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單元質(zhì)檢十一　概率 (時(shí)間:45分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分) 1.(2018全國(guó)Ⅲ,文5)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案B 解析設(shè)不用現(xiàn)金支付的概率為P, 則P=1-0.45-0.15=0.4. 2.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,若事件A=“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”,則事件A的對(duì)立事件是(　　) A.1個(gè)白球、2個(gè)紅球 B.2個(gè)白球、1個(gè)紅球 C.3個(gè)都是紅球 D.至少有1個(gè)紅球 答案C 解析事件A=“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”說(shuō)明有白球,白球的個(gè)數(shù)可能是1或2或3,和事件“1個(gè)白球、2個(gè)紅球”“2個(gè)白球、1個(gè)紅球”“至少有1個(gè)紅球”都能同時(shí)發(fā)生,既不互斥,也不對(duì)立.故選C. 3.有三個(gè)興趣小組,甲、乙兩名同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每名同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩名同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 答案A 解析記三個(gè)興趣小組分別為1,2,3,甲參加興趣小組1,2,3分別記為“甲1”“甲2”“甲3”,乙參加興趣小組1,2,3分別記為“乙1”“乙2”“乙3”,則基本事件為“(甲1,乙1),(甲1,乙2),(甲1,乙3),(甲2,乙1),(甲2,乙2),(甲2,乙3),(甲3,乙1),(甲3,乙2),(甲3,乙3)”,共9個(gè),記事件A為“甲、乙兩名同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”,其中事件A有“(甲1,乙1),(甲2,乙2),(甲3,乙3)”,共3個(gè).因此P(A)=39=13. 4.(2018河北石家莊一模)已知函數(shù)f(x)=2x(x<0),其值域?yàn)镈,在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是(　　) A.12 B.13 C.14 D.23 答案B 解析函數(shù)f(x)=2x(x<0)的值域?yàn)?0,1),即D=(0,1),則在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,x∈D的概率P=1-02-(-1)=13.故選B. 5. (2018山東煙臺(tái)一模)七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一,它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) A.14 B.18 C.38 D.316 答案B 解析不妨設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, 則兩個(gè)最小的等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為1,1,2,左上角的等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為2,2,2,兩個(gè)最大的等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為2,2,22,即大正方形的邊長(zhǎng)為22,所以所求概率P=1-122+1+1+228=18. 6.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),4PB+5PC+3PA=0.現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi),則紅豆落在△PBC內(nèi)的概率是 (　　) A.14 B.13 C.512 D.12 答案A 解析依題意,易知點(diǎn)P位于△ABC內(nèi),作PB1=4PB,PC1=5PC,PA1=3PA,則PB1+PC1+PA1=0,點(diǎn)P是△A1B1C1的重心. S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1, 而S△PBC=1415S△PB1C1, S△PCA=1315S△PC1A1,S△PAB=1314S△PA1B1, 因此S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=3∶4∶5, 即S△PBCS△PBC+S△PCA+S△PAB=33+4+5=14,即紅豆落在△PBC內(nèi)的概率等于14,故選A. 二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分) 7.已知實(shí)數(shù)x∈[2,30],執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的x不小于103的概率是　　　　　. 答案914 解析已知實(shí)數(shù)x∈[2,30], 經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到x=2x+1,n=2; 經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到x=2(2x+1)+1,n=3; 經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4;此時(shí)退出循環(huán),輸出的值為8x+7.令8x+7≥103得x≥12. 由幾何概型可知輸出的x不小于103的概率為30-1230-2=914. 8.(2018廣東江門一模)兩名教師對(duì)一篇初評(píng)為“優(yōu)秀”的作文復(fù)評(píng),若批改成績(jī)都是兩位正整數(shù),且十位數(shù)字都是5,則兩名教師批改成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2的概率為　　　　　. 答案0.44 解析用(x,y)表示兩名教師的批改成績(jī),則(x,y)的所有可能情況為1010=100(種). 當(dāng)x=50時(shí),y可取50,51,52,共3種可能; 當(dāng)x=51時(shí),y可取50,51,52,53,共4種可能; 當(dāng)x=52,53,54,55,56,57時(shí),y的取法均有5種,共30種可能; 當(dāng)x=58時(shí),y可取56,57,58,59,共4種可能; 當(dāng)x=59時(shí),y可取57,58,59,共3種可能. 綜上可得,兩名教師批改成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2的情況有44種. 由古典概型的概率公式可得,所求概率為P=44100=0.44. 三、解答題(本大題共3小題,共44分) 9.(14分)(2018天津,文15)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng). (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人? (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作. ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果; ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率. 解(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人、2人、2人. (2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種. ②由①,不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種. 所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521. 10.(15分)某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下: 賠付金額/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)/輛 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率; (2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4 000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率. 解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,以頻率估計(jì)概率得P(A)=1501000=0.15,P(B)=1201000=0.12. 因?yàn)橥侗＝痤~為2800元,賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3000元和4000元, 所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”,由已知,樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.11000=100輛,而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機(jī)的有0.2120=24輛.所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為24100=0.24,由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24. 11.(15分)甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數(shù),算甲贏,否則算乙贏. (1)若以A表示和為6的事件,求P(A). (2)現(xiàn)連玩三次,若以B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至少贏兩次的事件,試問(wèn)B與C是否為互斥事件?為什么? (3)這種游戲規(guī)則公平嗎?說(shuō)明理由. 解(1)甲、乙各出1到5根手指頭,共有55=25(種)可能結(jié)果, 和為6的有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共有5種可能結(jié)果,故P(A)=525=15. (2)B與C不是互斥事件,理由如下:B與C都包含“甲贏一次,乙贏兩次”,事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生,故不是互斥事件. (3)和為偶數(shù)的有13種可能結(jié)果,甲贏的概率為P=1325>12,故這種游戲規(guī)則不公平.