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關(guān)參數(shù)． 6．拋物線（）上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（），在計(jì)算時(shí)，可以降低計(jì)算量． 7． 焦點(diǎn)三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點(diǎn)三角形，就是以橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓或雙曲線上的三角形． (2)解決此類問題要注意應(yīng)用三個(gè)方面的知識(shí)： ①橢圓或雙曲線的定義； ②勾股定理或余弦定理； ③基本不等式與三角形的面積公式． 1．【2018天津部分區(qū)二?！恳阎獟佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)重合，且這個(gè)頂點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為． （1）求橢圓的方程； （2）若橢圓的上頂點(diǎn)為，過作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，的面積為，求的值． 【答案】(1)；(2)． 又橢圓的頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，∴， ∴，故橢圓的方程是． （2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)， 由得，解得， ∴，∴ 直線斜率，直線的方程為， ∴的值為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、橢圓性質(zhì)、直線方程、理、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題． 2．【2018天津河?xùn)|區(qū)二?！恳阎獧E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為． (1)求橢圓方程； (2)斜率為k的直線l過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P為直線x=3上的一點(diǎn)， 若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程． 【答案】(1) ． (2) 或． 【解析】分析：（1）列方程組求出a和b即得橢圓的方程．(2) 設(shè)直線的方程為，根據(jù)△ABP為等邊三角形求出k的值，即得直線的方程． 詳解：（1）由已知 ，，可得，，所以橢圓的方程為． （2）設(shè)直線的方程為，直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為，， 整理為，所以所以． 【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力、分析推理能力和計(jì)算能力．(2)解答本題的關(guān)鍵是求k，本題是根據(jù)等邊三角形得到找到k的方程的，當(dāng)然先要求出|AB|和|MP|．計(jì)算量比較大． 3．【2018天津河北區(qū)二?！吭O(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足為線段的中點(diǎn)，且AB⊥． （I）求橢圓C的離心率； （II）若過A、B、三點(diǎn)的圓與直線：相切，求橢圓C的方程； （III）在（I）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由題意可得過A、B、F2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r= =2c，根據(jù)直線與圓相切可得，解得c=1，從而，，可得橢圓的方程．（Ⅲ）由條件可設(shè)直線MN的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，由此得到，整理得，最后可求得． （III）由（I）知，F(xiàn)2(1，0)，直線MN的方程為， 由 消去y整理得 ∵直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，∴． 設(shè)M(，)，N(，)，則， ∴， ∴MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則， ∴整理得，∵，∴，∴． ∴．故存在滿足題意的點(diǎn)P，且m的取值范圍是(． 【名師點(diǎn)睛】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)或參數(shù))存在，并用待定系數(shù)法設(shè)出，根據(jù)題意列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（方程組），若方程（組）有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)或參數(shù))存在；否則元素(點(diǎn)或參數(shù))不存在． （2）解析幾何中求范圍或最值時(shí)，首先建立關(guān)于某一參數(shù)為為變量的目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征求出范圍或最值． 4．【2018天津十二校二模】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，過點(diǎn)的直線與橢圓交于軸上方的，兩點(diǎn)，且． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）（?。┣笾本€的斜率； （ⅱ）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值． 【答案】（I） 離心率；（II）． 當(dāng)時(shí)，得，由已知得，求出外接圓方程與直線的方程，聯(lián)立可得結(jié)果． 詳解：（I）由得，從而，整理，得，故離心率． （II）解法一：（I）由（I）得，所以橢圓的方程可寫 設(shè)直線AB的方程為，即． 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組 消去y整理，得． 依題意， 而 ① ②w 由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以 ③ （II）由（I）可知 當(dāng)時(shí)，得，由已知得． 線段的垂直平分線l的方程為 直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為． 直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組 ， 由解得故 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與直線的位置關(guān)系以及橢圓離心率，屬于難題．離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解． 5．【2018天津9校聯(lián)考】已知過點(diǎn)的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上的任意一點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（I）． (2)或． 由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2，由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范圍． 試題解析： （1）∵，，成等差數(shù)列， ∴， 由橢圓定義得，∴； 又橢圓：（）過點(diǎn)， ∴；∴，解得，； 可得；③ 由①②③，解得，； 由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角，即； 由，， ∴；即， 整理得，，解得：或． ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或． 【名師點(diǎn)睛】在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)，常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 6．【2018天津?yàn)I海新區(qū)七校聯(lián)考】已知，橢圓的離心率，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】試題分析：（1）由離心率與斜率可求得a，b，c．（II）設(shè)，與橢圓組方程組，由弦長(zhǎng) ， ， 設(shè)，， ， 又點(diǎn)到直線的距離， ∴△OPQ的面積， 設(shè)，則，∴， 【名師點(diǎn)睛】弦長(zhǎng)公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線，上兩點(diǎn)，所以或． 7．【2018天津十二校聯(lián)考一】如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，離心率為，設(shè)點(diǎn)，連接交橢圓于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是． （1）證明： ； （2）設(shè)三角形的面積為，四邊形的面積為，若 的最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率，即可證明；（2）由（1）知，，根據(jù)的最小值為1，即可求出的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 試題解析：（1）由 得，，∴，即．∴橢圓的方程為，由，整理得： ，由 可得 ∴橢圓方程為． 8．【2018天津靜海一中模擬】設(shè)橢圓C： 的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，過橢圓右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)． （I）求橢圓C的方程； (2)若，求直線l的方程； (3)若是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，，求證： 為定值． 【答案】（I） ；（II）y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)；(3)見解析． 【解析】試題分析：（1）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韋達(dá)定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韋達(dá)定理計(jì)算，得到答案． 試題解析： （I）橢圓的頂點(diǎn)為(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1． (2)由題可知，直線l與橢圓必相交． ①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意． 由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝ ＝＝， 由消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4， ∴＝＝4，為定值． 9．【2018天津一中月考五】已知橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)、分別做軸的垂線，垂足分別為、． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線，使得點(diǎn)平分線段，？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（I）；(2)答案見解析． 【解析】試題分析： （I）由正三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系可求出，再由點(diǎn) 在橢圓上，可求出 的值，從而求出橢圓方程； (2)假設(shè)存在，由直線方程可求出 點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可求出 點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，得到關(guān)于 的一元二次方程， 所以橢圓方程為． （2）存在 設(shè)，∵ ∴ ∴① ∴， 聯(lián)立 ∴② ∴ ∴ 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．第一問求橢圓方程很容易，大部分學(xué)生能做對(duì)； 在第二問中，假設(shè)存在，當(dāng)點(diǎn)平分線段點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出的值，得出直線方程．注意本題涉及的點(diǎn)線位置關(guān)系比較復(fù)雜，容易弄錯(cuò)． 10．【2018天津靜海一中期末考】設(shè)橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，若過，，三點(diǎn)的圓恰好與直線相切．過定點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）． 【解析】試題分析：（1）由題意，得橢圓方程為．；（2）設(shè)直線方程為，，所以，利用韋達(dá)定理，就出的取值范圍． （Ⅱ）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)， 設(shè)直線方程為，代入橢圓方程 得． 由，得．設(shè)，， 則，． 又，所以．所以． 所以，． 所以．所以． 整理得．因?yàn)?，所以，即．所以? 所以，即所求的取值范圍是 【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系．圓錐曲線問題關(guān)鍵是分析解題思路，邏輯思維要清晰．本題中要求線段長(zhǎng)的比值，轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的比值關(guān)系，則需要韋達(dá)定理，所以通過設(shè)直線，得到整個(gè)題目的思路． 11．【2018天津靜海一中模擬】設(shè)橢圓C： ，定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為，若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形． （I）求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程； （II）過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （i）證明∠AOB為定值； （ii）連接PO并延長(zhǎng)交“相關(guān)圓”E于點(diǎn)Q，求△ABQ面積的取值范圍． 【答案】（I） （II）（i）見解析（ii） 【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，得到 由此能求出橢圓的方程． 進(jìn)而求出“相關(guān)圓”的方程． （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 ；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，得 由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線與圓相切，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出為定值． （ii）要求的面積的取值范圍，只需求弦長(zhǎng)的范圍，由此利用橢圓弦長(zhǎng)公式能求出面積的取值范圍． 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程設(shè)為，設(shè) 聯(lián)立方程組得，即， △=，即 因?yàn)橹本€與相關(guān)圓相切，所以 為定值 （ii）由于是“相關(guān)圓”的直徑，所以，所以要求面積的取值范圍， 所以，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=” ②當(dāng)時(shí)，．|AB |的取值范圍為 面積的取值范圍是． 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓及圓的方程的求法，考查角為定值及三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線與圓相切、橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用． 12．【2018天津一中期末考試】已知點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，與的等比中項(xiàng)是，橢圓的離心率為． （I）求橢圓的方程； (2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與該軌跡交于兩點(diǎn)，若直線的斜率依次成等比數(shù)列，求的面積的取值范圍． 【答案】（I） ；（II）． 表示出三角形面積，求解范圍即可． 試題解析：（I） ，，是與的等比中項(xiàng)，∴， ∴，又，解得，∴橢圓的方程為． (2)由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線，，，聯(lián)立直線和橢圓，消去得，， 由題意可知，，即， 且，， 又直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，所以， 將，代入并整理得，因?yàn)?，，，且? 設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則有，， ∴，∴三角形面積的取值范圍為． 13．【2018天津和平區(qū)期末考】已知橢圓的方程為 （ ）的離心率為，圓的方程為，若橢圓與圓 相交于， 兩點(diǎn)，且線段 恰好為圓 的直徑． （1）求直線 的方程； （2）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【答案】（1） ；（2）． 弦長(zhǎng)公式列方程可得，從而得，進(jìn)而可得橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程． 試題解析：（1）由 得， ∴，即，∴橢圓 的方程為， 設(shè)，，∵線段 恰好為圓 的直徑， ∴線段 的中點(diǎn)恰好為圓心，于是有，， 由于，，兩式相減，并整理得， 有，∴ ∴直線 的方程為，即． （2）解：由（1）知，代入并整理得， ， ∵橢圓 與圓 相交于， 兩點(diǎn)， ∴，解得， 于是， ∴所求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，屬于難題．用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求． 14．【2018天津紅橋區(qū)期末考】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若該橢圓的離心等于， （I)求橢圓的方程； （II）點(diǎn)是橢圓上位于軸下方一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的傾斜角為，求的面積． 【答案】(Ⅰ) 橢圓方程；（II） ． 【解析】試題分析：（Ⅰ）易知b=1，由離心率為，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到橢圓方程； ，整理得： ，解得，則， ==． 15．【2018天津新華中學(xué)期中考】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為和，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上． （）求橢圓的方程． （）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)． ①求的值． ②求面積的最大值． 【答案】（I） （II）①2② 【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義可得，再結(jié)合離心率得到橢圓的方程；（2）（i）設(shè)P（x0，y0），|=λ，求得Q的坐標(biāo)，分別代入橢圓C，E的方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值； （ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，三角形的面積公式，（）①橢圓為方程為，設(shè)， 則有，在射線上，設(shè)，代入橢圓可得， 解得，即，． ②（理）由①可得為中點(diǎn)，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等， 故，聯(lián)立，可得， 16．【2018天津河西區(qū)模擬】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為和，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上． （）求橢圓的方程． （）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)． ①求的值． ②求面積的最大值． 【答案】（1）；（2）①2，②． 【解析】試題分析：（）利用橢圓的定義進(jìn)行求解；（）①設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)在橢圓上和三點(diǎn)共線進(jìn)行求解；②先利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式進(jìn)行求解． 試題解析：（）設(shè)兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則，，由在橢圓上可得，則，，得，則，故橢圓方程為． （）①橢圓為方程為，設(shè)，則有， 在射線上，設(shè)，代入橢圓可得， 解得，即，． ②由①可得為中點(diǎn)，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等， 故，聯(lián)立，可得， 17．【2018天津一中月考三】在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其中為橢圓的離心率．過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)（在軸下方）． （1）求橢圓的方程； （2）過原點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，，求的值； （3）記直線與軸的交點(diǎn)為．若，求直線的斜率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得（2）根據(jù)投影可得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得定值（3）先求交點(diǎn)坐 整理得，解得或（舍），所以橢圓的方程為． （2）設(shè)，．因?yàn)椋瑒t直線的方程為． 聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，得，所以．因?yàn)?，所以直線方程為， 聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，解得． 因?yàn)?，所以? 因?yàn)?， ，所以 ． （3）在中，令，則，所以， 從而，． 或（舍）．又因?yàn)?，所以? 【名師點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn)． 18．【2018天津耀華中學(xué)月考三】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且離心率． （1）求該橢圓的方程； （2）若與是該橢圓上不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，試證： 軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于所有滿足條件的與，恒有． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計(jì)算公式及焦點(diǎn)即可得方程； （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，由線段的中點(diǎn)在直線上，得，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)， ，進(jìn)而得，即可求得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得成立． 試題解析：（1）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，∴， 又，∴，∴該橢圓的方程為． （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， ，， ∴ ，即，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線垂直于軸，此時(shí)顯然成立，綜上，軸上存在定點(diǎn)． 【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常見解法： （1）根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，根據(jù)該方程與參數(shù)無關(guān)，可得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)； （2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意．