第05節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.2014浙江文科21，理科22；2017浙江卷7，20. 2018浙江10，22；1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2. 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢(shì)3.適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題.4.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ)；(2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【知識(shí)清單】1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識(shí)別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比較復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).2與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題1方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)2求極值的步驟：先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).3與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理：4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】【2018年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.【1-2】【2017浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D【解析】,原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時(shí)，極值點(diǎn)大于0，因此選D【領(lǐng)悟技法】導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【觸類旁通】【變式一】函數(shù)y=4cosx-e|x|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是 A B C D【答案】A【變式二】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D考點(diǎn)2 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題【2-1】【2018年理數(shù)全國卷II】已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求【答案】（1）見解析（2）詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減而，故當(dāng)時(shí)，即（2）設(shè)函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)（i）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故是在的最小值若，即，在沒有零點(diǎn)；若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，所以故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，【2-2】【2016新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.【答案】【解析】（）（i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)（iii）設(shè),由得或若,則,故當(dāng)時(shí),因此在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上,的取值范圍為（）不妨設(shè),由（）知,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即由于,而,所以設(shè),則所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),從而,故【領(lǐng)悟技法】1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.3. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題【觸類旁通】【變式一】【2017課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ，【變式二】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ）.（1）當(dāng)是，求證： ；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（）見解析;（）【解析】試題分析：（）證明不等式，就是證明，先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：求導(dǎo)函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)范圍，分析函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)最值，再根據(jù)基本不等式證明，（）根據(jù)圖像可知原題等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn)，且極大值大于零，即根據(jù)極值定義得及極大值再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式得，進(jìn)而得到的取值范圍.（）故等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn)得： 故令，則又在上單增，由，得綜上， 考點(diǎn)3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題【3-1】【2018屆浙教版高三二輪專題測(cè)試】已知函數(shù)，g(x)x22bx4，若對(duì)任意的x1(0，2)，任意的x21，2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A. B. (1，) C. D. 【答案】A【解析】依題意，問題等價(jià)于f(x1)ming(x2)max. (x0)，所以.由f(x)0，解得1x3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，3)，同理得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)和(3，)，故在區(qū)間(0，2)上，x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的，所以f(x1)minf(1).函數(shù)g(x2)2bx24，x21，2.當(dāng)b1時(shí)，g(x2)maxg(1)2b5；當(dāng)1b2時(shí)，g(x2)maxg(b)b24；當(dāng)b2時(shí)，g(x2)maxg(2)4b8.故問題等價(jià)于或或解第一個(gè)不等式組得b1，解第二個(gè)不等式組得1b，第三個(gè)不等式組無解.綜上所述，b的取值范圍是.故選A.【3-2】已知函數(shù)（1）求在上的最小值；（2）若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍 【答案】（1） ；（2）.（2）由（1）知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，且在上，又，則又時(shí)，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得，解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得或，解集為無整數(shù)解，若不等式有兩整數(shù)解，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【領(lǐng)悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為的最值處理；參變分離法，將不等式等價(jià)變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【觸類旁通】【變式一】已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A BC D【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則，則要使，則，可轉(zhuǎn)化為：存在使得成立設(shè)，則因?yàn)?，則，從而，所以，即，選C【變式二】【2018屆四川省梓潼中學(xué)校模擬（二）】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意，求得，得到，又由，分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性和最大值，即可求解.詳解：由函數(shù)，得，又由，可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得，所以，由，可得，可得，即，設(shè)，則，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.考點(diǎn)4 利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題【4-1】【2018年浙江卷】已知成等比數(shù)列，且若，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先證不等式，再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.詳解：令則，令得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此， 若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，選B.點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個(gè)有效方法.如【4-2】【2018年浙江卷】已知函數(shù)f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>88ln2；（）若a34ln2，證明：對(duì)于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)【答案】（）見解析（）見解析【解析】分析: （）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得x1，x2關(guān)系，再化簡(jiǎn)f(x1)+f(x2)為，利用基本不等式求得取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明不等式，（）一方面利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)有零點(diǎn)，另一方面，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，即至多一個(gè)零點(diǎn).兩者綜合即得結(jié)論.詳解：（）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由得，因?yàn)?，所以由基本不等式得因?yàn)?，所以由題意得設(shè)，則，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上單調(diào)遞增，故，即（）令m=，n=，則f（m）kma>|a|+kka0，f（n）kna<<0，所以，存在x0（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，對(duì)于任意的aR及k（0，+），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點(diǎn)由f（x）=kx+a得設(shè)h（x）=，則h（x）=，其中g(shù)（x）=由（）可知g（x）g（16），又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h（x）0，即函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）kxa=0至多1個(gè)實(shí)根綜上，當(dāng)a34ln2時(shí)，對(duì)于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn)【領(lǐng)悟技法】1.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口.2.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性 ，從而解不等式的方法.【觸類旁通】【變式一】【2017課標(biāo)II，理】已知函數(shù)，且.(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【答案】(1)；(2)證明略.【解析】（2）由（1）知 ，.設(shè)，則.當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增.【變式二】【2017課標(biāo)3，理21】已知函數(shù) .（1）若 ，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得 ；(2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得，結(jié)合可知實(shí)數(shù) 的最小值為 【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍易錯(cuò)分析：（）忽視定義域致誤；（）對(duì)全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤正確解析：.（）. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）由已知，在上有.由已知，由（）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得，故. 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，. 溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應(yīng)豎立定義域優(yōu)先原則；(2) 任意，指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)自變量；存在，指的是區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)自變量，故本題是恒成立問題和有解問題的組合.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍在解答導(dǎo)數(shù)問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如：【典例1】已知是常數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）【答案】D【解析】由已知，由圖象可知，對(duì)稱軸，解得，則函數(shù)的圖象如圖，則函數(shù)的圖象為D.【典例2】已知函數(shù)（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】