第22講二倍角公式與簡單的三角恒等變換1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2:sin 2=.(2)公式C2:cos 2=.(3)公式T2:tan 2=.2.常用的部分三角公式 (1)1-cos =,1+cos =.(升冪公式)(2)1sin =.(升冪公式)(3)sin2=,cos2=,tan2=.(降冪公式)(4)sin =2tan21+tan22,cos =,tan =.(萬能公式)(5)asin +bcos =,其中sin =ba2+b2,cos =aa2+b2.(輔助角公式)3.三角恒等變換的基本技巧(1)變換函數(shù)名稱:使用誘導(dǎo)公式.(2)升冪、降冪:使用倍角公式.(3)常數(shù)代換:如1=sin2+cos2=tan4.(4)變換角:使用角的代數(shù)變換、各類三角函數(shù)公式.常用結(jié)論半角公式:sin 2=1-cos2,cos 2=1+cos2,tan 2=1-cos1+cos=1-cossin=sin1+cos.題組一常識題1.教材改編 sin 15-3cos 15的值是.2.教材改編 已知f(x)=sin2x-12(xR),則f(x)的最小正周期是.3.教材改編 已知cos(+)=13,cos(-)=15,則tan tan 的值為.4.教材改編 已知sin =35,為第二象限角,則sin 2的值為.題組二常錯題索引:已知角與待求角之間關(guān)系不清致誤;已知三角函數(shù)值求角時范圍不清致誤;asin +bcos =a2+b2sin(+)中值的確定錯誤;求三角函數(shù)值時符號選取錯誤(根據(jù)求解目標(biāo)的符號確定).5.已知sin6-=13,則cos3-2=.6.已知,均為銳角,且tan =7,tan =43,則+=.7.sin -cos =2sin(+)中的=.8.已知sin 2=34,20,2,則sin -cos =.探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡例1 2018東莞考前沖刺 化簡:cos2x-12+sin2x+12=()A.1+12cos 2xB.1+12sin 2xC.1+cos 2xD.1+sin 2x(2)化簡:tan +1tan4+2=()A.cos B.sin C.1cosD.1sin總結(jié)反思 (1)化簡標(biāo)準(zhǔn):函數(shù)種類盡可能少、次數(shù)盡可能低、項(xiàng)數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用.變式題 1+sin6+1-sin6=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值角度1給值求值例2 (1)已知sin(-)cos -cos(-)sin =35,則cos 2的值為()A.725B.1825C.-725D.-1825(2)2018廈門外國語學(xué)校月考 已知tan +1tan=4,則cos2+4=()A.15B.14C.13D.12總結(jié)反思 給值求值是指已知某個角的三角函數(shù)值,求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值的問題,解題的基本方法是通過角的三角函數(shù)的變換把求解目標(biāo)用已知條件表達(dá)出來.變式題 (1)2018菏澤模擬 已知32,2,sin2+=13,則tan(+2)=()A.427B.225C.427D.225(2)2018廣州七校聯(lián)考 若sin6-=13,則cos23+2的值為()A.-13B.-79C.13D.79角度2給角求值例3 2019重慶南州中學(xué)月考 2cos10sin70-tan 20=()A.1B.3-12C.3D.32總結(jié)反思 該類問題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?或者能夠正負(fù)相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值.變式題 tan 70cos 10(3tan 20-1)=()A.1B.2C.-1D.-2角度3給值求角例4 若sin 2=55,sin(-)=1010,且4,32,則+的值是()A.74B.94C.54或74D.54或94總結(jié)反思 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時,有以下原則:已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù).已知正、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,2,則選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,),則選余弦較好;若角的范圍為-2,2,則選正弦較好.變式題 已知,(0,),且tan(-)=12,tan =-17,則2-的值為.探究點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5 已知函數(shù)f(x)=4cos xsinx-6+a的最大值為3.(1)求a的值及f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若0,2,f2=115,求cos 的值.總結(jié)反思 (1)求三角函數(shù)解析式y(tǒng)=Asin(x+)(A>0,>0)時要注意的取值范圍.(2)根據(jù)二倍角公式進(jìn)行計(jì)算時,如果涉及開方,則要注意開方后三角函數(shù)值的符號.變式題 設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+3cos x+1.(1)求函數(shù)f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)f()=135,且6<<23時,求sin2+23的值.第22講二倍角公式與簡單的三角恒等變換考試說明 能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶).【課前雙基鞏固】知識聚焦1.(1)2sin cos (2)cos2-sin22cos2-11-2sin2(3)2tan1-tan22.(1)2sin222cos22(2)sin2cos22(3)1-cos221+cos221-cos21+cos2(4)1-tan221+tan222tan21-tan22(5)a2+b2sin(+)對點(diǎn)演練1.-2解析 sin 15-3cos 15=212sin 15-32cos 15=2(sin 30sin 15-cos 30cos 15)=-2cos(30+15)=-2cos 45=-2.2.解析 f(x)=sin2x-12=-cos2x2,故f(x)的最小正周期T=22=.3.-14解析 由cos(+)=13,cos(-)=15,得coscos-sinsin=13,coscos+sinsin=15, 解得coscos=415,sinsin=-115, 所以tan tan =sinsincoscos=-14.4.-2425解析 sin =35,為第二象限角,cos =-45,sin 2=2sin cos =235-45=-2425.5.79解析 由題意知,cos3-2=1-2sin26-=1-29=79.6.34解析 tan(+)=tan+tan1-tantan=7+431-743=-1,又0<+<,所以+=34.7.2k-4,kZ解析 sin -cos =222sin -22cos ,則cos =22,sin =-22,所以=2k-4,kZ.8.-12解析 因?yàn)?0,2,所以0,4,所以sin -cos <0,所以sin -cos =-(sin-cos)2=-1-2sincos=-1-34=-12.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)先根據(jù)余弦的二倍角公式降冪,再根據(jù)兩角和與差的余弦公式化簡得結(jié)果;(2)先化切為弦,再通分,然后利用兩角差的余弦公式求解.(1)B(2)C解析 (1)cos2x-12+sin2x+12=1+cos2x-62+1-cos2x+62=1+12cos 2xcos6+sin 2xsin6-cos 2xcos6-sin 2xsin6=1+sin 2xsin6=1+12sin 2x,故選B.(2)tan +1tan4+2=sincos+cos4+2sin4+2=sinsin4+2+coscos4+2cossin4+2=cos4+2-cossin4+2=cos4-2cossin4+2=sin4+2cossin4+2=1cos.故選C.變式題D解析 1+sin6+1-sin6=(1+sin6+1-sin6)2=1+sin6+1-sin6+2(1+sin6)(1-sin6)=2+2cos6=2+2(2cos23-1)=4cos23=-2cos 3.例2思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡,求得sin 的值,再根據(jù)二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知條件求得sin cos 的值,再由二倍角的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式求值.(1)A(2)B解析 (1)由題意得sin(-)cos -cos(-)sin =sin(-)=-sin =35,所以sin =-35,所以cos 2=1-2sin2=725,故選A.(2)由tan +1tan=4,得sincos+cossin=4,即sin2+cos2sincos=4,sin cos =14,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-2sincos2=1-2142=14.變式題(1)A(2)B解析 (1)32,2,sin2+=cos =13,sin =-223,tan =-22,tan(+2)=tan 2=2tan1-tan2=-42-7=427.(2)cos23+2=cos-3-2=-cos3-2=-cos 26-=-1-2sin26-=-1-219=-79.例3思路點(diǎn)撥 首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,將切化弦,之后利用誘導(dǎo)公式化簡,借助于兩角差的正弦公式及輔助角公式求得結(jié)果.C解析 2cos10sin70-tan 20=2cos10sin70-sin20cos20=2cos10-sin(30-10)sin70=32cos10+32sin10sin70=3sin(10+60)sin70=3,故選C.變式題C解析 原式=sin70cos70cos 103sin20cos20-1=cos20cos10sin203sin20-cos20cos20=cos10sin202sin(20-30)=-sin20sin20=-1.例4思路點(diǎn)撥 轉(zhuǎn)化為求cos(+)的值,再求角+的值.A解析 4,22,2,又0<sin 2=55<12,256,即512,2,cos 2=-1-sin22=-255.,32,-2,1312,又sin(-)=1010,-2,cos(-)=-1-sin2(-)=-31010, cos(+)=cos2+(-)=cos 2cos(-)-sin 2sin(-)=-255-31010-551010=22.又512,2,32,+1712,2,+=74,故選A.變式題-34解析 (0,),tan =tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=12-171+1217=13>0,0<<2.又tan 2=2tan1-tan2=2131-132=34>0,0<2<2,tan(2-)=tan2-tan1+tan2tan=34+171-3417=1.(0,),tan =-17<0,2<<,-<2-<0,2-=-34.例5思路點(diǎn)撥 (1)利用兩角差的正弦公式和倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理,利用函數(shù)的最大值求得a,進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)由題意易得sin-6=35,進(jìn)而得到cos-6=45,利用配角法可得cos =cos-6+6,從而得到結(jié)果.解:(1)由題意知,f(x)=4cos xsinx-6+a=4cos x32sinx-12cosx+a=23sin xcos x-2cos2x+a=3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin2x-6-1+a.當(dāng)sin2x-6=1時,f(x)取得最大值,此時f(x)=2-1+a=3,a=2.由2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為3+k,56+k,kZ.(2)由(1)可知,f(x)=2sin2x-6+1,f2=115,sin-6=35,又0,2,-6-6,3,cos-6=45,cos =cos-6+6=32cos-6-12sin-6=43-310.變式題解:(1)依題意得f(x)=sin x+3cos x+1=2sinx+3+1. 因?yàn)?22sinx+32,所以-12sinx+3+13,即函數(shù)f(x)的值域是-1,3.令-2+2kx+32k+2,kZ,解得-56+2kx6+2k,kZ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-56+2k,6+2k,kZ.(2)由f()=2sin+3+1=135,得sin+3=45.因?yàn)?<<23,所以2<+3<,所以cos+3=-35,所以sin2+23=sin 2+3=2sin+3cos+3=-24535=-2425.【備選理由】 例1考查三角函數(shù)式的化簡;例2是給值求值問題;例3是給角求值問題的補(bǔ)充,給出的是非特殊角;例4是給值求角問題,選擇相應(yīng)的三角函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵.例1配合例1使用 化簡:sin(+)cos -12sin(2+)-sin =.答案 sin 解析 原式=sin(+)cos -12sin(+)-sin =sin(+)cos -12sin(+)cos +cos(+)sin -sin =12sin(+)cos -cos(+)sin +12sin =12sin +12sin =sin .例2配合例2使用 2018資陽三診 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),則tan2+4=()A.-7B.-17C.17D.7解析 A由角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,且它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),可得tan =12,tan 2=2tan1-tan2=11-14=43,tan2+4=tan2+tan41-tan2tan4=43+11-431=-7.故選A.例3配合例3使用 若a=2(cos216-sin216),b=sin 15+cos 15,c=1+cos56,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c解析 Ca=2(cos216-sin216)=2cos 32,b=sin 15+cos 15=2cos 30, c=1+cos56=2cos228=2cos 28,又y=cos x在(0,90)上單調(diào)遞減,cos 28>cos 30>cos 32,c>b>a.故選C.例4配合例4使用 已知,均為銳角,且sin =55,cos =1010,則-的值為.答案 -4解析 ,均為銳角,sin =55,cos =1010,cos =1-sin2=255,sin =1-cos2=31010,sin(-)=sin cos -cos sin =551010-25531010=-22.又-2<-<2,-=-4.