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高考大題專(zhuān)項(xiàng)練五 高考中的解析幾何
1.設(shè)A,B為曲線C:y=x24上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y=x2.
設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知x32=1,
解得x3=2,于是M(2,1).
設(shè)直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.
當(dāng)Δ=16(m+1)>0,即m>-1時(shí),x1,2=22m+1.
從而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由題設(shè)知|AB|=2|MN|,
即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
2.已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿(mǎn)足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.
(1)求曲線C的方程;
(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2
0,x2>0.
由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,
可知y1+y2=2k,y1y2=-4.
直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).①
將x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),
所以∠ABM=∠ABN.
綜上,∠ABM=∠ABN.
4.已知中心在原點(diǎn)O,左焦點(diǎn)為F1(-1,0)的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,F1到直線AB的距離為77|OB|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C1的方程為x2m2+y2n2=1(m>n>0),橢圓C2的方程為x2m2+y2n2=λ(λ>0,且λ≠1),則稱(chēng)橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.如圖,已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓,若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點(diǎn)M,N,試求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍.
解(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∴直線AB的方程為x-a+yb=1.
∴F1(-1,0)到直線AB的距離d=|b-ab|a2+b2=77b,a2+b2=7(a-1)2.
又b2=a2-1,解得a=2,b=3,
故橢圓C的方程為x24+y23=1.
(2)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為x212+y29=1,
①若切線l垂直于x軸,則其方程為x=2,
易求得|MN|=26.
②若切線l不垂直于x軸,可設(shè)其方程為y=kx+b,
將y=kx+b代入橢圓C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,
∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,
即b2=4k2+3, (*)
設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
將y=kx+b代入橢圓C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,
此時(shí)x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-363+4k2,
|x1-x2|=43(12k2+9-b2)3+4k2,
∴|MN|=1+k243(12k2+9-b2)3+4k2
=461+k23+4k2=261+13+4k2.
∵3+4k2≥3,∴1<1+13+4k2≤43,
即26<261+13+4k2≤42.
綜合①②,得弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍為[26,42].
5.(2018全國(guó) Ⅲ,文20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-12;
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0.證明:2|FP|=|FA|+|FB|.
證明(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y123=1,x224+y223=1.
兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0.
由題設(shè)知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.
由題設(shè)得0b>0)的離心率為12,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+6=0相切,過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求OAOB的取值范圍;
(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是E,證明:直線AE與x軸相交于定點(diǎn).
(1)解由題意知,ca=12,62=b,即b=3.
又a2=b2+c2,所以a=2,b=3.
故橢圓C的方程為x24+y23=1.
(2)解由題意知直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),
由y=k(x-4),x24+y23=1,可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則Δ=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,
所以0≤k2<14.
則x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2. ①
所以O(shè)AOB=x1x2+y1y2
=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)64k2-123+4k2-4k232k23+4k2+16k2
=25-874k2+3.
因?yàn)?≤k2<14,所以-873≤-874k2+3<-874,
則-4≤25-874k2+3<134,
即OAOB∈-4,134.
(3)證明因?yàn)锽,E關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以可設(shè)E(x2,-y2),
則直線AE的方程為y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).
令y=0,可得x=x1-y1(x1-x2)y1+y2.
因?yàn)閥1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
所以x=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8
=264k2-123+4k2-432k23+4k232k23+4k2-8=1,
所以直線AE與x軸交于定點(diǎn)(1,0).
7.(2018天津,文19)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.
解(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為x29+y24=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.
由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,
整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12.
當(dāng)k=-89時(shí),x2=-9<0,不合題意,舍去;
當(dāng)k=-12時(shí),x2=12,x1=125,符合題意.
所以,k的值為-12.
8.
如圖,已知橢圓x24+y23=1的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-14,求直線AB的斜率;
(2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.試問(wèn):是否存在直線AB,使得S1=S2?說(shuō)明理由.
解(1)依題意可知,直線AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x+1),
將其代入x24+y23=1,
整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8k24k2+3.
故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為x1+x22=-4k24k2+3=-14,解得k=12.
(2)假設(shè)存在直線AB,使得S1=S2,顯然直線AB不能與x軸或y軸垂直.
由(1)可得G-4k24k2+3,3k4k2+3.
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(xD,0).
因?yàn)镈G⊥AB,所以3k4k2+3-4k24k2+3-xDk=-1,
解得xD=-k24k2+3,
即D-k24k2+3,0.
因?yàn)椤鱃FD∽△OED,
且S1=S2,所以|GD|=|OD|.
所以-k24k2+3--4k24k2+32+-3k4k2+32=-k24k2+3,
整理得8k2+9=0.
因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解,所以不存在直線AB,使得S1=S2.
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