回扣8函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；若已知f(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(g(x)的定義域?yàn)椴坏仁絘g(x)b的解集；反之，已知f(g(x)的定義域?yàn)閍，b，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)yg(x)(xa，b)的值域(2)常見函數(shù)的值域一次函數(shù)ykxb(k0)的值域?yàn)镽；二次函數(shù)yax2bxc(a0)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?，?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?；反比例函?shù)y(k0)的值域?yàn)閥R|y02函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(x)f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(x)f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值，若f(xT)f(x)(T0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期3關(guān)于函數(shù)周期性、對(duì)稱性的結(jié)論(1)函數(shù)的周期性若函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(xa)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期；設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期；設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線xa(a0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱；若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱；若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(bx)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱4函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)任意x1，x2a，b，那么(x1x2)f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b上是減函數(shù)若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性5函數(shù)圖象的基本變換(1)平移變換yf(x)yf(xh)，yf(x)yf(x)k.(2)伸縮變換yf(x)yf(x)，yf(x)yAf(x)(3)對(duì)稱變換yf(x)yf(x)，yf(x)yf(x)，yf(x)yf(x)6準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：yax(a>0，且a1)恒過(guò)(0,1)點(diǎn)；ylogax(a>0，且a1)恒過(guò)(1,0)點(diǎn)(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，yax在R上單調(diào)遞增；ylogax在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，yax在R上單調(diào)遞減；ylogax在(0，)上單調(diào)遞減7函數(shù)與方程(1)零點(diǎn)定義：x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)f(x0)0(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法解方程判定法：解方程f(x)0；零點(diǎn)定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)yf(x)滿足f(a)f(b)<0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多用此法求解8導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f(x0)的幾何意義：曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，該切線的方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(2)切點(diǎn)的兩大特征：在曲線yf(x)上；在切線上9利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟求函數(shù)f(x)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)f(x)；由f(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f(x)0(xM)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f(x)0(xM)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f(x)>0(或f(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集10利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟確定函數(shù)的定義域；解方程f(x)0；判斷f(x)在方程f(x)0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變化：若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)；若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最值的一般步驟求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)的極值；比較函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值11定積分的三個(gè)公式與一個(gè)定理(1)定積分的性質(zhì) kf(x)dxkf(x)dx；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)(2)微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)1解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則2解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍3求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔開單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替4判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響5準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)如函數(shù)yax(a>0，a1)的單調(diào)性容易忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件6易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化7已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f(x)0(0)對(duì)x(a，b)恒成立，不能漏掉“”，且需驗(yàn)證“”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f(x)>0(<0)的解集為(a，b)8f(x)0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定要檢驗(yàn)在xx0的兩側(cè)f(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn)1若曲線f(x)x44x在點(diǎn)A處的切線平行于x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(1,2) B(1，3)C(1,0) D(1,5)答案B解析對(duì)f(x)x44x，求導(dǎo)得f(x)4x34，由在點(diǎn)A處的切線平行于x軸，可得4x340，解得x1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)2若函數(shù)f(x)則f(3)的值為()A5 B1C7 D2答案D解析依題意，f(3)f(32)f(1)f(12)f(1)112，故選D.3若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能為()答案C解析根據(jù)f(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除A，D；從適合f(x)0的點(diǎn)可以排除B，故選C.4(2016全國(guó))函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()答案D解析f(2)8e2>82.82>0，排除A；f(2)8e2<82.72<1，排除B；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x2ex，f(x)4xex，當(dāng)x時(shí)，f(x)<4e00，因此f(x)在上單調(diào)遞減，排除C，故選D.5a，b，c依次表示函數(shù)f(x)2xx2，g(x)3xx2，h(x)ln xx2的零點(diǎn)，則a，b，c的大小順序?yàn)?)Ac<b<a Ba<b<cCa<c<b Db<a<c答案D解析a，b，c為直線y2x分別與曲線y2x，y3x，yln x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從圖象可知，b<a<c，故選D.6已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在0,2上單調(diào)遞增，若f(log2m)<f(log4(m2)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m<2 B.m2C2<m4 D2m4答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且在0,2上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在2,2上單調(diào)遞增由f(log2m)<f(log4(m2)，可得即解得m<2.綜上可知，m的取值范圍是m<2.7(2016全國(guó))若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A1,1 B.C. D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)11<0，不具備在(，)上單調(diào)遞增，排除A，B，D.故選C.方法二(綜合法)函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調(diào)遞增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)上恒成立當(dāng)cos x0時(shí)，恒有0，得aR；當(dāng)0<cos x1時(shí)，得acos x，令tcos x，g(t)t在(0,1上為增函數(shù)，得ag(1)；當(dāng)1cos x<0時(shí)，得acos x，令tcos x，g(t)t在1,0)上為增函數(shù)，得ag(1).綜上，可得a的取值范圍是，故選C.8(2016山東)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x31；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)f(x)；當(dāng)x>時(shí)，ff，則f(6)等于()A2 B1 C0 D2答案D解析當(dāng)x>時(shí)，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x31且當(dāng)1x1時(shí)，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)2，故選D.9已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18答案C解析函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，又f(x)3x22axb，f(1)10，且f(1)0，即解得或而當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x1處無(wú)極值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.10已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x2 018)2f(x2 018)4f(2)<0的解集為()A(，2 016) B(2 016，2 012)C(，2 018) D(2 016,0)答案A解析由題意觀察聯(lián)想可設(shè)g(x)x2f(x)，g(x)2xf(x)x2f(x)，結(jié)合條件x>0,2f(x)xf(x)>x2，得g(x)2xf(x)x2f(x)>0，g(x)x2f(x)在(0，)上為增函數(shù)又f(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在(，0)上為增函數(shù)由(x2 018)2f(x2 018)4f(2)<0，可得(x2 018)2f(x2 018)<4f(2)，即g(x2 018)<g(2)，所以x2 018<2，故x<2 016，故選A.11(xx3)dx_.答案解析因?yàn)?xx3)dxdx(xx3)dx，(xx3)dx，dx等于以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，即為，所以(xx3)dx.12某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時(shí)間x(小時(shí))變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式f(x)酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不超過(guò)0.02毫克/毫升此駕駛員至少要過(guò)_小時(shí)后才能開車(不足1小時(shí)部分算1小時(shí)，結(jié)果精確到1小時(shí))答案4解析因?yàn)?x1，所以2x21，所以525x251，而52>0.02，所以0x1不合題意，又由x>1，得x，得x，所以x4，故至少要過(guò)4小時(shí)后才能開車13偶函數(shù)f(x)滿足f(1x)f(1x)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)，若直線kxyk0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案解析由f(1x)f(1x)可知，函數(shù)關(guān)于x1對(duì)稱，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1x)f(1x)f(x1)，即f(x2)f(x)，所以函數(shù)的周期是2，由yf(x)，得(x1)2y21(y0，x0,1)，作出函數(shù)yf(x)和直線yk(x1)的圖象，要使直線kxyk0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則由圖象可知，<k<.14函數(shù)f(x)x33a2xa(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0，得xa，當(dāng)a<x<a時(shí)，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a或x<a時(shí)，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增f(a)a33a3a>0且f(a)a33a3a<0，解得a>.a的取值范圍是.15已知函數(shù)f(x).(1)若f(x)在區(qū)間(，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a0，x0<1，設(shè)直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線，求證：f(x)g(x)(1)解易得f(x)，由已知f(x)0對(duì)x(，2)恒成立，故x1a對(duì)x(，2)恒成立，1a2，a1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，1(2)證明若a0，則f(x).函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，則h(x)f(x)f(x0).設(shè)(x)(1x)(1x0)ex，xR，則(x)(1x0)ex，x0<1，(x)<0，(x)在R上單調(diào)遞減，又(x0)0，當(dāng)x<x0時(shí)，(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，(x)<0，當(dāng)x<x0時(shí)，h(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)<0，h(x)在區(qū)間(，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，)上為減函數(shù)，當(dāng)xR時(shí)，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)16已知函數(shù)f(x)，其中a>0，且函數(shù)f(x)的最大值是(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)g(x)ln f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)若對(duì)任意的x(0,2)，都有f(x)<成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得f(x)，因?yàn)閍>0，所以當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減， 則f(x)maxf(1)，所以a1.(2)由題意知，函數(shù)g(x)ln f(x)bln xxb(x>0)，所以g(x)1，易得函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(1)1b，依題意知，1b>0，則b<1，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(，1)(3)由題意知，f(x)<對(duì)任意x(0,2)都成立，所以k2xx2>0，即k>x22x對(duì)任意x(0,2)都成立，從而k0.由不等式整理可得k<x22x，設(shè)h(x)x22x，令h(x)2(x1)(x1)0，得x1，當(dāng)x(1,2)時(shí)，h(x)>0，函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，同理，函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，h(x)minh(1)e1.依題意得k<h(x)minh(1)e1，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0，e1)