專題突破二焦點弦的性質(zhì)拋物線的焦點弦是考試的熱點，有關(guān)拋物線的焦點弦性質(zhì)較為豐富，對拋物線焦點弦性質(zhì)進行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1拋物線y22px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準線上的射影為A1，B1.證明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(4)為定值；(5)SOAB(為直線AB的傾斜角)；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題證明(1)當ABx軸時，不妨設(shè)A，B，y1y2p2，x1x2.當AB的斜率存在時，設(shè)為k(k0)，則直線AB的方程為yk，代入拋物線方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)當90時，過A作AGx軸，交x軸于G，由拋物線定義知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由圖知|GG1|AA1|，則p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；當90時，可知|AF|BF|p，對于|AF|，|BF|亦成立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，當且僅當90時取等號故通徑長2p為最短的焦點弦長(4)由(2)可得，.(5)當90時，SOAB2p，故滿足SOAB；當90時，設(shè)直線AB：ytan，原點O到直線AB的距離dsin，SOAB|AB|sin.(6)如圖：M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準線于M1，則|MM1|，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切二、焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析方法一由題意可知，直線AB的方程為y，代入拋物線的方程可得4y212y90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23，y1y2，故所求三角形的面積為.方法二運用焦點弦傾斜角相關(guān)的面積公式，則SOAB.(2)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析方法一拋物線C：y24x的焦點為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當且僅當k2，即k1時取等號，故|AB|DE|的最小值為16.方法二運用焦點弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，因此|AB|DE|16.點評上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題，涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題跟蹤訓練1(1)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為()A.B.C.D2考點題點答案C解析方法一設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及拋物線定義可得，x113，x12，取A點坐標為(2,2)，則直線AB的斜率k2，直線AB的方程為y2(x1)，即2xy20，則點O到該直線的距離d.由消去y得，2x25x20，解得x12，x2，|BF|x21，|AB|3，SAOB|AB|d.方法二設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)0<<，|AF|3，cos，SAOB.(2)過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案解析方法一設(shè)直線的傾斜角為，不妨設(shè)0<<，|AB|，sin2，則cos ，又|AF|<|BF|，|AF|.方法二由于y22x的焦點坐標為，由題干知A，B所在直線的斜率存在，設(shè)A，B所在直線的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，將yk代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21，x1x2.x1，x2.|AF|x1.例3已知A，B，C，D，E為拋物線yx2上不同的五點，拋物線的焦點為F，若0，則|等于()A5B10C.D.考點題點答案B解析拋物線yx2的準線方程為y1，焦點坐標為(0,1)設(shè)A，B，C，D，E的縱坐標分別為y1，y2，y3，y4，y5，0，y11y21y31y41y510，y1y2y3y4y55，根據(jù)拋物線的定義，可得|y11y21y31y41y5110.點評用坐標表示向量，可以利用定義將向量的模長與坐標建立起聯(lián)系跟蹤訓練2如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比為()A.B.C.D.考點題點答案A解析由題意可得.1已知AB是過拋物線y2x2的焦點的弦，若|AB|4，則AB的中點的縱坐標是()A1B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析如圖所示，設(shè)AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準線l的垂線，垂足分別為A，Q，B，由題意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.2過拋物線y2ax(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P，Q兩點，若PF與FQ的長分別為p，q，則等于()A.B.C2aD4a考點題點答案B解析可采用特殊值法，設(shè)PQ過焦點F且垂直于x軸，則|PF|pxP，|QF|q，.3過拋物線y22px(p>0)的焦點F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點，且|AF|>|BF|，則的值為()A3B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析由拋物線的性質(zhì)可知，|AF|，|BF|，3.4已知拋物線y24x的焦點為F，過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy的最小值為()A4B6C8D10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析由焦點弦的性質(zhì)知，y1y24，即|y1|y2|4，則yy2|y1|y2|8，當且僅當|y1|y2|2時，取等號故yy的最小值為8.5.如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，則p的值為()A.B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析設(shè)直線l的傾斜角為，由焦點弦的性質(zhì)知，|BF|，|AF|，解得6.已知拋物線y24x，圓F：(x1)2y21，過點F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB|CD|的值的說法中，正確的是()A等于1B等于4C最小值是1D最大值是4考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析設(shè)直線l：xty1，代入拋物線方程，得y24ty40.設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，所以|AB|CD|x1x2，而y1y24，故|AB|CD|1.7設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析當cos>0時，|AF|，|BF|，|AF|3|BF|，cos，則tan，l的方程為y(x1)，當cos<0時，|AF|，|BF|，|AF|3|BF|，cos，則tan，l的方程為y(x1)，則l的方程為y(x1)或y(x1)8設(shè)拋物線的頂點在坐標原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3.(1)求拋物線的標準方程；(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點連接QF并延長交拋物線的準線于點R，當直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程解(1)設(shè)拋物線的方程是x22py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1y2p8，又AB的中點到x軸的距離為3，y1y26，p2，拋物線的標準方程是x24y.(2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240，(*)易知拋物線在點P處的切線方程為y(xx3)，令y1，得x，R，又Q，F(xiàn)，R三點共線，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，將(*)式代入上式得k2，k，直線m的方程為yx6.