專題對點(diǎn)練10三角函數(shù)與三角變換1.(2018上海,18)設(shè)常數(shù)aR,函數(shù)f(x)=asin 2x+2cos2x.(1)若f(x)為偶函數(shù),求a的值;(2)若f4=3+1,求方程f(x)=1-2在區(qū)間-,上的解.2.已知函數(shù)f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x-4,4時(shí),f(x)-12.3.設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x-3sin xcos x+12.(1)求f(x)的最小正周期及值域;(2)已知在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(B+C)=32,a=3,b+c=3,求ABC的面積.4.已知函數(shù)f(x)=3sin xcos x+cos2x-12(>0)的兩條相鄰對稱軸之間的距離為2.(1)求的值;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移6個(gè)單位,再將所得函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若函數(shù)y=g(x)-k在區(qū)間-6,23上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.5.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知A為銳角,且bsin Acos C+csin Acos B=32a.(1)求角A的大小;(2)設(shè)函數(shù)f(x)=tan Asin xcos x-12cos 2x(>0),其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間-24,4上的值域.6.已知f(x)=3sin(+x)sin32-x-cos2x(>0)的最小正周期為T=.(1)求f43的值;(2)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范圍.7.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a,且當(dāng)x0,2時(shí),f(x)的最小值為2.(1)求a的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來的12,再將所得圖象向右平移12個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間0,2上所有根之和.8.函數(shù)f(x)=2sin(x+)(>0,0<<)的部分圖象如圖所示.(1)求f(x)的解析式,并求函數(shù)f(x)在-12,4上的值域;(2)在ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin 2B.專題對點(diǎn)練10答案1.解 (1)f(x)=asin 2x+2cos2x,f(-x)=-asin 2x+2cos2x.f(x)為偶函數(shù),f(-x)=f(x),-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x,2asin 2x=0,a=0.(2)f4=3+1,asin2+2cos24=a+1=3+1,a=3,f(x)=3sin 2x+2cos2x=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+6+1.f(x)=1-2,2sin2x+6+1=1-2,sin2x+6=-22,2x+6=-4+2k或2x+6=54+2k,kZ,x=k-524或x=k+1324,kZ.x-,x=-1124或-524或1324或1924.所求方程的解為x=-1124或-524或1324或1924.2.(1)解 f(x)=32cos 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)證明 因?yàn)?4x4,所以-62x+356.所以sin2x+3sin-6=-12.所以當(dāng)x-4,4時(shí),f(x)-12.3.解 (1)f(x)=cos2x-3sin xcos x+12=cos2x+3+1,f(x)的最小正周期為T=.xR,-1cos2x+31,故f(x)的值域?yàn)?,2.(2)由f(B+C)=cos2(B+C)+3+1=32,得cos2A-3=12.又A(0,),得A=3.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos3=(b+c)2-3bc,又a=3,b+c=3,3=9-3bc,解得bc=2,ABC的面積S=12bcsin3=12232=32.4.解 (1)原函數(shù)可化為f(x)=32sin 2x+1+cos2x2-12=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6.函數(shù)f(x)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2,f(x)的最小正周期為22=.22=,=1.(2)由(1)知,=1,f(x)=sin2x+6,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移6個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin2x+6+6=sin2x+2=cos 2x的圖象,再將函數(shù)y=cos 2x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=cos x的圖象.g(x)=cos x.x-6,23,g(x)=cos x-12,1.函數(shù)y=g(x)-k在區(qū)間-6,23上存在零點(diǎn),k-12,1.實(shí)數(shù)k的取值范圍為-12,1.5.解 (1)bsin Acos C+csin Acos B=32a,由正弦定理可得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=32sin A,A為銳角,sin A0,sin Bcos C+sin Ccos B=32,可得sin(B+C)=sin A=32,A=3.(2)A=3,可得tan A=3,f(x)=3sin xcos x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為2,可得T=22=22,解得=1,f(x)=sin2x-6,將y=f(x)的圖象向左平移4個(gè)單位,圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=g(x)=sin2x+4-6=sin2x+3,x-24,4,可得2x+34,56,g(x)=sin2x+312,1.6.解 (1)f(x)=3sin(+x)sin32-x-cos2x=3sin xcos x-cos2x=32sin 2x-12cos 2x-12=sin2x-6-12.最小正周期為T=,22=,=1.f(x)=sin2x-6-12.f43=sin243-6-12=12.(2)(2a-c)cos B=bcos C,(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.sin A>0,cos B=12,B(0,),B=3.A0,23,2A-6-6,76,sin2A-6-12,1.即f(A)的取值范圍為-1,12.7.解 (1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a=cos 2x+1+3sin 2x+a=2sin2x+6+a+1,x0,2,2x+66,76,f(x)的最小值為-1+a+1=2,解得a=2,f(x)=2sin2x+6+3.由2k-22x+62k+2,kZ,可得k-3xk+6,kZ,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-3,k+6 (kZ).(2)由函數(shù)圖象變換可得g(x)=2sin4x-6+3,由g(x)=4可得sin4x-6=12,4x-6=2k+6或4x-6=2k+56(kZ),解得x=k2+12或x=k2+4(kZ),x0,2,x=12或x=4,所有根之和為12+4=3.8.解 (1)由題圖知,34T=1112-6=34,T=.2=,=2,f(x)=2sin(2x+).點(diǎn)6,2在函數(shù)f(x)的圖象上,sin3+=1,3+=2+2k(kZ).0<<,=6,f(x)=2sin2x+6.-12x4,02x+623.0sin2x+61,0f(x)2,即函數(shù)f(x)在-12,4上的值域?yàn)?,2.(2)f(A)=2sin2A+6=1,sin2A+6=12.6<2A+6<136,2A+6=56,A=3.在ABC中,由余弦定理得BC2=9+4-23212=7,BC=7.由正弦定理得7sin3=2sinB,故sin B=217.又AC<AB,角B為銳角,cos B=277,sin 2B=2sin Bcos B=2217277=437.