第4課時(shí)直線的方程(二)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 )1.下列說(shuō)法正確的是().A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程xa+yb=1表示D.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示【解析】當(dāng)直線與y軸重合時(shí),斜率不存在,選項(xiàng)A、D不正確;當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí),直線方程不能用截距式表示,選項(xiàng)C不正確;當(dāng)x1x2,y1y2時(shí),由直線方程的兩點(diǎn)式知選項(xiàng)B正確,故選B.【答案】B2.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線,則1a+1b的值等于().A.12B.2C.14D.4【解析】由題意知三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共線,則點(diǎn)A在過(guò)點(diǎn)B(a,0),C(0,b)的直線上,直線BC的方程為xa+yb=1,2a+2b=1,即1a+1b=12.【答案】A3.過(guò)點(diǎn)M(1,-2)的直線與x軸,y軸分別交于P,Q兩點(diǎn),若M恰為線段PQ的中點(diǎn),則直線PQ的方程為().A.2x+y=0B.2x-y-4=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,y0),M(1,-2)為線段PQ的中點(diǎn),x0=2,y0=-4,直線PQ的方程為x2+y-4=1,即2x-y-4=0.【答案】B4.設(shè)入射光線沿直線y=2x+1射向直線y=x,則被y=x反射后,反射光線所在的直線方程是().A.x+2y+3=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x-2y-1=0【答案】D5.過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距和為0的直線方程為.【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0,滿足題意.此時(shí)直線方程為y=2x.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),可知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),且不為0.可設(shè)直線方程為xa+y-a=1,即x-y=a.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(1,2),所以1-2=a,所以a=-1,直線方程為x-y+1=0.【答案】y=2x或x-y+1=06.將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,再向右平移1個(gè)單位,所得到的直線的方程為.【解析】將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到直線y=-13x,再向右平移1個(gè)單位,所得直線的方程為y=-13(x-1),即y=-13x+13.【答案】y=-13x+137.已知直線過(guò)點(diǎn)P43,2且與x軸,y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線同時(shí)滿足下列條件:(1)AOB的周長(zhǎng)為12;(2)AOB的面積為6.若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】設(shè)直線方程為xa+yb=1(a>0,b>0),若滿足條件(1),則a+b+a2+b2=12.又直線過(guò)點(diǎn)P43,2,43a+2b=1.由可得5a2-32a+48=0,解得a=4,b=3或a=125,b=92,所求直線的方程為x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若滿足條件(2),則ab=12.由題意得43a+2b=1.由整理得a2-6a+8=0,解得a=4,b=3或a=2,b=6,所求直線的方程為x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.綜上所述,存在同時(shí)滿足(1)(2)兩個(gè)條件的直線方程為3x+4y-12=0.拓展提升(水平二)8.過(guò)點(diǎn)A(5,2),且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程為().A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】設(shè)直線在x軸上的截距為a,則在y軸上的截距為-a.若a=0,則直線過(guò)原點(diǎn),其方程為2x-5y=0.若a0,則設(shè)其方程為xa+y-a=1.又點(diǎn)(5,2)在直線上,所以5a+2-a=1,解得a=3.所以直線方程為x-y-3=0.綜上所述,直線l的方程為2x-5y=0或x-y-3=0.【答案】C9.已知兩條直線的方程分別為l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中的位置如圖所示,則().A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c【解析】由題圖可知直線l1、l2的斜率都大于0,即k1=-1a>0,k2=-1c>0,且k1>k2,a<0,c<0,且a>c.又直線l1的縱截距-ba<0,直線l2的縱截距-dc>0,b<0,d>0,故選C.【答案】C10.過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距都為正,且截距之和最小,則直線的方程是.【解析】設(shè)直線的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),則有1a+4b=1,所以a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即a=3,b=6時(shí)等號(hào)成立,所以直線的方程為2x+y-6=0.【答案】2x+y-6=011.ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)分別求邊AC和AB所在的直線方程;(2)求AC邊上的中線BD所在的直線方程;(3)求AC邊的中垂線所在的直線方程;(4)求AC邊上的高所在的直線方程;(5)求經(jīng)過(guò)兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線方程.【解析】(1)由A(0,4),C(-8,0)可得直線AC的截距式方程為x-8+y4=1,即x-2y+8=0.由A(0,4),B(-2,6)可得直線AB的兩點(diǎn)式方程為y-46-4=x-0-2-0,即x+y-4=0.(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,2),所以直線BD的兩點(diǎn)式方程為y-62-6=x+2-4+2,即2x-y+10=0.(3)因?yàn)橹本€AC的斜率kAC=4-00+8=12,所以AC邊的中垂線的斜率k=-2.又AC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,2),所以AC邊的中垂線方程為y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.(4)AC邊上的高線的斜率為-2,且過(guò)點(diǎn)B(-2,6),所以其點(diǎn)斜式方程為y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.(5)AB的中點(diǎn)M(-1,5),AC的中點(diǎn)D(-4,2),所以直線DM的方程為y-25-2=x-(-4)-1-(-4),即x-y+6=0.