第18練 用導數研究函數的單調性 [基礎保分練] 1.設函數f(x)＝x2－16lnx在區(qū)間[a－1，a＋2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.(2,3) C.(1,2] D.[2,3] 2.(2019嘉興模擬)已知函數f(x)＝ax3＋ax2＋x(a∈R)，下列選項中不可能是函數f(x)的圖象的是(　　) 3.定義域為R的函數f(x)對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其導函數f′(x)滿足>0，則當2<a<4時，有(　　) A.f(2a)<f(log2a)<f(2) B.f(log2a)<f(2)<f(2a) C.f(2a)<f(2)<f(log2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(2) 4.(2019金華一中模擬)已知定義在R上的可導函數f(x)，滿足0<f′(x)<f(x)，對a∈(1，＋∞)，則下列不等關系均成立的是(　　) A.f(1)>eaf(a)，f(a)>eaf(1) B.f(1)>eaf(a)，f(a)<eaf(1) C.f(1)<eaf(a)，f(a)>eaf(1) D.f(1)<eaf(a)，f(a)<eaf(1) 5.(2019臺州模擬)若定義在R上的函數f(x)滿足f(0)＝0，且f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，記α＝|f(－1)|＋|f′(1)|，β＝|f(1)|＋|f′(－1)|，則(　　) A.α＝β B.α>β C.α<β D.α＝2β 6.已知函數f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能的是(　　) 7.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x>0時，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，則不等式>0的解集為(　　) A.{x|－2<x<0或0<x<2} B.{x|x<－2或x>2} C.{x|－2<x<0或x>2} D.{x|x<－2或0<x<2} 8.已知函數y＝f(x)在R上存在導函數f′(x)，任意x∈R都有f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，則實數m取值范圍是(　　) A.[－2,2] B.[2，＋∞) C.[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 9.定義1：若函數f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數f(x)在區(qū)間D上存在二階導數，記作f″(x)＝[f′(x)]′. 定義2：若函數f(x)在區(qū)間D上的二階導數恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數f(x)在區(qū)間D上為凹函數，已知函數f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數，則x的取值范圍是________. 10.(2019嘉興測試)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在區(qū)間(m，m＋1)上為遞減函數，則m的取值范圍為________. [能力提升練] 1.設函數f′(x)是函數f(x)(x∈R)的導函數，已知f′(x)<f(x)，且f′(x)＝f′(4－x)，f(4)＝0，f(2)＝1，則使得f(x)－2ex<0成立的x的取值范圍是(　　) A.(－2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 2.(2019溫州模擬)已知函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，則g(x)＝(　　) A.在(0,1)上是減函數 B.在(1,4)上是減函數 C.在上是減函數 D.在上是減函數 3.函數f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)上的可導函數，其導函數為f′(x)，且滿足xf′(x)＋2f(x)＞0，則不等式＜的解集為(　　) A.{x|x＞－2013} B.{x|x＜－2013} C.{x|－2013＜x＜0} D.{x|－2018＜x＜－2013} 4.設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，當x>0時，xlnxf′(x)<－f(x)，則使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　) A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－2,0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0,2) 5.已知函數f(x)＝ex－e－x－2sinx，則不等式f(2x2－1)＋f(x)≤0的解集為________. 6.若函數exf(x)(e＝2.71828…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質.下列函數中所有具有M性質的函數的序號為________. ①f(x)＝2－x； ②f(x)＝3－x； ③f(x)＝x3； ④f(x)＝x2＋2. 答案精析 基礎保分練 1.C　2.D　3.A　4.D　5.C　6.B　7.C　8.B　9.　10. 能力提升練 1.B　[設F(x)＝，則F′(x)＝<0，即函數F(x)在R上單調遞減，因為f′(x)＝f′(4－x)，即導函數y＝f′(x)關于直線x＝2對稱， 所以函數y＝f(x)是中心對稱圖形，且對稱中心為(2,1)， 由f(4)＝0，即函數y＝f(x)過點(4,0)， 其關于點(2,1)的對稱點(0,2)也在函數y＝f(x)上， 所以有f(0)＝2，所以F(0)＝＝2， 而不等式f(x)－2ex<0，即<2， 即F(x)<F(0)，所以x>0， 故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范圍是(0，＋∞)，故選B.] 2.C　[根據導函數的幾何意義，易得函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示， 由圖易得當x＝0或x＝2時，f(x)＝0，則函數g(x)＝的定義域為(－∞，0)∪(0,2)∪(2,＋∞)，排除選項B，D；g′(x)＝，由圖易得當x∈(0,1)時，f(x)>f′(x)，即g′(x)＝>0，所以函數g(x)＝在(0,1)上是增函數，故選項A錯誤；又由圖易得當x∈時，f(x)<f′(x)，即g′(x)＝<0，所以函數g(x)＝在上是減函數，故選C.] 3.D　[構造函數g(x)＝x2f(x)， 則g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]. 當x＞0時，∵2f(x)＋xf′(x)＞0， ∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增. ∵不等式＜， ∴當x＋2018＞0，即x＞－2018時，(x＋2018)2f(x＋2018)＜52f(5)， ∴g(x＋2018)＜g(5)，∴x＋2018＜5， ∴－2018＜x＜－2013.] 4.D　[根據題意，設g(x)＝lnxf(x)(x>0)， 其導數g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)＝f(x)＋lnxf′(x)， 又由當x>0時，lnxf′(x)<－f(x)， 得g′(x)＝f(x)＋lnxf′(x)<0， 即函數g(x)在(0，＋∞)上為減函數， 又由g(1)＝ln1f(1)＝0， 則在區(qū)間(0,1)上，g(x)＝lnxf(x)>g(1)＝0，又由lnx<0，得f(x)<0； 在區(qū)間(1，＋∞)上，g(x)＝lnxf(x)<g(1)＝0，又由lnx>0，得f(x)<0， 則在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0， 當x>0時，xlnxf′(x)<－f(x)， 令x＝1得，0<－f(1)，則f(1)<0， 即在(0，＋∞)上f(x)<0， 又由f(x)為奇函數，則在區(qū)間(－∞，0)上，都有f(x)>0， (x2－4)f(x)>0? 或解得x<－2或0<x<2. 則x的取值范圍是(－∞，－2)∪(0,2)，故選D.] 5. 解析　由題意得f(－x)＝e-x－ex－2sin(－x)＝e-x－ex＋2sinx＝－f(x)， ∴函數f(x)是奇函數. 設x>0，則f′(x)＝ex＋e-x－2cosx， ∵x>0，∴ex＋e-x>2＝2， ∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增. ∵函數f(x)是定義在R上的奇函數， ∴函數f(x)是R上的增函數， ∴f(2x2－1)≤－f(x)＝f(－x)， ∴2x2－1≤－x，∴－1≤x≤. 6.①④ 解析　對于①，f(x)＝2－x，則g(x)＝exf(x)＝ex2-x＝x為實數集上的增函數； 對于②，f(x)＝3-x，則g(x)＝exf(x)＝ex3-x＝x為實數集上的減函數； 對于③，f(x)＝x3，則g(x)＝exf(x)＝exx3， g′(x)＝exx3＋3exx2＝exx2(x＋3)， 當x<－3時，g′(x)<0， 當x>－3時，g′(x)>0， ∴g(x)＝exf(x)在定義域R上先減后增； 對于④，f(x)＝x2＋2，則g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)， g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)>0在實數集R上恒成立， ∴g(x)＝exf(x)在定義域R上是增函數. ∴具有M性質的函數的序號為①④.