第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練)A級基礎(chǔ)夯實(shí)練1(2018北京東城區(qū)二模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，a55，則S7的值是()A30B29C28 D27解析：選C.由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d1，故a4a3d4，所以S77428.故選C.2(2018唐山統(tǒng)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1122，則a3a7a8等于()A18 B12C9 D6解析：選D.由題意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故選D.3在等差數(shù)列an中，a12 017，其前n項(xiàng)和為Sn，若2，則S2 020()A2 020 B2 020C4 040 D4 040解析：選C.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnAn2Bn，則AnB，是等差數(shù)列2，的公差為1，又2 017，是以2 017為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，2 0172 01912，S2 0204 040.故選C.4(2018山西太原模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)在函數(shù)yx210x的圖象上，等差數(shù)列bn滿足bnbn1an(nN*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是()ASn2Tn Bb40CT7b7 DT5T6解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(nN*)在函數(shù)yx210x的圖象上，所以Snn210n，所以an2n11，又bnbn1an(nN*)，數(shù)列bn為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以2b1d9,2b13d7，解得b15，d1，所以bnn6，所以b60，所以T5T6，故選D.5(2018江西南昌模擬)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升 B升C.升 D升解析：選B.設(shè)該等差數(shù)列為an，公差為d，由題意得即解得a54.故選B.6(2018山東五校聯(lián)考)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：選D.an是等差數(shù)列，則ana1(n1)ddna1d，因?yàn)閐0，所以an是遞增數(shù)列，故p1正確；對p2，舉反例，令a13，a22，d1，則a12a2，故nan不是遞增數(shù)列，p2不正確；d，當(dāng)a1d0時(shí)，遞減，p3不正確；an3nd4nda1d,4d0，an3nd是遞增數(shù)列，p4正確故p1，p4是正確的，選D.7(2018揭陽質(zhì)檢)數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，則a8等于()A0 B3C8 D11解析：選B.bn為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由b32，b1012，7db10b312(2)14，d2，b32，b1b32d246，b1b2b77b1d7(6)2120，又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a83，a830，a83.故選B.8(2018日照二模)若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使akak10的k值為_解析：因?yàn)?an13an2，所以an1an，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為15，公差為的等差數(shù)列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10的k值為23.答案：239(2018長春模擬)張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾初日織五尺，今一月日織九匹三丈則月末日織幾何？”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布，則該女最后一天織_尺布解析：由題意得，該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為an，其中a15，前30項(xiàng)和為390，于是有390，解得a3021，即該女最后一天織21尺布答案：2110(2017全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解：(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)可得解得q2，a12.故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列B級能力提升練11(2018濰坊模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解析：選D.由已知條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D.12如圖，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列 BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列 Dd是等差數(shù)列解析：選A.作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，Cn，則A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.設(shè)|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，則|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a(n3)，Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列13(2018南充模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn0的n的最大值為_解析：1，且Sn有最大值，a100，a110，且a10a110，S1919a100，S2010(a10a11)0，故使得Sn0的n的最大值為19.答案：1914(2018山東菏澤二模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，滿足a1a210，S540.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn|13an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意知，a1a22a1d10，S55a340，即a38，所以a12d8，所以所以an4(n1)22n2.(2)令cn13an112n，bn|cn|112n|設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Qn，則Qnn210n.當(dāng)n5時(shí)，Tnb1b2bnQnn210n.當(dāng)n6時(shí)，Tnb1b2bnc1c2c5(c6c7cn)Qn2Q5n210n2(52105)n210n50.Tn15(2018惠州市二調(diào))在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列(1)若數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn，求數(shù)列an的公差解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得aa1a8，即(a13d)2a1(a17d)，解得a19d.由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45得10a145d45，即90d45d45，所以d，a13.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(n1).(2)因?yàn)閎n，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn，即Tn，因此1，解得d1或d1.故數(shù)列an的公差為1或1.C級素養(yǎng)加強(qiáng)練16(2018湘東五校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a5a1334，S39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn，問：是否存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm(m3，mN)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)an的公差為d，由題意得解得a11，d2，故an2n1，Snn2.(2)由(1)知bn，要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，必須有2b2b1bm，即2，移項(xiàng)得，整理得m3.因?yàn)閙，t為正整數(shù)，所以t只能取2,3,5.當(dāng)t2時(shí)，m7；當(dāng)t3時(shí)，m5；當(dāng)t5時(shí)，m4.所以存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列