第1講不等式的解法與三個(gè)“二次”的關(guān)系考情考向分析不等式是數(shù)學(xué)解題的重要工具，一元二次不等式是江蘇考試說明中的C級內(nèi)容，高考會重點(diǎn)考查主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立問題，其次考查不等式與其他知識的綜合運(yùn)用熱點(diǎn)一不等式解法例1(1)(2018江蘇興化一中模擬)已知定義在區(qū)間2,2上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當(dāng)2x0時(shí)，f(x)x2x，則不等式f(x)x的解集為_答案1,2解析當(dāng)2x0時(shí)，解f(x)x即x2xx得0x2，舍去；當(dāng)0x2時(shí)，f(x)f(x2)(x2)2(x2)，解f(x)x得x27x60, 所以1x6 ，因此1x2；當(dāng)x2時(shí)，f(2)f(0)f(2)2.綜上，不等式f(x)x的解集為.(2)解關(guān)于x的不等式(x2)(ax2)>0.解當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x2<0，所以x<2.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為a(x2)>0，當(dāng)a>1時(shí)，<2，原不等式化為(x2)>0，所以x<或x>2.當(dāng)a1時(shí)，2，原不等式化為(x2)2>0，所以xR且x2.當(dāng)0<a<1時(shí)，>2，原不等式化為(x2)>0，則x<2或x>.當(dāng)a<0時(shí)，<2，原不等式化為(x2)<0，所以<x<2.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|x<2；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|xR且x2；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為.思維升華不等式的解法主要是兩種：一種是直接利用其解法直接求解，含參數(shù)的一元二次不等式要討論二次項(xiàng)系數(shù)，判別式符號及兩根大小；另一種方法是利用函數(shù)圖象及性質(zhì)求解跟蹤演練1(1) 已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)x2的解集是_答案1,1解析依題意得或1x0或0x11x1.(2)在R上定義運(yùn)算：abab2ab，則不等式x(x2)0的解集是_答案解析由題意得，x(x2)x(x2)2xx2，解x(x2)2xx2<0，得2<x<1.熱點(diǎn)二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系例2已知函數(shù)f(x)x|xa|，aR，g(x)x21.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)記函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的最大值為F(a)，求F(a)的表達(dá)式解(1)由f(x)g(x)，當(dāng)a1時(shí)，即解不等式x|x1|x21.當(dāng)x1時(shí)，不等式為x2xx21，解得x1，所以x1；當(dāng)x<1時(shí)，不等式為xx2x21，解得x1，所以x<1.綜上，不等式f(x)g(x)的解集為.(2)因?yàn)閤0,2，當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ax，則f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以F(a)f(2)42a.當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)則f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間a,2上是增函數(shù)，所以F(a)max，而f，f(2)42a，令ff(2)，即42a，解得44a44，所以當(dāng)0a44時(shí)，F(xiàn)(a)42a；令ff(2)，即42a，解得a44或a44，所以當(dāng)44a<2時(shí)，F(xiàn)(a).當(dāng)a2時(shí)，f(x)x2ax，當(dāng)1<2，即2a<4時(shí)，f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則F(a)f；當(dāng)2，即a4時(shí)，f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則F(a)f(2)2a4.綜上，F(xiàn)(a)思維升華三個(gè)“二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)，一般可把a(bǔ)<0的情況轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)的情形跟蹤演練2(1)已知m，n為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2mxn0的解集為(1,3)，則mn的值為_答案5解析由題意得，1,3為方程x2mxn0的兩根，因此解得m2，n3，mn5.(2)(2018江蘇徐州三中月考)已知函數(shù)f(x)x2axb的值域?yàn)椋絷P(guān)于x的不等式f(x)>c1的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為_答案解析由題意得0，a24b0，f(x)2 ，由f(x)>c1有解得c<1，即2<1c，<x< ，因此m4，m1，25，c.熱點(diǎn)三 一元二次不等式的綜合問題例3(1)(2018鎮(zhèn)江期末)已知函數(shù)f(x)x2kx4對任意的x，不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為_答案4解析函數(shù)f(x)x2kx4對任意的x，不等式f(x)0恒成立，x2kx40，化簡可得kx.x24，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號，k4，實(shí)數(shù)k的最大值為4.(2)已知函數(shù)f(x)loga(x2a|x|3)(a>0，且a1)若對于1x1<x2的任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f(x1)f(x2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是_答案(0,1)2,4)解析易知已知函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)x時(shí)為減函數(shù)對于x，f(x)loga(x2ax3)(a>0，且a1)，設(shè)g(x)x2ax3，由題意得或則2a<4或0<a<1.思維升華(1)二次不等式在R上的恒成立問題，可以利用判別式的符號解決；在某個(gè)區(qū)間上的恒成立問題，可以利用最值或者參變量分離解決(2)含多個(gè)變量的恒成立問題首先要清楚選誰為主元，一般地，求誰的范圍，誰就是參數(shù)跟蹤演練3(1)若不等式x2kxk1>0對x(1,2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(，2解析不等式x2kxk1>0對x(1,2)恒成立可化為(1x)k>1x2對x(1,2)恒成立，即k<1x對x(1,2)恒成立，而函數(shù)y1x在(1,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以k112，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，2(2)若關(guān)于x的不等式ax2|x|2a<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案解析方法一設(shè)f(x)a|x|2|x|2a，原不等式ax2|x|2a<0的解集為，即f(x)0恒成立，令t|x|，即g(t)at2t2a在0，)上恒有g(shù)(t)0，則或解得a.方法二當(dāng)a0時(shí)，|x|<0，不等式解集為x|x0，不滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，根據(jù)題意得解得a.綜上所述，a的取值范圍是.1(2018江蘇)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開答案x|x2解析由log2x10，即log2xlog22，解得x2，滿足x0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x22已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有即解得<m<0.3已知aR，關(guān)于x的一元二次不等式2x217xa0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(30,33解析二次函數(shù)f(x)2x217xa的對稱軸為x，所以3個(gè)整數(shù)為3,4,5.所以解得30<a33.4已知函數(shù)f(x)，xR，則不等式f(x22x)<f(3x4)的解集是_答案(1,2)解析由題意得f(x)作出其圖象如圖所示f(x22x)<f(3x4)，解得1<x<2.5(2018江蘇省南京市金陵中學(xué)月考)已知0x2時(shí)，不等式1tx22x1恒成立，則t的取值范圍是_答案解析當(dāng)x0時(shí)， 1<0<1成立；當(dāng)0<x2時(shí)，有t在(0,2上恒成立，因?yàn)?1，所以max1，則t1；因?yàn)?1在上單調(diào)遞增，所以min21，則t；由可得， 1t.A組專題通關(guān)1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,2A，則a的取值范圍是_答案(1,3)解析2A，44aa21<0，即a24a3<0，解得1<a<3.2若a<0，則關(guān)于x的不等式x24ax5a2>0的解集是_答案(，5a)(a，)解析由x24ax5a2>0，得(x5a)(xa)>0，因?yàn)閍<0，所以x<5a或x>a.3函數(shù)y的定義域是R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_答案0,1解析由題意知，kx24kx(k3)0的解集為R.(1)當(dāng)k0時(shí)，不等式為30，成立(2)當(dāng)k0時(shí)，kx24kx(k3)0的解集為R等價(jià)于函數(shù)ykx24kx(k3)的圖象與x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)，且圖象上的其他點(diǎn)總在x軸上方，所以解得0<k1.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0,14如果關(guān)于x的不等式5x2a0的正整數(shù)解是1,2,3,4，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案80,125)解析由5x2a0，得x，而正整數(shù)解是1,2,3,4，則45，80a125.5若存在實(shí)數(shù)x1,2滿足2x2ax2>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，5)解析令f(x)2x2ax2，若存在實(shí)數(shù)x1,2滿足2x2ax2>0，則f(1)0或f(2)0，即4a0或102a0，即a4或a5，故a5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，5)6已知函數(shù) f(x)則不等式f(f(x)3的解集為_答案(，解析由題意得f(f(x)3f(x)0或f(x)3x0或x.7關(guān)于x的不等式x24ax4a2a0對任意xR都不成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析由題意，不等式x24ax4a2a0的解集為，則x24ax4a2a>0對任意xR恒成立，16a24<0，即a>0，>0.又a2a12>0恒成立，a1>0，即a>1.8已知對于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1,5解析令f(x)x22(a2)xa，則當(dāng)4(a2)24a<0，即1<a<4時(shí)，f(x)>0在R上恒成立，符合題意；當(dāng)0，即a1或a4時(shí)，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都在1,5上，則解得4a5.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,59已知集合Ax|(x6)(x2a5)0，集合Bx|(a22)x(2ax)0(1)若a5，求集合AB；(2)已知a>，且“xA”是“xB”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)由集合A中的不等式(x6)(x15)0，解得x6或x15，即A(，6)(15，)，集合B中的不等式為(27x)(10x)0，即(x27)(x10)0，解得10x27，即B(10,27)，AB(15,27)(2)當(dāng)a時(shí)，2a56，A(，6)(2a5，)，a222a，B(2a，a22)，xA”是“xB”的必要不充分條件，BA，a226，a2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.10解關(guān)于x的不等式：x2(3a1)x3a>0(aR)解x2(3a1)x3a0(aR)等價(jià)于(x3a)(x1)0(aR)(1)當(dāng)a時(shí)，3a1，x3a或x1；(2)當(dāng)a時(shí)，3a1，x1；(3)當(dāng)a時(shí)，3a1，x1或x3a；綜上，原不等式的解集(1)當(dāng)a時(shí)為(，3a)(1，)；(2)當(dāng)a時(shí)為(，1)(1，)；(3)當(dāng)a時(shí)為(，1)(3a，)B組能力提高11對任意x1,1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，則a的取值范圍為_答案(，1)解析函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的對稱軸為x.當(dāng)<1，即a>6時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)遞增，f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(1)1(a4)(1)42a>0，解得a<3，故有a；當(dāng)11，即2a6時(shí)，f(x)在1,1上的最小值為f，只要f2(a4)42a>0，即a2<0，故有a；當(dāng)>1，即a<2時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)遞減，只要f(1)1(a4)42a>0，即a<1，故有a<1.綜上，a的取值范圍是(，1)12已知函數(shù)f(x)loga(a>0且a1)在上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析設(shè)g(x)ax2x，x，需滿足g(x)ax2x>0，即a>，設(shè)h(x)，則h(x)，x，h(x)0，h(x)在上單調(diào)遞減，max，從而a>，可得函數(shù)g(x)ax2x的對稱軸為x<1，從而函數(shù)g(x)ax2x在上單調(diào)遞增，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，f(1)loga>0a>，當(dāng)<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，floga>0<a<，即<a<，故答案為.13已知函數(shù)f(x)|x|x4|，則不等式f(x22)f(x)的解集用區(qū)間表示為_答案(，2)(，)解析函數(shù)f(x)的圖象如圖，可知圖象關(guān)于直線x2對稱因?yàn)閤220且f(x22)f(x)，則必有或解得x(，2)(，)14設(shè)函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)(1)當(dāng)b1時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的最小值g(a)的表達(dá)式；(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，且0b2a1，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解(1)當(dāng)b1時(shí)，函數(shù)f(x)21，故其圖象的對稱軸為直線x.當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)減，g(a)f(1)a2；當(dāng)11，即2<a2時(shí)，g(a)f1；當(dāng)1，即a>2時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)增，g(a)f(1)a2.綜上，g(a)(2)設(shè)s，t為方程f(x)0的解，且1t1，則因?yàn)?b2a1，所以s(1t1)當(dāng)0t1時(shí)，st，設(shè)g(t)，則g(t)，當(dāng)t0,1時(shí)，g(t)0，設(shè)h(t)，則h(t)，當(dāng)t0，2)時(shí)，h(t)0，當(dāng)t(2,1時(shí)，h(t)0.所以0，94，所以b94.當(dāng)1t0時(shí)，st，因?yàn)楫?dāng)t1,0)時(shí)，g(t)0，h(t)0，所以20和30，所以3b0.故b的取值范圍是3,94