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考點(diǎn)規(guī)范練47　拋物線 一、基礎(chǔ)鞏固 1.(2018吉林省吉林市調(diào)研)以拋物線y2=8x上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線x=-2相切,這些圓必過一定點(diǎn),則這一定點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4) 答案B 解析由題意得,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,因?yàn)閯訄A的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以動圓必過拋物線的焦點(diǎn),即過點(diǎn)(2,0).選B. 2.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A.-1716 B.-1516 C.1716 D.1516 答案B 解析拋物線方程可化為x2=-y4,其準(zhǔn)線方程為y=116. 設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義, 可知116-y0=1,y0=-1516. 3.(2018北京朝陽一模)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則線段AB的中點(diǎn)M到直線x+1=0的距離為(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 答案B 解析如圖,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,即x+1=0,分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,則有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則MN為直角梯形ABDC的中位線,則|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直線x+1=0的距離為4.故選B. 4.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為(　　) A.x2=32y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y 答案D 解析設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2). 由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0, 所以x1+x22=2a2=3,即a=3, 因此所求的拋物線方程是x2=3y. 5.(2018山東菏澤期末)已知等邊三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個頂點(diǎn)在拋物線Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面積為93,則p=(　　) A.3 B.3 C.32 D.332 答案C 解析根據(jù)拋物線和等邊三角形的對稱性可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,不妨設(shè)直線OB:y=33x,與y2=2px聯(lián)立得B(6p,23p),因?yàn)椤鰽OB的面積為93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故選C. 6.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線x2a-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)a=(　　) A.19 B.14 C.13 D.12 答案A 解析因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又雙曲線的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,0),所以41+a=1a,解得a=19,故選A. 7.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是　　　　　. 答案9 解析設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(xM,yM).拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,由拋物線的定義知xM+1=10,即xM=9. 8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為　　　　　. 答案2 解析由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時(shí),為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2. 9.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10), 化簡得y2=4x(x>0). (2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 設(shè)l的方程為x=ty+m. 由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0, 于是y1+y2=4t,y1y2=-4m. ①② 因?yàn)镕A=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), 所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1. 又FAFB<0, 所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0, ③ 因?yàn)閤=y24,所以不等式③可變形為 y124y224+y1y2-y124+y224+1<0, 即(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0. ④ 將①②代入④整理得m2-6m+1<4t2. ⑤ 因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)t,4t2的最小值為0, 所以不等式⑤對于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0, 即3-220)的焦點(diǎn)為F,A(x1,2),B(x2,8)是C上兩點(diǎn),且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,則x1+x2=(　　) A.32 B.6 C.62 D.8 答案C 解析∵3|FA|=|FB|, ∴根據(jù)拋物線的定義,可得32+p2=8+p2, 解得p=2, ∴拋物線方程為x2=4y,將y1=2,y2=8代入方程, 得x1=22,x2=42,∴x1+x2=62.故選C. 13.已知雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OAB的面積為1,則p的值為(　　) A.1 B.2 C.22 D.4 答案B 解析雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線方程是y=2x. 又拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-p2, 故A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=p. ∵△AOB的面積為1,∴12p22p=1. ∵p>0,∴p=2. 14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=54|PQ|. (1)求C的方程; (2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程. 解(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p. 所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p. 由題設(shè)得p2+8p=548p, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程為y2=4x. (2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m), |AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又l的斜率為-m, 所以l的方程為x=-1my+2m2+3. 將上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0. 設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4), 則y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中點(diǎn)為E2m2+2m2+3,-2m, |MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2. 由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=12|MN|, 從而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2, 即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22 =4(m2+1)2(2m2+1)m4, 化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. 15.已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,過點(diǎn)P(0,p)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1>x2. (1)若直線AB的斜率為12,過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程. (2)若AP=λPB,是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,使得對任意λ,都有QP⊥(QA-λQB)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 解(1)由已知得p=2,直線和y軸交于點(diǎn)(0,2), 則直線AB的方程為y-2=12x,即x-2y+4=0. 由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1). 又x2=4y,可得y=14x2,故y=12x, 故拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為2. 設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2, 解得a=-1,b=132,r2=1254, 故圓的方程為(x+1)2+y-1322=1254, 即為x2+y2+2x-13x+12=0. (2)依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8. ① 由已知AP=λPB得-x1=λx2. 若k=0,這時(shí)λ=1,要使QP⊥(QA-λQB),點(diǎn)Q必在y軸上. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m), 從而QP=(0,2-m), QA-λQB=(x1,y1-m)-λ(x2,y2-m) =(x1-λx2,y1-m-λ(y2-m)), 故QP(QA-λQB)=(2-m)[y1-λy2-m(1-λ)]=0, 即y1-λy2-m(1-λ)=0, 即x124+x1x2x224-m1+x1x2=0, 即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,將①代入得m=-2. 所以存在點(diǎn)Q(0,-2)使得QP⊥(QA-λQB). 三、高考預(yù)測 16.已知點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的焦點(diǎn),傾斜角為π3的直線l過焦點(diǎn)F且與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,當(dāng)|AF|=2時(shí),拋物線方程為(　　) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 答案B 解析過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,則Rt△ABF中,∠AFB=60,|AF|=2, 所以|BF|=|AF|cos∠AFB=12|AF|=1, |AB|=|AF|sin∠AFB=3. 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3)x0>p2, 由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1. 所以拋物線的方程為y2=2x.故選B.