模塊綜合檢測 (時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1命題“若ABC有一內(nèi)角為，則ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A與原命題同為假命題B與原命題的否命題同為假命題C與原命題的逆否命題同為假命題D與原命題同為真命題解析：選D原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則ABC有一內(nèi)角為”，它是真命題2拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則a的值為()A.BC8 D8解析：選B由yax2得x2y，8，a.3下列說法中正確的是()A一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B“a>b”與“ac>bc”不等價(jià)C“a2b20，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則a2b20”D一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真解析：選D否命題和逆命題互為逆否命題，有著一致的真假性，故選D.4已知空間向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab與b垂直，則|a|等于()A. B.C. D.解析：選D由已知可得2ab(2,2n,4)(2,1,2)(4，2n1,2)又(2ab)b，82n140.2n5，n.|a| .5雙曲線1(mn0)的離心率為2，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為()A. B.C. D.解析：選A拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，故雙曲線1中，m>0，n>0且mnc21.又雙曲線的離心率e 2，聯(lián)立方程，解得故mn.6若直線y2x與雙曲線1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A(1，) B(，)C(1， D，)解析：選B雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為yx.由條件知，應(yīng)有>2，故e >.7已知F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)1PF2.當(dāng)時(shí)，F(xiàn)1PF2面積最大，則mn的值是()A41 B15C9 D1解析：選B由SF1PF2|F1F2|yP3yP，知P為短軸端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2面積最大此時(shí)F1PF2，得a2 ，b，故mn15.8正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為()A. B.C. D.解析：選C取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO.建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A，B，D.，.由于為平面BCD的一個(gè)法向量，可進(jìn)一步求出平面ABD的一個(gè)法向量n(1，1)，cosn，sinn，.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分)9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_解析：由4得x1y24，因此所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2y40.答案：x2y4010點(diǎn)F是拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，l是準(zhǔn)線，A是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線AF的傾斜角為60，ABl于B，ABF的面積為，則p的值為_，點(diǎn)A坐標(biāo)為_解析：設(shè)A(x，y)，直線AF的傾斜角為60，y，ABF的面積為，y，A是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，y22px，由可得p1，x，y.答案：111已知P為拋物線C：y24x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為_，若準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)N，直線NP與拋物線交于另一點(diǎn)Q，且|PF|3|QF|，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_解析：y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，準(zhǔn)線方程x1.過P，Q分別作準(zhǔn)線的射影分別為A，B，則由拋物線的定義可知：|PA|PF|，|QF|BQ|，|PF|3|QF|，|AP|3|QB|，即|AN|3|BN|，P，Q的縱坐標(biāo)滿足yP3yQ，設(shè)P，y0，則Q，N(1,0)，N，Q，P三點(diǎn)共線，解得y212，y2，此時(shí)x3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)答案：x1(3，2)12若橢圓1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線1的離心率為_，漸近線方程為_解析：因?yàn)闄E圓1的離心率e1，所以1e，即，而在雙曲線1中，設(shè)離心率為e2，則e11，所以e2.漸近線方程為yx，即yx.答案：yx13已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1_.解析：由題意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，cosAF2F1.答案：14過雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2y2a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.若AOB120(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_解析：由題意，如圖，在RtAOF中，AFO30，AOa，OFc，sin 30.e2.答案：215正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，則EF與平面CDD1C1所成角的正弦值為_，EF與AB所成角的正切值為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則E(2,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，(1,2，1)又平面CDD1C1的一個(gè)法向量為(0,2,0)，cos，故所求角的正弦值為.EF與AB所成角為EFC，tanEFC.答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的充要條件，若存在，求出m的范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使xP是xS的必要條件，若存在，求出m的范圍解：(1)由x28x200得2x10，Px|2x10，xP是xS的充要條件，PS，這樣的m不存在(2)由題意xP是xS的必要條件，則SP.m3.綜上，可知0m3時(shí)，xP是xS的必要條件17(本小題滿分15分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1 ，ABC60.(1)證明：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的正切值大小解：法一：(1)證明：三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，ABAA1.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC，AB平面ACC1A1.又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)如圖，作ADA1C交A1C于D點(diǎn)，連接BD.ABA1C，ADABA，A1C平面ABD，BDA1C，ADB為二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD.在RtBAD中，tanADB，二面角AA1CB的正切值為.法二：(1)證明：三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，AA1AB，AA1AC.在ABC中，AB1，AC ，ABC60.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)1000( )0，ABA1C.(2)取m(1,0,0)為平面AA1C1C的法向量由(1)知：(1，0)，設(shè)平面A1BC的法向量n(x，y，z)，則xy，yz.令y1，則n(，1,1)，cos m，n，sinm，n ，tanm，n.二面角AA1CB的正切值為.18(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值解：(1)證明：因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由題知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一個(gè)法向量為m(3,4,0)所以cos n，m.由題知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.19.(本小題滿分15分)如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，ABBC2CD2，AD，PE2BE.(1)求證：平面PAD平面PCD；(2)若二面角PACE的大小為45，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解：(1)證明：PC平面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又CDAD，PCCDC，AD平面PCD，又AD平面PAD，平面PAD平面PCD.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則CFAB，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CF為x軸，CD為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PCa，則P(0,0，a)(a>0)，E，A(，1,0)，(，1,0)，(0,0，a)，設(shè)m(x，y，z)是平面PAC的一個(gè)法向量，則取x1，得m(1，0)，設(shè)平面EAC的法向量n(x1，y1，z1)，則取x11，得n，二面角PACE的大小為45，cos 45|cosm，n|，解得a2，此時(shí)n(1，2)，(，1，2)，設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin |cos，n|.直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)已知橢圓C：1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為(2,0)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l過點(diǎn)S(4,0)，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P，P與Q兩點(diǎn)的連線交x軸于點(diǎn)T，當(dāng)PQT的面積最大時(shí)，求直線l的方程解：(1)由題意可得可得c1，b.所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為xmy4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P(x1，y1)，聯(lián)立得(43m2)y224my360，則(24m)2144(43m2)144(m24)>0，即m2>4.又y1y2，y1y2，直線PQ的方程為y(xx1)y1，則xT41，則T(1,0)，故|ST|3，所以SPQTSSQTSSPT|y1y2|，令t>0，則SPQT，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即m2，即m時(shí)取到“”，故所求直線l的方程為3x2120.