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考點規(guī)范練41　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 一、基礎(chǔ)鞏固 1.經(jīng)過兩點A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為3π4,則y= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-3 C.0 D.2 答案B 解析tan3π4=2y+1-(-3)4-2=2y+42=y+2, 因此y+2=-1,y=-3. 2.已知直線l:ax+y-2+a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值是(　　) A.1 B.-1 C.2或1 D.-2或1 答案C 解析當(dāng)a=0時,直線方程為y=2,顯然不符合題意, 當(dāng)a≠0時,令y=0,得到直線在x軸上的截距是2-aa, 令x=0時,得到直線在y軸上的截距為2-a, 根據(jù)題意得2-aa=2-a,解得a=2或a=1,故選C. 3.已知直線l的斜率為k(k≠0),它在x軸、y軸上的截距分別為k和2k,則直線l的方程為(　　) A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0 C.2x+y-4=0 D.2x+y+4=0 答案D 解析依題意得直線l過點(k,0)和(0,2k),所以其斜率k=2k-00-k=-2,由點斜式得直線l的方程為y=-2(x+2),化為一般式是2x+y+4=0. 4.直線l經(jīng)過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是(　　) A.-1,15 B.-∞,12∪(1,+∞) C.(-∞,1)∪15,+∞ D.(-∞,-1)∪12,+∞ 答案D 解析設(shè)直線的斜率為k,如圖,過定點A的直線經(jīng)過點B時,直線l在x軸上的截距為3,此時k=-1;過定點A的直線經(jīng)過點C時,直線l在x軸上的截距為-3,此時k=12,滿足條件的直線l的斜率范圍是(-∞,-1)∪12,+∞. 5.一次函數(shù)y=-mnx+1n的圖象同時經(jīng)過第一、第二、第四象限的必要不充分條件是(　　) A.m>1,且n>1 B.mn>0 C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0 答案B 解析因為y=-mnx+1n經(jīng)過第一、二、四象限,所以-mn<0,1n>0,即m>0,n>0,但此為充要條件,因此,其必要不充分條件為mn>0,故選B. 6.設(shè)A,B是x軸上的兩點,點P的橫坐標(biāo)為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是(　　) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0 答案A 解析易知A(-1,0). ∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂線即x=2上.∴B(5,0). ∵PA,PB關(guān)于直線x=2對稱,∴kPB=-1. ∴l(xiāng)PB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0. 7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三點共線,則ab的最小值為　　　　　. 答案16 解析根據(jù)A(a,0),B(0,b)確定直線的方程為xa+yb=1,又C(-2,-2)在該直線上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0. 根據(jù)基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,從而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-4時取等號.即ab的最小值為16. 8.一條直線經(jīng)過點A(2,-3),并且它的傾斜角等于直線y=13x的傾斜角的2倍,則這條直線的一般式方程是　　　　　　　　　　. 答案3x-y-33=0 解析因為直線y=13x的傾斜角為30, 所以所求直線的傾斜角為60,即斜率k=tan60=3. 又該直線過點A(2,-3), 故所求直線為y-(-3)=3(x-2), 即3x-y-33=0. 9.設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件分別求m的值. (1)直線l經(jīng)過定點P(2,-1); (2)直線l在y軸上的截距為6; (3)直線l與y軸平行; (4)直線l與y軸垂直. 解(1)由于點P在直線l上,即點P的坐標(biāo)(2,-1)適合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6, 把點P的坐標(biāo)(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17. (2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1, 根據(jù)題意可知2m-62m2+m-1=6, 解得m=-13或m=0. (3)直線與y軸平行, 則有m2-2m-3≠0,2m2+m-1=0,解得m=12. (4)直線與y軸垂直, 則有m2-2m-3=0,2m2+m-1≠0,解得m=3. 10. 已知直線l過點P(0,1),且與直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分別交于點A,B(如圖).若線段AB被點P平分,求直線l的方程. 解∵點B在直線l2:2x+y-8=0上, ∴可設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,8-2a). ∵點P(0,1)是線段AB的中點, ∴點A的坐標(biāo)為(-a,2a-6). 又點A在直線l1:x-3y+10=0上, ∴將A(-a,2a-6)代入直線l1的方程, 得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4. ∴點B的坐標(biāo)是(4,0). 因此,過P(0,1),B(4,0)的直線l的方程為x4+y1=1,即x+4y-4=0. 二、能力提升 11.若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案C 解析∵直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1), ∴a+b=ab,即1a+1b=1, ∴直線在x軸、y軸上的截距之和 a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab ≥2+2baab=4, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立. ∴該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4. 12.已知直線l過點P(3,2),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,當(dāng)△AOB的面積取最小值時,直線l的方程為　　　　　　　　　　. 答案2x+3y-12=0 解析方法1:易知直線l的斜率k存在且k<0,則直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0), 則A3-2k,0,B(0,2-3k), 所以S△AOB=12(2-3k)3-2k =1212+(-9k)+4-k≥1212+2(-9k)4-k =12(12+26)=12, 當(dāng)且僅當(dāng)-9k=4-k,即k=-23時等號成立. 所以當(dāng)k=-23時,△AOB的面積最小,此時直線l的方程為y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0. 方法2:設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),將點P(3,2)代入得3a+2b=1≥26ab,即ab≥24,當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b,即a=6,b=4時等號成立,又S△AOB=12ab, 所以當(dāng)a=6,b=4時,△AOB的面積最小,此時直線l的方程為x6+y4=1, 即2x+3y-12=0. 13.已知直線l過點M(1,1),且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時,求直線l的方程. 解設(shè)直線l的斜率為k,則k<0, 直線l的方程為y-1=k(x-1), 則A1-1k,0,B(0,1-k), 所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2 =2+k2+1k2≥2+2k21k2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)k2=1k2,即k=-1時,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此時直線l的方程為x+y-2=0. 三、高考預(yù)測 14.過點A(1,4)引一條直線l,它與x軸、y軸的正半軸的交點分別為(a,0)和(0,b),當(dāng)a+b取得最小值時,求直線l的方程. 解(方法一)由題意,設(shè)直線l:y-4=k(x-1),且k<0, 則a=1-4k,b=4-k. 故a+b=5+-4k-k≥5+4=9, 當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時等號成立. 此時直線l的方程為y=-2x+6. (方法二)設(shè)l:xa+yb=1(a>0,b>0). 由于l經(jīng)過點A(1,4),故1a+4b=1, 則a+b=(a+b)1a+4b=5+4ab+ba≥9, 當(dāng)且僅當(dāng)4ab=ba,即b=2a時等號成立, 此時a=3,b=6. 故所求直線l的方程為x3+y6=1, 即y=-2x+6.