第78練 高考大題突破練圓錐曲線中的定點、定值問題基礎(chǔ)保分練1.(2019嘉興模擬)點P(1,1)為拋物線y2x上一定點，斜率為的直線與拋物線交于A，B兩點.(1)求弦AB中點M的縱坐標(biāo)；(2)點Q是線段PB上任意一點(異于端點)，過Q作PA的平行線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，求證：|QE|QF|QP|QB|為定值.2.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率e，且點P為橢圓E上一點.點A，B為橢圓E的上、下頂點，動點M在第一象限內(nèi)且坐標(biāo)為(m,2)，過點M作直線MA，MB分別交橢圓E于C，D兩點.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線CD是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.3.設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，右焦點到直線1的距離d，O為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓C的方程；(2)過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明：點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值.能力提升練4.平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率是，拋物線E：x22y的焦點F是C的一個頂點.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.求證：點M在定直線上；直線l與y軸交于點G，記PFG的面積為S1，PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo).答案精析基礎(chǔ)保分練1(1)解(1)kAB，(*)yAyB2，M點縱坐標(biāo)為1.(2)證明設(shè)Q(x0，y0)，直線EF：xx0t1(yy0)，直線PB：xx0t2(yy0)，聯(lián)立方程組得y2t1yt1y0x00，所以yEyFt1，yEyFt1y0x0，|QE|QF|yEy0|yFy0|(1t)|yx0|.同理|QP|QB|(1t)|yx0|.由(*)可知，t1yAyP，t2yByP，所以t1t2(yAyB)2yP220，即t1t2，即tt，所以|QE|QF|QP|QB|，即|QE|QF|QP|QB|0為定值2解(1)由e，可得a2b，將代入橢圓E的方程，得1，解得b1，a2，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意，得A(0,1)，B(0，1)，則直線MA的方程為y1，直線MB的方程為y1，聯(lián)立xC，xD.C，D，kCD，則直線CD的方程為yx，直線CD過定點.3解(1)由e，得，即a2c，bc.由右焦點到直線1的距離d，得，解得a2，b.橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，x2x1，y1y2，yx.又1，解得|x1|，即點O到直線AB的距離d；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxm，與橢圓的方程1聯(lián)立并消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，x1x2，x1x2.OAOB，x1x2y1y20，x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，(k21)m20，整理得7m212(k21)，點O到直線AB的距離d.點O到直線AB的距離為定值.OAOB，OA2OB2AB22OAOB，當(dāng)且僅當(dāng)OAOB時取“”由dABOAOB，得dABOAOB，AB2d，即弦AB長度的最小值是.能力提升練4(1)解由題意知，可得a24b2，因為拋物線E的焦點為F，所以b，a1，所以橢圓C的方程為x24y21.(2)證明設(shè)P(m>0)，由x22y，可得yx，所以直線l的斜率為m，因此直線l的方程為ym(xm)，即ymx.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)聯(lián)立方程得(4m21)x24m3xm410.由>0，得0<m<(或0<m2<2)(*)且x1x2，因此x0，將其代入ymx，得y0，因為.所以直線OD的方程為yx，聯(lián)立方程得點M的縱坐標(biāo)yM，所以點M在定直線y上解由知直線l的方程為ymx，令x0，得y，所以G，又P，F(xiàn)，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|，所以.設(shè)t2m21，則2，當(dāng)，即t2時，取到最大值，此時m，滿足(*)式，所以P點坐標(biāo)為.因此的最大值為，此時點P的坐標(biāo)為.