第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)1.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖像定義域RR值域單調(diào)性在上單調(diào)遞減,在-b2a,+上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,在-b2a,+上單調(diào)遞減頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)對稱軸方程x=-b2a2.冪函數(shù)(1)定義:形如y=x(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1圖像性質(zhì)定義域RRR值域RR奇偶性函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)常用結(jié)論1.二次函數(shù)解析式的三種形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(3)零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).2.一元二次不等式恒成立的條件:(1)ax2+bx+c>0(a0)恒成立的充要條件是“a>0且<0”;(2)ax2+bx+c<0(a0)恒成立的充要條件是“a<0且<0”.題組一常識題1.教材改編 若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在5,20上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2.教材改編 已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(2,2),則函數(shù)f(x)=.3.教材改編 函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間0,3上的最大值為,最小值為.4.教材改編 若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,xa,b的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則b=.題組二常錯(cuò)題索引:圖像特征把握不準(zhǔn)出錯(cuò);不會利用二次函數(shù)圖像解決問題;二次函數(shù)的單調(diào)性理解不到位;忽略冪函數(shù)的定義域;冪函數(shù)的圖像掌握不到位出錯(cuò).5.如圖2-7-1,若a<0,b>0,則函數(shù)y=ax2+bx的大致圖像是(填序號).圖2-7-16.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)0.(填“>”“<”或“=”)7.若函數(shù)y=mx2+x+2在3,+)上是減函數(shù),則m的取值范圍是.8.已知冪函數(shù)f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),則a的取值范圍為.9.當(dāng)x(0,1)時(shí),函數(shù)y=xm的圖像在直線y=x的上方,則m的取值范圍是.探究點(diǎn)一冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)例1 (1)已知冪函數(shù)y=xn,y=xm,y=xp的圖像如圖2-7-2所示,則()圖2-7-2A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m(2)2018烏魯木齊二模 已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)=(m-1)xn的圖像上,設(shè)a=f33,b=f(ln ),c=f22,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c總結(jié)反思 冪函數(shù)的性質(zhì)因冪指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同,解題中要善于根據(jù)冪指數(shù)的符號和其他性質(zhì)確定冪函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等.變式題 2018湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 已知冪函數(shù)f(x)=xm2-4m(mZ)的圖像關(guān)于y軸對稱,且在區(qū)間(0,+)上為減函數(shù),則m的值為.探究點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式例2 (1)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR,若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)=.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并且對任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),則f(x)=.總結(jié)反思 求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略:(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點(diǎn)式;(3)已知圖像與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用零點(diǎn)式.變式題 (1)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像的對稱軸是直線x=1,并且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),則f(-1)=()A.6B.2C.0D.-4圖2-7-3(2)2018煙臺一模 圖2-7-3是二次函數(shù)y=f(x)的圖像,若|OC|=|OB|=3|OA|,且ABC的面積S=6,則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.探究點(diǎn)三二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題微點(diǎn)1通過圖像識別二次函數(shù)例3 圖2-7-4是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的一部分,已知圖像過點(diǎn)A(-3,0),對稱軸為直線x=-1.給出下面四個(gè)結(jié)論:b2>4ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a<b.圖2-7-4其中正確的是()A.B.C.D.總結(jié)反思 一般地,給定了二次函數(shù)的圖像,我們可以從圖像中得到下列信息:(1)開口方向;(2)判別式的正負(fù);(3)對稱軸;(4)特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù).微點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性問題例4 (1)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(xR)的最小值為f(1),則f(2),f-32,f(3)的大小關(guān)系是()A.f(2)<f-32<f(3)B.f-32<f(2)<f(3)C.f(3)<f(2)<f-32D.f(2)<f(3)<f-32(2)已知二次函數(shù)f(x)=2kx2-2x-3k-2在區(qū)間-5,5上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.總結(jié)反思 對于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置,若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解;(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小,一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較,或通過與對稱軸之間的距離大小進(jìn)行比較.微點(diǎn)3二次函數(shù)的最值問題例5 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上的最小值為-3時(shí),求實(shí)數(shù)a的值. 總結(jié)反思 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動.不論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.微點(diǎn)4二次函數(shù)的恒成立問題例6 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-x-32,若對于一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;(2)已知函數(shù)f(x)=-2x2+4x+m,若f(x)2m-2在區(qū)間m,m+2上恒成立,求m的取值范圍.總結(jié)反思 (1)判別式轉(zhuǎn)化法:如f(x)=ax2+bx+c>0(a0)恒成立,即轉(zhuǎn)化為a>0,b2-4ac<0;(2)對于軸定區(qū)間不定的一元二次不等式恒成立問題,可結(jié)合對稱軸的情況,對不定區(qū)間進(jìn)行討論,最后得參數(shù)的范圍.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x0,1,若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為()A.-1B.0C.1D.22.【微點(diǎn)2】函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()A.f(bx)f(cx)B.f(bx)f(cx)C.f(bx)>f(cx)D.不確定3.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,5上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4.【微點(diǎn)4】若一元二次不等式2kx2+kx-38<0對一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為.5.【微點(diǎn)4】已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在-1,1上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)考試說明 1.二次函數(shù)(1)掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值).(2)了解二次函數(shù)的廣泛應(yīng)用.2.冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念.(2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的圖像,了解它們的變化情況.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.4ac-b24a,+-,4ac-b24a-,-b2a-,-b2a-b2a,4ac-b24ab=02.x|x0x|x0y|y0y|y0y|y0奇偶奇非奇非偶奇(-,0(0,+)0,+)(-,0)(0,+)(1,1)對點(diǎn)演練1.(-,40160,+)解析 二次函數(shù)圖像的對稱軸方程是x=k8,故只需k85或k820,即k40或k160,故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-,40160,+).2.x12解析 設(shè)f(x)=x,則2=2,所以=12,故函數(shù)f(x)=x12.3.62解析 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x0,3,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值2;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值6.4.6解析 函數(shù)y=x2+(a+2)x+3的圖像在a,b上關(guān)于直線x=1對稱,說明函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=1,即-a+22=1且a+b2=1,a=-4,b=6.5.解析 函數(shù)圖像的開口向下,對稱軸方程為x=-b2a>0,且過原點(diǎn),故大致圖像是.6.>解析 f(x)=x2-x+a圖像的對稱軸為直線x=12,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,m(0,1),m-1<0,f(m-1)>0.7.m-16解析 當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù),不合題意;當(dāng)m0時(shí),函數(shù)是二次函數(shù),其圖像的對稱軸為直線x=-12m,依題意知m<0,-12m3,解得m-16.8.(3,5)解析 冪函數(shù)f(x)=x12在定義域(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,由f(a+1)<f(10-2a),得a+1>0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得3<a<5,故答案為(3,5).9.(-,1)解析 當(dāng)m>0時(shí),根據(jù)題意知m<1,所以0<m<1;當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)為y=1(x0),符合題意;當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)y=xm的圖像過點(diǎn)(1,1),在(0,+)上單調(diào)遞減,符合題意.綜上所述,m的取值范圍是(-,1).【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)直接根據(jù)冪函數(shù)圖像的特點(diǎn)判斷即可;(2)根據(jù)冪函數(shù)的定義及圖像所經(jīng)過的點(diǎn)確定m,n的值,再利用單調(diào)性比較大小.(1)C(2)A解析 (1)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得,在(1,+)上指數(shù)大的冪函數(shù)其圖像在上面,結(jié)合所給函數(shù)圖像可得n>p>m,故選C.(2)函數(shù)f(x)=(m-1)xn為冪函數(shù),所以m=2.由題意,點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)的圖像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,則f(x)在(0,+)上是增函數(shù),又33<22<1<ln ,所以f33<f22<f(ln ),所以a<c<b,故選A.變式題2解析 易知m2-4m為偶數(shù),且小于0,由m2-4m<0,解得0<m<4,又mZ,所以m=2.例2思路點(diǎn)撥 (1)由已知得所求函數(shù)的頂點(diǎn)式,與已知解析式比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出參數(shù);(2)找出對稱軸,設(shè)函數(shù)的解析式為零點(diǎn)式,再利用圖像過點(diǎn)(4,3)可求出參數(shù).(1)x2+2x+1(2)x2-4x+3解析 (1)由函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,得f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.(2)因?yàn)閒(2-x)=f(2+x)對任意xR恒成立,所以f(x)圖像的對稱軸為直線x=2.又因?yàn)閒(x)的圖像在x軸上截得的線段長為2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),因?yàn)閒(x)的圖像過點(diǎn)(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.變式題(1)C(2)f(x)=-x2+2x+3解析 (1)由題意知-b2=1,得b=-2,f(3)=9+3b+c=9-6+c=0,c=-3,f(x)=x2-2x-3,f(-1)=1+2-3=0.(2)因?yàn)閨OB|=|OC|=3|OA|,所以|AB|=|OA|+|OB|=4|OA|,所以4|OA|3|OA|12=6,得|OA|=1,所以A(-1,0),B(3,0),C(0,3).設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=a(x+1)(x-3),將點(diǎn)C(0,3)代入,得a=-1,所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=-x2+2x+3.例3思路點(diǎn)撥 根據(jù)二次函數(shù)的圖像可以知判別式的正負(fù)、開口方向、對稱軸、x=-1處函數(shù)值的正負(fù),由這些信息可判斷結(jié)論的正誤.B解析 因?yàn)閳D像與x軸交于兩點(diǎn),所以b2-4ac>0,即b2>4ac,正確.對稱軸為直線x=-1,即-b2a=-1,即2a-b=0,錯(cuò)誤.結(jié)合圖像知,當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a-b+c>0,錯(cuò)誤.由對稱軸為直線x=-1知,b=2a,又函數(shù)圖像開口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,正確.故選B.例4思路點(diǎn)撥 (1)二次函數(shù)存在最小值,所以圖像開口向上,再根據(jù)與對稱軸之間的距離判斷大小關(guān)系;(2)由f(x)在-5,5上是單調(diào)函數(shù)可知,對稱軸在區(qū)間-5,5的兩側(cè).(1)D(2)-110,00,110解析 (1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)有最小值f(1),所以a>0,且其圖像的對稱軸為直線x=1.因?yàn)?,-32,3與對稱軸之間的距離分別為|2-1|,-32-1,|3-1|,且|2-1|<|3-1|<-32-1,所以f(2)<f(3)<f-32,所以選D.(2)f(x)是二次函數(shù),k0.f(x)的圖像關(guān)于直線x=12k對稱,要使f(x)在區(qū)間-5,5上是單調(diào)函數(shù),則必有12k-5或12k5,解得-110k<0或0<k110,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是-110,00,110.例5思路點(diǎn)撥 根據(jù)圖像的開口方向和對稱軸與區(qū)間-1,1的關(guān)系分類討論求解.解:由題意得,函數(shù)f(x)=x2+ax+3的圖像的對稱軸為直線x=-a2. 當(dāng)1-a2,即a-2時(shí),f(x)在-1,1上單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=1+a+3=a+4=-3,解得a=-7,符合題意.當(dāng)-1<-a2<1,即-2<a<2時(shí),由題意得f(x)min=f-a2=43-a24=-3,解得a2=24,a=26或a=-26,不合題意,舍去.當(dāng)-a2-1,即a2時(shí),f(x)在-1,1上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=1-a+3=4-a=-3,解得a=7,符合題意.綜上可知,a=7或a=-7.例6思路點(diǎn)撥 (1)對m進(jìn)行分類討論,結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式,求得m的取值范圍.(2)根據(jù)對稱軸與區(qū)間m,m+2的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.解:(1)若m=0,則顯然不成立;若m0,則m<0,1-4m-32<0,解得m<-16.綜上可知,m<-16.(2)f(x)2m-2在區(qū)間m,m+2上恒成立,即2x2-4x+m-20在m,m+2上恒成立,設(shè)g(x)=2x2-4x+m-2,其圖像的對稱軸為直線x=1.若m1,則函數(shù)g(x)在m,m+2上單調(diào)遞增,要滿足g(x)0,只需g(m)0,即2m2-3m-20,解得m2或m-12(舍);若m<1<m+2,即-1<m<1,則函數(shù)g(x)在m,m+2上的最小值為g(1),由g(1)0得m4,不符合題意,舍去;若m+21,即m-1,則函數(shù)g(x)在m,m+2上單調(diào)遞減,要滿足g(x)0,只需g(m+2)0,即2(m+2)2-4(m+2)+m-20,解得m-5-414或m-5+414(舍).綜上可得,m的取值范圍為m-5-414或m2.應(yīng)用演練1.C解析 函數(shù)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,x0,1,函數(shù)f(x)=-x2+4x+a在0,1上單調(diào)遞增,f(x)有最小值f(0)=a=-2,f(x)的最大值為f(1)=3+a=3-2=1,故選C.2.A解析 由題意知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,b=2,又f(0)=3,c=3,則bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在1,+)上單調(diào)遞增.若x0,則3x2x1,f(3x)f(2x);若x<0,則3x<2x<1,f(3x)>f(2x).f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).故選A.3.a-4解析 易知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的圖像開口向上,且以直線x=1-a為對稱軸,若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-,5上是減函數(shù),則51-a,即a-4.4.(-3,0)解析 由題意知k<0,且=k2+3k<0,所以-3<k<0.5.-,12解析 由題意知2ax2+2x-3<0在-1,1上恒成立.當(dāng)x=0時(shí),符合; 當(dāng)x0時(shí),a<321x-132-16恒成立.因?yàn)?x(-,-11,+),當(dāng)1x=1,即x=1時(shí),y=321x-132-16取得最小值12,所以a<12.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-,12.【備選理由】 例1考查常見冪函數(shù)的性質(zhì);例2考查含絕對值的二次函數(shù)的單調(diào)性,需要先去掉絕對值再求解;例3為軸定區(qū)間動的最值問題,需要依據(jù)對稱軸進(jìn)行分類討論求解;例4為與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題,結(jié)合了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).例1配合例1使用 已知a-1,2,12,3,13,若f(x)=xa為奇函數(shù),且在(0,+)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-1,3B.13,3C.-1,13,3D.13,12,3解析 B因?yàn)閒(x)=xa為奇函數(shù),所以a-1,3,13,又因?yàn)閒(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以a3,13,因此選B.例2配合例4使用 若函數(shù)f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案 -4,0解析 f(x)=x2+ax-2a,x2,x2-ax+2a,0<x<2,若函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,注意到f(x)在x=2處連續(xù),則只需-a22,a20-4a0.例3配合例5使用 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函數(shù)f(x)的最小值.解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,其圖像的對稱軸為直線x=1.當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)圖像如圖所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上為減函數(shù),所以最小值為f(t+1)=t2+1; 當(dāng)t1t+1,即0t1時(shí),函數(shù)圖像如圖所示,函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=1;當(dāng)t>1時(shí),函數(shù)圖像如圖所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上為增函數(shù),所以最小值為f(t)=t2-2t+2.綜上可知,f(x)min=t2+1,t<0,1,0t1,t2-2t+2,t>1.例4配合例6使用 函數(shù)f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在區(qū)間-1,1上f(x)8恒成立,則a的最大值為.答案 2解析 令ax=t,因?yàn)閍>1,x-1,1,所以1ata,原函數(shù)可化為g(t)=t2+3t-2,顯然g(t)在1a,a上單調(diào)遞增,所以f(x)8恒成立,即g(t)max=g(a)8恒成立,所以有a2+3a-28,解得-5a2,又a>1,所以a的最大值為2.