3.2古典概型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解概率的一般加法公式及適用條件知識點一古典概型思考1“在區(qū)間0,10上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為5的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎？答案不屬于因為在區(qū)間0,10上任取一個數(shù)，其試驗結(jié)果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型思考2若一次試驗的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)為有限個，則該試驗符合古典概型嗎？答案不一定符合還必須滿足每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等才符合古典概型梳理(1)古典概型的特征：有限性在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件；等可能性每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的(2)古典概型的計算公式：P(A).知識點二概率的一般加法公式(選學(xué))1事件的交(或積)由事件A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交(或積)，記作DAB(或DAB)2概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件，則P(AB)P(A)P(B)P(AB)1每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等()2古典概型中的任何兩個基本事件都是互斥的()題型一古典概型的判斷例1某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)、命中5環(huán)和不中環(huán)你認為這是古典概型嗎？為什么？解不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的(為什么？)，即不滿足古典概型的第二個條件.反思與感悟判斷一個試驗是不是古典概型要抓住兩點：一是有限性；二是等可能性跟蹤訓(xùn)練1從所有整數(shù)中任取一個數(shù)的試驗中“抽取一個整數(shù)”是古典概型嗎？解不是，因為有無數(shù)個基本事件.題型二古典概型的概率計算例2將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次觀察出現(xiàn)點數(shù)的情況(1)一共有多少種不同的結(jié)果？(2)點數(shù)之和為5的結(jié)果有多少種？(3)點數(shù)之和為5的概率是多少？解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子拋擲一次，得到的點數(shù)有1,2,3,4,5,6，共6種結(jié)果，故先后將這枚骰子拋擲兩次，一共有6636(種)不同的結(jié)果(2)點數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種(3)正方體骰子是質(zhì)地均勻的，將它先后拋擲兩次所得的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，其中點數(shù)之和為5(記為事件A)的結(jié)果有4種，因此所求概率P(A).反思與感悟古典概型問題包含的題型較多，但都必須緊扣古典概型的定義，進而用公式進行計算列舉法是求解古典概型問題的常用方法，借助于圖表等有時更實用更有效跟蹤訓(xùn)練2在兩個袋內(nèi)，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字的6張卡片，從每個袋中各任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和等于7的概率為_答案解析試驗結(jié)果如表所示：0123450012345112345622345673345678445678955678910由表可知兩張卡片上數(shù)字之和共有36種情況，其中和為7有4種情況，所求事件的概率為.1下列不是古典概型的是()A從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為7的概率C近三天中有一天降雨的概率D10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率答案C解析A，B，D為古典概型，因為都適合古典概型的兩個特征：有限性和等可能性，而C不滿足等可能性，故不為古典概型2從長度分別為1,2,3,4的四條線段中，任取三條不同的線段，以取出的三條線段為邊可組成三角形的概率為()A0B.C.D.答案B解析從中任取三條線段共有4種取法，能構(gòu)成三角形的只有長度為2,3,4的線段，所以P，故選B.3從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率是()A.B.C.D.答案B解析從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字能構(gòu)成20個兩位數(shù)：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的數(shù)有8個：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是.4從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率為_答案解析從2,3,8,9中任取2個分別記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，P.5現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答求所取的2道題不是同一類題的概率解將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8個，所以P(B).古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們在學(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常遇到的題型解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性在應(yīng)用公式P(A)時，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m，n.一、選擇題1下列是古典概型的是()A任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為基本事件時B求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時C從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止答案C解析A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的基本事件是無限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中基本事件既不是有限個也不具有等可能性，故D不是2從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都入選的概率為()A.B.C.D.答案C解析從五個人中選取三個人有10種不同結(jié)果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入選的結(jié)果有3種，故所求的概率為.3甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組(兩人參加各小組的可能性相同)，則兩人參加同一個學(xué)習(xí)小組的概率為()A.B.C.D.答案A解析甲、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組，若以(A，B)表示甲參加學(xué)習(xí)小組A，乙參加學(xué)習(xí)小組B，則一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種情形，其中兩人參加同一個學(xué)習(xí)小組共有3種情形，根據(jù)古典概型概率公式，得P.4先后拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為7的概率為()A.B.C.D.答案C解析拋擲兩顆骰子，一共有36種結(jié)果，其中點數(shù)之和為7的共有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式，得P.5盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四個小球，從盒子里隨機摸出兩個小球，那么事件“摸出的小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5”的概率是()A.B.C.D.答案A解析從裝有四個小球的盒子里隨機摸出兩個小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6種取法，其中小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5的取法共有2種，分別為(1,4)，(2,3)，根據(jù)古典概型的概率公式，得其概率為，故選A.6袋中有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為()A.B.C.D.答案C解析袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個兩球顏色為一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個其概率為.7假如小明同學(xué)的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中的6個數(shù)字組成的六位數(shù)，由于長時間未登錄QQ，小明忘記了密碼的最后一個數(shù)字，如果小明登錄QQ時密碼的最后一個數(shù)字隨意選取，則恰好能登錄的概率是()A.B.C.D.答案D解析只考慮最后一位數(shù)字即可，從0至9這10個數(shù)字中隨機選擇一個作為密碼的最后一位數(shù)字有10種可能，選對只有一種可能，所以選對的概率是.8甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就稱甲、乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.B.C.D.答案D解析首先要弄清楚“心有靈犀”的實質(zhì)是|ab|1，由于a，b1,2,3,4,5,6，則滿足要求的事件可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種，而依題意得，基本事件的總數(shù)有36種因此他們“心有靈犀”的概率為P.二、填空題9若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m，n作為點P的坐標(biāo)，則點P落在圓x2y216內(nèi)的概率是_答案解析基本事件的總數(shù)為6636，記事件A點P(m，n)落在圓x2y216內(nèi)，則A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8個P(A).10從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率是_答案解析設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個其中恰有1件是次品的基本事件有：AD，BD，CD，共3個，故P.11從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于_答案解析用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15種，其中2名都是女同學(xué)的有ab，ac，bc共3種，故所求的概率為.三、解答題12某學(xué)校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調(diào)查(1)求應(yīng)從初級教師、中級教師、高級老師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從分層抽樣抽取的6名教師中隨機抽取2名教師做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名教師均為初級教師的概率解(1)由分層抽樣知識得應(yīng)從初級教師、中級教師、高級教師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(2)在分層抽樣抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為A1，A2，A3,2名中級教師分別記為A4，A5，高級教師記為A6，則從中抽取2名教師的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種所以P(B).13海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率解(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是：501,1503,1002，所以A，B，C三個地區(qū)的商品被抽取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為A1；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，C1，A1，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15個每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件出現(xiàn)的機會是等可能的記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4個所以P(D)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.四、探究與拓展14一次擲兩枚骰子，得到的點數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2(mn)x40有實數(shù)根的概率是_答案解析基本事件共有36個因為方程有實根，所以(mn)2160.所以mn4，其對立事件是mn4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個基本事件所以所求概率為1.15“搶紅包”的活動給節(jié)假日增添了一份趣味，某發(fā)紅包單位進行一次關(guān)于“是否參與搶紅包活動”的調(diào)查活動，組織員工在幾個大型小區(qū)隨機抽取50名居民進行問卷調(diào)查，對問卷結(jié)果進行了統(tǒng)計，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表：年齡(歲)10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70調(diào)查人數(shù)mn141286參與的人數(shù)3412632表中所調(diào)查的居民年齡在10,20)，20,30)，50,60)內(nèi)的人數(shù)成等差數(shù)列(1)求表中m，n的值，并補全如圖所示的頻率分布直方圖；(2)在被調(diào)查的居民中，若從年齡在10,20)，20,30)內(nèi)的居民中各隨機選取1人參加抽獎活動，求選中的兩人中僅有一人沒有參與搶紅包活動的概率解(1)由題意得解得補全頻率分布直方圖，如圖所示：(2)記年齡在10,20)內(nèi)的居民為a1，A2，A3，A4(其中居民a1沒有參與搶紅包括動)，年齡在20,30)內(nèi)的居民為b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2沒有參與搶紅包活動)各選取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24種其中僅有一人沒有參與搶紅包活動的情形有10種，分別為(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A3，b1)，(A4，b1)，(A2，b2)，(A3，b2)，(A4，b2)，所以選中的兩人中僅有一人沒有參與搶紅包活動的概率P.