第05節(jié) 函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用了解函數(shù) yA sin (x) 的物理意義，掌握 yA sin (x) 的圖象，了解參數(shù) A， 對函數(shù)圖象變化的影響.2013浙江文6理4； 2014浙江文4，理4；2016浙江文11，理10.1.“五點法”作圖；2.函數(shù)圖象的變換；3.三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題.4.往往將恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查5.備考重點： (1) 掌握函數(shù)圖象的變換；(2) 掌握三角函數(shù)模型的應(yīng)用.【知識清單】1.求三角函數(shù)解析式（1）的有關(guān)概念，表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相（2）用五點法畫一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示：（3）由的圖象求其函數(shù)式：已知函數(shù)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點的位置（4）利用圖象變換求解析式：由的圖象向左或向右平移個單位，得到函數(shù)，將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得，將圖象上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得.2.三角函數(shù)圖象的變換1.函數(shù)圖象的變換（平移變換和上下變換）平移變換：左加右減，上加下減把函數(shù)向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向上平移個單位，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)向下平移個單位，得到函數(shù)的圖像.伸縮變換:把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長到原來的，得到函數(shù)的圖像;把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖像.2.由的圖象變換出的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換,利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將的圖象向左或向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，便得的圖象.途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換：先將的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?)，再沿軸向左()或向右()平移個單位，便得的圖象.注意：函數(shù)的圖象，可以看作把曲線上所有點向左(當(dāng)時)或向右(當(dāng)時)平行移動個單位長度而得到.3 .函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（1）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程解出；它還有無窮多個對稱中心，它們是圖象與軸的交點，可由，解得，即其對稱中心為（3）若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有.（4）的最小正周期都是.【重點難點突破】考點1求三角函數(shù)解析式【1-1】【2018屆河北省石家莊二中三?！繉⒅芷跒榈暮瘮?shù)的圖象向右平移個單位后，所得的函數(shù)解析式為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【1-2】【2018云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)適應(yīng)性月考卷一】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】的圖象向左平移單位得到的圖象，即將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是，故選C.【領(lǐng)悟技法】1.根據(jù)的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：(1) 的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即；(2) 的確定：根據(jù)圖象的最高點和最低點，即；(3) 的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由 ()來確定；(4) 求，常用的方法有：代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時已知)或代入圖像與直線的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點法：確定值時，由函數(shù)最開始與軸的交點的橫坐標(biāo)為 (即令，)確定.將點的坐標(biāo)代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點,“第一點”（即圖象上升時與軸的交點）為，其他依次類推即可.2.注意：（1）函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個周期；（2）函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個周期；（3）函數(shù)取最值的點與相鄰的與x軸的交點間的距離為其函數(shù)的個周期.【觸類旁通】【變式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校聯(lián)盟摸底】已知函數(shù)的圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)可以為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由圖易知： ， ，即，由五點法作圖知： ，得： ，即，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得： ，即=故選A.【變式二】【2018安徽省六安市壽縣第一中學(xué)上學(xué)期第一次月考】函數(shù) 的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位后的解析式為（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，解得，根據(jù)五點法畫正弦函數(shù)圖象，知時，解得，將的圖象向左平移個單位后，得到，故選B.考點2 三角函數(shù)圖象的變換【2-1】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三上期中】為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）A. 向右平移個單位 B. 向右平移個單位C. 向左平移個單位 D. 向左平移個單位【答案】A【2-2】【2018黑龍江省大慶實驗中學(xué)上學(xué)期期初考】已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的圖象（ ）A. 可由函數(shù)的圖象向左平移個單位而得B. 可由函數(shù)的圖象向右平移個單位而得C. 可由函數(shù)的圖象向左平移個單位而得D. 可由函數(shù)的圖象向右平移個單位而得【答案】D【解析】由已知得， 則的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位而得，故選D.【領(lǐng)悟技法】1. 在解決函數(shù)圖像的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯2. 圖像變換法若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出，但要意函數(shù)圖象平移的規(guī)律，是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移.對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響注3.解決圖象變換問題時，要分清變換的對象及平移(伸縮)的大小，避免出現(xiàn)錯誤4.特別提醒：進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身;要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù).【觸類旁通】【變式一】【2018屆福建省兩大名校一?！繉⒑瘮?shù)的圖象向左平移（）個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)輔助角公式，我們可將函數(shù)化為余弦函數(shù)型函數(shù)的形式，進而得到平移后函數(shù)的解析式，結(jié)合所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案.詳解：，將其圖象向左平移（）個單位長度，所得圖象對應(yīng)的解析式為，由于為偶函數(shù)，則，則，由于，故當(dāng)時，.故選：C.【變式二】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)9月測試】由函數(shù)的圖象，變換得到函數(shù)的圖象，這個變換可以是（ ）A. 向左平移 B. 向右平移C. 向左平移 D. 向右平移【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象，變換得到函數(shù)的圖象向右平移.故選：B考點3函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【3-1】【2018年理天津卷】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項.【3-2】【2017浙江杭州二模】設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）3.試題解析：（1）因為 . ， ，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ；（2）， ，的最大值是3.【3-3】平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深（米）是隨著一天的時間呈周期性變化，某天各時刻的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5（）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖（坐標(biāo)系在答題卷中）.觀察散點圖，從， ，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；（）為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的518時且水深不低于1.05米的時候進行訓(xùn)練，根據(jù)（） 中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊員的安全.【答案】(1) 選做為函數(shù)模型， ;(2) 這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓(xùn)練.才能確保集訓(xùn)隊員的安全.【解析】試題分析 ：（1）先畫出散點圖，可知選做為函數(shù)模型，同時可求出各參數(shù)， , 代最值點可求.（2）由（）知： ,令，可解得 .試題解析：（）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示：- 依題意，選做為函數(shù)模型， （）由（）知： 令，即 又 這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊員的安全.【領(lǐng)悟技法】1. 求形如或 (其中A0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“ ()”視為一個“整體”；A>0(A<0)時，所列不等式的方向與 ()， ()的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反)2. 如何確定函數(shù)當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負，若為負值，需要利用誘導(dǎo)公式把負號提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).3.求函數(shù) (或，或)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)將化為正(2)將看成一個整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解4特別提醒：解答三角函數(shù)的問題時，不要漏了“”. 三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“”聯(lián)結(jié)求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時若的系數(shù)為負應(yīng)先化為正，同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域【觸類旁通】【變式一】【2018年天津卷文】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減C. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減【答案】A【解析】分析：首先確定平移之后的對應(yīng)函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，選項A正確，B錯誤；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，選項C，D錯誤；本題選擇A選項.【變式二】【2018福建省閩侯第六中學(xué)第一次月考】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再往上平移1個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞增（ ）A. B. C. D. 【答案】A【易錯試題常警惕】易錯典例：將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像,若,的圖像都經(jīng)過點,則的值可以是( )A. B. C. D.易錯分析：函數(shù)的圖像向右平移個單位長度誤寫成.正確解析：依題意,因為,的圖像都經(jīng)過點,所以,又因為,所以,或,即或,在,中,取,即得,故選B.溫馨提醒：(1)三角函數(shù)圖像變換是高考的一個重點內(nèi)容解答此類問題的關(guān)鍵是抓住“只能對函數(shù)關(guān)系式中的變換”的原則(2)對于三角函數(shù)圖像平移變換問題,其移變換規(guī)則是“左加右減”,并且在變換過程中只變換其中的自變量,如果的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向,另外,當(dāng)兩個函數(shù)的名稱不同時,首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一,其次要把變換成,最后確定平移的單位,并根據(jù)的符號確定平移的方向.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.【典例】【2018屆北京市城六區(qū)一模】函數(shù)（）的部分圖象如圖所示， 其中是函數(shù)的一個零點(I)寫出及的值；()求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】（）；（）最小值為；最大值為.【解析】試題分析：（）結(jié)合函數(shù)的最小正周期可得，由時的函數(shù)值可得，函數(shù)的解析式為： ，則.（）由（）可知， ，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；最大值為.（）由（）可知， ，因為，所以，當(dāng)即時， 的最小值為.當(dāng)即時， 的最大值為.