1.1簡(jiǎn)單形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式，理解它們的幾何意義.2.會(huì)用柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式，會(huì)求某些特定形式的函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單形式的柯西不等式思考1(a2b2)(c2d2)與4abcd的大小關(guān)系如何？那么(a2b2)(c2d2)與(acbd)2的大小關(guān)系又如何？答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考2當(dāng)且僅當(dāng)ab且cd時(shí)，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么條件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考3若向量(a，b)，向量(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？答案|acbd|.梳理(1)簡(jiǎn)單形式的柯西不等式定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2.當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立簡(jiǎn)單形式的柯西不等式的推論(ab)(cd)()2(a，b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù))；|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c，dR)以上不等式，當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立(2)柯西不等式的向量形式設(shè)，是任意兩個(gè)向量，則|，當(dāng)向量，共線時(shí)，等號(hào)成立類型一利用柯西不等式證明不等式例1(1)已知a2b21，x2y21，求證：|axby|1；(2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)證明(1)|axby|1，當(dāng)且僅當(dāng)aybx時(shí)，等號(hào)成立(2)由柯西不等式，得ab，即ab.同理，bc，ac.將上面三個(gè)同向不等式相加，得()2(abc)當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立(abc)反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時(shí)，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)()2，其中a，b，c，dR.找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù)，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時(shí)，需分析，增補(bǔ)(特別是對(duì)數(shù)字的增補(bǔ)：如a1a)，變形等跟蹤訓(xùn)練1已知a1，a2，b1，b2R，求證：(a1b1a2b2)(a1a2)2.證明a1，a2，b1，b2R，(a1b1a2b2)2(a1a2)2.當(dāng)且僅當(dāng)，即b1b2時(shí)，等號(hào)成立(a1b1a2b2)(a1a2)2.例2若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x24y2z23，求證：|x2yz|3.證明因?yàn)閤24y2z23，所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2.整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構(gòu)造使用柯西不等式的條件(2)此類題也可以用三角不等式，把ABO的三個(gè)頂點(diǎn)分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可跟蹤訓(xùn)練2若a>b>c，求證：.證明ac(ab)(bc)，又a>b>c，ac>0，ab>0，bc>0.(ac)(ab)(bc)(11)24，當(dāng)且僅當(dāng)abbc時(shí)，等號(hào)成立.類型二利用柯西不等式求最值例3若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點(diǎn)解由柯西不等式，得(x2y2)(3242)(3x4y)2，即25(x2y2)4，所以x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，點(diǎn)(x，y)為所求最小值點(diǎn)解方程組得因此，當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為.反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件(2)有些最值問(wèn)題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧(3)有些最值問(wèn)題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過(guò)程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一跟蹤訓(xùn)練3已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.由即或時(shí)等號(hào)成立當(dāng)a1，b時(shí)，3a2b有最大值6；當(dāng)a1，b時(shí)，3a2b有最小值6.1已知a，bR，a2b24，則3a2b的最大值為()A4B2C8D9答案B解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)3b2a時(shí)取等號(hào)，所以(3a2b)2413.所以3a2b的最大值為2.2已知a0，b0，且ab2，則()AabBabCa2b22Da2b23答案C解析(a2b2)(1212)(ab)24，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立，a2b22.3設(shè)xy0，則的最小值為_答案9解析(12)29，當(dāng)且僅當(dāng)xy，即xy時(shí)取等號(hào)最小值為9.4設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_答案解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.，當(dāng)且僅當(dāng)anbm時(shí)取等號(hào)5已知a2b21，求證：|acosbsin|1.證明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acosbsin)2，|acosbsin|1.1利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，應(yīng)用時(shí)要對(duì)照柯西不等式的原形，進(jìn)行多角度的嘗試2柯西不等式取等號(hào)的條件的記憶方法如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號(hào)成立的條件是adbc，可以把a(bǔ)，b，c，d看成等比，則adbc來(lái)聯(lián)想記憶一、選擇題1已知a，bR且ab1，則P(axby)2與Qax2by2的關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案A解析設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2.即PQ.2若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍是()A2，2B2，2C，D(，)答案A解析(a2b2)12(1)2(ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立a2b210，(ab)220.2ab2.3函數(shù)y2的最大值是()A.B.C3D5答案B解析根據(jù)柯西不等式知，y12(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào))4若3x22y21，則3x2y的取值范圍是()A0， B，0C， D5,5答案C解析(3x2y)2()2()2(x)2(y)25(3x22y2)5，3x2y.5已知a，b，c，d，m，nR，P，Q，則P與Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQDPQ答案A解析PQ，PQ.6已知a，b0，且ab1，則()2的最大值是()A2B.C6D12答案D解析()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號(hào)成立二、填空題7設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x22y26，則P2xy的最大值為_答案解析由柯西不等式，得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，所以2xy.8設(shè)x，yR，則(xy)的最小值是_答案52解析(xy)2()252，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立9已知x0，y0，且1，則2xy的最小值為_答案32解析2xy(2xy)()2()2232，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又1，則此時(shí)10已知函數(shù)f(x)34，則函數(shù)f(x)的最大值為_答案5解析由柯西不等式知，(34)2(3242)()2()225.當(dāng)且僅當(dāng)34時(shí)，等號(hào)成立，因此f(x)5.三、解答題11設(shè)a，bR，且ab2.求證：2.證明根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()22(ab)24，2.原不等式成立12試求函數(shù)f(x)3cosx4的最大值，并求出相應(yīng)的sinx和cosx的值解設(shè)m(3,4)，n(cosx，)，則f(x)3cosx4mn|m|n|5.當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，上式取“”此時(shí)34cosx0，解得sinx，cosx.故當(dāng)sinx，cosx時(shí)，f(x)3cosx4取得最大值5.13已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.證明由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式，可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1x2時(shí)取得等號(hào)所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.四、探究與拓展14若ab1，則22的最小值為()A1B2C.D.答案C解析22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)(11)(ab)2.又8，以上兩個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立22228，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立15已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.(2)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.