綜合測試卷(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.設i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足1+iz=1-i,則復數(shù)z=()A.2iB.-2iC.iD.-i答案C解析1+iz=1-i,z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i.故選C.2.若集合A=x|log2(2x+1)<1,集合B=x|1<2x<4,則AB=()A.0,12B.-12,12C.(0,2)D.12,2答案A解析A=x|log2(2x+1)<1=x-12<x<12,B=x|1<2x<4=x|0<x<2,AB=x0<x<12,故選A.3.(2018全國,文3)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設,農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例,得到如下餅圖:建設前經(jīng)濟收入構成比例建設后經(jīng)濟收入構成比例則下面結論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半答案A解析設建設前經(jīng)濟收入為1,則建設后經(jīng)濟收入為2,建設前種植收入為0.6,建設后種植收入為20.37=0.74,故A不正確;建設前的其他收入為0.04,養(yǎng)殖收入為0.3,建設后其他收入為0.1,養(yǎng)殖收入為0.6,故B,C正確;建設后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和所占比例為58%,故D正確,故選A.4.設直線y=12x+b是曲線y=ln x的一條切線,則b的值為()A.ln 2-1B.ln 2-2C.2ln 2-1D.2ln 2-2答案A解析設切點為(m,n),則n=lnm.函數(shù)y=lnx的導數(shù)為y=1x,可得切線的斜率為1m,則1m=12,解得m=2,則n=ln2,故b=n-12m=ln2-1.故選A.5.設aR,則“a=1”是“f(x)=lna+2x-1為奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析若a=1,則f(x)=ln1+2x-1=lnx+1x-1.故函數(shù)f(x)的定義域為(-,-1)(1,+),關于原點對稱.又f(-x)+f(x)=ln-x+1-x-1+lnx+1x-1=lnx+1x-1x-1x+1=ln1=0,所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),即充分性成立.若f(x)=lna+2x-1為奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=lna+2x-1+lna+2-x-1=0,化為(a-1)(a+1)(x2-1)+4=0,此式對于定義域內(nèi)的任意x都成立,故a=1,即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=lna+2x-1為奇函數(shù)”的充要條件.故選C.6.一程序框圖如圖所示,如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間1,2上,那么輸入實數(shù)x的取值范圍是()A.(-,0)B.-1,0C.1,+)D.0,1答案D解析根據(jù)題意,得當x-2,2時,f(x)=2x,12x2,0x1;當x-2,2時,f(x)=3,不符合題意,x的取值范圍是0,1.7.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6=()A.52B.7C.6D.42答案A解析a1a2a3=5,a23=5.a7a8a9=10,a83=10.又a52=a2a8,a56=a23a83=50.a4a5a6=a53=52,故選A.8.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積等于()A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm3答案B解析由三視圖可知該幾何體為三棱柱ABC-DEF削去一個三棱錐A-BCD,如圖.因為棱柱的高為5,底面為直角三角形,且直角三角形的兩直角邊長分別為3,4,所以幾何體的體積V=12345-1312345=20(cm3).故選B.9.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn,且S1 006>S1 008>S1 007,則滿足SnSn-1<0的正整數(shù)n為()A.2 015B.2 013C.2 014D.2 016答案A解析由題意可得S1008-S1007>0,即a1008>0.由S1006>S1008,得S1008-S1006<0,即a1007+a1008<0.故S2015=2015(a1+a2015)2=20152a10082=2015a1008>0,S2014=2014(a1+a2014)2=2014(a1007+a1008)2<0,因此滿足SnSn-1<0的正整數(shù)n=2015,故選A.10.已知ABC的三個頂點在以O為球心的球面上,且cos A=223,BC=1,AC=3,三棱錐O-ABC的體積為146,則球O的表面積為()A.36B.16C.12D.163答案B解析由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=AB2+9-16AB=223,解得AB=22.故AB2+BC2=AC2,即ABBC.因此AC是平面ABC與球的截面圓的直徑.作OD平面ABC,則D為AC的中點.所以VO-ABC=13SABCOD=1312221OD=146,所以OD=72.所以OA=OD2+AD2=2.所以S球O=4OA2=16.故選B.11.在ABC中,AB=3,AC=4,BAC=60.若P是ABC所在平面內(nèi)一點,且AP=2,則PBPC的最大值為()A.10B.12C.10+237D.8答案C解析以點A為原點,邊AC所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標系,則A(0,0),B32,332,C(4,0).設P(2cos,2sin),R,可得PB=32-2cos,332-2sin,PC=(4-2cos,-2sin),故PBPC=32-2cos(4-2cos)-2sin332-2sin=-11cos-33sin+10=-237sin(+)+10.其中為銳角,且tan=1139,R.故當sin(+)=-1時,PBPC取最大值10+237.故選C.12.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x),對任意xR都有f(x)>f(x)成立,則()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)<2f(ln 3)D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定答案C解析令g(x)=f(x)ex,則g(x)=f(x)ex-f(x)exe2x=f(x)-f(x)ex.因為對任意xR都有f(x)>f(x),所以g(x)>0,即g(x)在R上單調(diào)遞增.又ln2<ln3,所以g(ln2)<g(ln3),即f(ln2)eln2<f(ln3)eln3.所以f(ln2)2<f(ln3)3,即3f(ln2)<2f(ln3),故選C.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.用系統(tǒng)抽樣的方法從300名學生中抽取容量為20的樣本,將300名學生從1300編號,按編號順序平均分成20組,若第16組抽出的號碼為231,則第1組中用抽簽法確定的號碼是.答案6解析不妨設第1組抽到的號碼為x.因為300名學生平均分成20組,所以每組15人,所以在第16組中應抽出的號碼為1515+x.即225+x=231,故x=6.14.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F,右頂點為A,虛軸的一個端點為B.若ABF為等腰三角形,則該雙曲線的離心率為.答案1+3解析由題意,得F(-c,0),A(a,0).不妨設B(0,b),則|BF|=b2+c2>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a2+b2=c.因為ABF為等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|,即a+c=b2+c2,整理,得c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,解得e=1+3(舍去負值).15.設C滿足約束條件3x-y-60,x-y+20,x0,y0,若目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則2a+3b的最小值為.答案256解析根據(jù)約束條件繪制可行域,如圖所示.將z=ax+by轉(zhuǎn)化為y=-abx+zb,a>0,b>0,直線y=-abx+zb的斜率為負,最大截距對應最大的z值,易知點A為最大值點.聯(lián)立方程組3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6,即A(4,6).目標函數(shù)z=ax+by的最大值為12,12=4a+6b,即2a+3b6=1,2a+3b=2a+3b62a+3b=136+ba+ab136+2baab=256,當且僅當ba=ab,且2a+3b6=1,即a=b=65時取等號.16.已知點A(0,3),若圓C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在點M,使|MA|=2|MO|,則圓心C的橫坐標a的取值范圍為.答案0,125解析由圓C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1,可知圓心C(a,2a-4).設M(x,y),|MA|=2|MO|,x2+(y-3)2=2x2+y2,得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4.點M在以D(0,-1)為圓心,以2為半徑的圓D上.圓C與圓D有公共點,2-1CD2+1,即1a2+(2a-3)23,即5a2-12a+80,5a2-12a0,解得0a125.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(12分)(2018山東煙臺適應性練習)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=bcos A+asin B.(1)求角B的度數(shù);(2)若D為BC上的一點,BD=1,cosCDA=35,求ABD的面積.解(1)因為c=bcosA+asinB,所以由正弦定理,得sinC=sinBcosA+sinAsinB.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinAsinB,化簡得tanB=1.又因為0<B<,所以B=4.(2)cosBDA=cos(-CDA)=-cosCDA=-35,sinBDA=1-cos2BDA=45.sinBAD=sin4+BDA=22(sinBDA+cosBDA)=210.在ABD中,由正弦定理,得AD=BDsinBsinBAD=5.所以SABD=12BDADsinADB=121545=2.18.(12分)如圖,四邊形BCDE為矩形,平面ABC平面BCDE,ACBC,AC=CD=12BC=2,F是AD的中點.(1)求證:AB平面CEF;(2)求點A到平面CEF的距離.(1)證明如圖,連接BD,交CE于點H,連接FH.四邊形BCDE為矩形,H是線段BD的中點.又點F是線段AD的中點,FH是ABD的中位線.FHAB.又FH平面CEF,AB平面CEF,AB平面CEF.(2)解設A到平面CEF的距離為d,則VA-CEF=13dSCEF=13|DE|SACF.由題意可知CF=2,CE=25,EF=32,則CFEF,故SCEF=12232=3,則d=43,即點A到平面CEF的距離是43.19.(12分)(2018山東濰坊二模)“微信運動”是手機APP推出的多款健康運動軟件中的一款,楊老師的微信朋友圈內(nèi)有600名好友參與了“微信運動”.他隨機選取了40名微信好友(女20人,男20人),統(tǒng)計其在某一天的走路步數(shù).其中,女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:5 8608 5207 3266 7987 3258 4303 2167 45311 7549 8608 7536 4507 2904 85010 2239 7637 9889 1766 4215 980男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別:A(02 000步)(說明:“02 000”表示大于等于0,小于等于2 000.下同),B(2 0015 000步),C(5 0018 000步),D(8 00110 000步),E(10 001步及以上),且B,D,E三種類別人數(shù)比例為134,將統(tǒng)計結果繪制成如圖所示的條形圖.若某人一天的走路步數(shù)超過8 000步被系統(tǒng)認定為“衛(wèi)健型”,否則被系統(tǒng)認定為“進步型”.(1)若以楊老師抽取的好友當天行走步數(shù)的頻率分布來估計所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請估計楊老師的微信朋友圈內(nèi)參與“微信運動”的600名好友中,每天走路步數(shù)在5 00110 000步的人數(shù);(2)請根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認為“認定類型”與“性別”有關?衛(wèi)健型進步型總計男20女20總計40(3)若從楊老師當天選取的步數(shù)大于10 000的好友中按男女比例分層選取5人進行身體狀況調(diào)查,然后再從這5名好友中選取2名進行訪談,求至少有一名女性好友的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解(1)在樣本數(shù)據(jù)中,男性朋友B類別設為x人,則由題意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2,故B類別有2人,D類別有6人,E類別有8人,走路步數(shù)在500110000步的包括C,D兩類別共計9人;女性朋友走路步數(shù)在500110000步共有16人.用樣本數(shù)據(jù)估計楊老師的微信朋友圈內(nèi)參與“微信運動”的600名好友中,每天走路步數(shù)在500110000步的人數(shù)為6009+1640=375.(2)22列聯(lián)表如下:衛(wèi)健型進步型總計男14620女81220總計221840K2的觀測值k=40(1412-68)2202022183.636<3.841,故沒有95%以上的把握認為“認定類型”與“性別”有關.(3)在步數(shù)大于10000的好友中分層選取5名好友,男性有588+2=4(人),記為A,B,C,D,女性有528+2=1(人),記為e.從這5人中選取2人,基本事件是AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De,共10種,這2人中至少有一名女性好友的事件有Ae,Be,Ce,De,共4種,故所求概率P=410=25.20.(12分)設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=12,右焦點到直線xa+yb=1的距離d=217,O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程;(2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A,B兩點,證明:點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值.解(1)由e=12,得ca=12,即a=2c,故b=3c.由右焦點到直線xa+yb=1的距離為d=217,得|bc-ab|a2+b2=217,解得a=2,b=3.所以橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,聯(lián)立直線AB:y=kx+m與橢圓x24+y23=1,消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,化簡得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.則x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.OAOB,x1x2+y1y2=0.x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(k2+1)4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0,整理得7m2=12(k2+1).點O到直線AB的距離d=|m|k2+1=127=2217為定值.OAOB,OA2+OB2=AB22OAOB.當且僅當OA=OB時取“=”號.由dAB=OAOB得dAB=OAOBAB22,AB2d=4217,即弦AB的長度的最小值是4217.21.(12分)設函數(shù)f(x)=-2x2+ax-ln x(aR),g(x)=exex+3.(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若對任意x(0,e),都有唯一的x0e-4,e,使得g(x)=f(x0)+2x02成立,求實數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)=-4x2+ax-1x,且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,f(x)0在(0,+)內(nèi)恒成立,即4x2-ax+10在(0,+)內(nèi)恒成立.=a2-4410,即-4a4;或=a2-441>0,a8<0,即a<-4.綜上可知,a4.(2)g(x)=e1-x(1-x),g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在1,e)內(nèi)單調(diào)遞減.又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,g(x)的值域為(3,4.記h(x)=f(x)+2x2=ax-lnx,m=g(x),原問題等價于m(3,4,存在唯一的x0e-4,e,使得h(x0)=m成立.h(x)=a-1x=ax-1x,xe-4,e.當a1e時,h(x)0恒成立,h(x)單調(diào)遞減,由h(x)max=h(e-4)=ae-4+44,h(x)min=h(e)=ae-13,解得0a1e;當ae4時,h(x)0恒成立,h(x)單調(diào)遞增,h(x)min=h(e-4)=ae-4+4>4,不符合題意,舍去;當1e<a<e4時,h(x)在e-4,1a上單調(diào)遞減,在1a,e上單調(diào)遞增,且h(e-4)=ae-4+4>4,h(e)=ae-1,要滿足條件,則ae-13,故1e<a4e.綜上所述,a的取值范圍是0,4e.請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.選修44:坐標系與參數(shù)方程22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,過點P2,32作傾斜角為的直線l與曲線C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的兩點M,N.(1)寫出直線l的參數(shù)方程與曲線C的極坐標方程;(2)求1|PM|+1|PN|的取值范圍.解(1)由題意可知,直線l的參數(shù)方程為x=2+tcos,y=32+tsin(t為參數(shù)).由(x-1)2+(y-2)2=1,得x2+y2-2x-4y+4=0.將y=sin,x=cos,2=x2+y2代入,得2-2cos-4sin+4=0.(2)把直線l的參數(shù)方程x=2+tcos,y=32+tsin(t為參數(shù))代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos-sin)t+14=0.由>0,得|2cos-sin|>1.故1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2|t1t2|=4|2cos-sin|(4,45.選修45:不等式選講23.(10分)(2018全國,文23)設函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)當a=1時,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范圍.解(1)當a=1時,f(x)=2x+4,x-1,2,-1<x2,-2x+6,x>2.可得f(x)0的解集為x|-2x3.(2)f(x)1等價于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且當x=2時等號成立.故f(x)1等價于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范圍是(-,-62,+).