“1820”大題規(guī)范滿分練“1820”大題規(guī)范滿分練(一)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)sin x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若關(guān)于x的方程f(x)t在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)因?yàn)閒(x)sin 2x(1cos 2x)sin，所以f(x)的最小正周期為T(mén).(2)因?yàn)閤，所以2x.因?yàn)閥sin z在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又因?yàn)閒(0)0，f 1，f ，關(guān)于x的方程f(x)t在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于yf(x)與yt的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以要使得關(guān)于x的方程f(x)t在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，只需滿足t<1.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為.19(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC90，BC1AC.(1)證明：點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上；(2)若二面角C1ACB的大小為60，CC12，求BC1與平面AA1B1B所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)锽C1AC，ACAB，ABBC1B，所以AC平面ABC1.所以平面ABC平面ABC1.過(guò)點(diǎn)C1作C1HAB，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知C1H平面ABC.又C1H平面ABC，所以H，H重合，所以點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上(2)由(1)可知BAC1是二面角C1ACB的平面角，所以BAC160.法一：連接A1H，因?yàn)锳1B1A1C1，A1B1C1H，A1C1C1HC1，所以A1B1平面A1C1H，所以平面A1B1BA平面A1C1H.作C1GA1H，則C1GA1B1BA.連接BG，所以C1BG是BC1與平面AA1B1B所成角由(1)可知ACAC1，因?yàn)锳C2，CC12，所以AC12.在ABC1中，AB2，AC12，BAC160，C1HAB，所以BC12，C1H，在RtA1C1H中，A1C12，所以A1H，所以C1G.所以sinGBC1.所以BC1與平面AA1B1B所成角的正弦值為.法二：在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)H作HxAB，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以Hx，HB，HC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由(1)可知BAC1是二面角C1ACB的平面角，所以BAC160，因?yàn)锳CAC1，CC12，AC2，所以AC12.在ABC1中，AB2，AC12，BAC160，所以BC12，C1H，AHBH1.所以A(0，1,0)，B(0,1,0)，C1(0,0，)，C(2，1,0)，(0,2,0)， (2,1，)， (0，1，)設(shè)平面AA1B1B的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即令x，得平面AA1B1B的一個(gè)法向量n(，0,2)，所以|cos，n|，所以BC1與平面AA1B1B所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(x)ex，x.(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)；(2)求f(x)在x上的取值范圍解：(1)f(x)exex.(2)因?yàn)閤，所以ex0，0，所以f(x)ex0.即f(x)在x上單調(diào)遞減當(dāng)x時(shí)，f(x)ex0.又f 2，所以f(x)在x上的取值范圍是.“1820”大題規(guī)范滿分練(二)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)4cos xsin1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足f(B)0，a2，且D是BC的中點(diǎn)，P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，求CPPD的最小值解：(1)f(x)4cos x1sin 2xcos 2x22sin2，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由f(B)2sin20，得2B，所以B.作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C， 連接CD，CP，CB，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos 1207.所以CPPDCPPDCD，所以當(dāng)C，P，D共線時(shí)，CPPD取得最小值 .19(本小題滿分15分)如圖，四邊形ABCD為梯形，ABCD，C60，點(diǎn)E在線段CD上，滿足BECD，且CEABCD2，現(xiàn)將ADE沿AE翻折到AME位置，使得MC2.(1)證明：AEMB；(2)求直線MC與平面AME所成角的正弦值解：(1)證明：在梯形ABCD中，連接BD交AE于N，則BE2tan 602，BC4，BD4.BC2BD2CD2，BCBD.又BCAE，AEBD.從而AEBN，AEMN.將ADE沿AE翻折到AME位置，垂直關(guān)系不變，AE平面MNB.MB平面MNB，AEMB .(2)CE2，EM6，MC2，CE2EM2MC2，CEM90，即CEEM.又CEBE，EMBEE，CE平面MBE，CEMB.AEMB，CEAEE，MB平面ABCE.故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE，BA，BM所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,2,0)，C(2，2,0)，E(2，0,0)，M(0,0,2)，(0，2,2)， (2，2,0)， (2，2，2)設(shè)平面AME的法向量為m(x，y，z)，則即令y，得平面AME的一個(gè)法向量為m(，1)，cosm，故直線MC與平面AME所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實(shí)數(shù)，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數(shù)列(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解：(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)，又因?yàn)閝1，所以a3a22.由a3a1q，得q2，當(dāng)n2k1(nN*)時(shí)，ana2k12k12，當(dāng)n2k(nN*)時(shí)，ana2k2k2，所以an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)得bn，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn123n，Sn123n，兩式相減，得Sn12，整理得Sn4，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4.“1820”大題規(guī)范滿分練(三)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)sin2cos2x1(>0)(1)若1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，求函數(shù)f(x)在上的值域解：f(x)sin2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.(1)當(dāng)1時(shí)，f(x)sin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由題意知T，所以2，則f(x)sin.由x，得x，則f(x).故f(x)在上的值域?yàn)?19(本小題滿分15分)已知ABC中，ABAC，BC2，以BC為軸將ABC旋轉(zhuǎn)60到DBC，形成三棱錐DABC.(1)求證：BDAC；(2)求直線BC與平面ACD所成角的余弦值解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，ABAC，AEBC，由翻折知DEBC，二面角ABCD為AED，即AED60，且BC平面ADE，平面ADE平面ABC.DEAE，AED60，ADE為正三角形，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，DHAE.平面ADE平面ABCAE，DH平面ABC，DHAC.取CE的中點(diǎn)F，連接FH，可求得HE，F(xiàn)E，BE1，由HE2FEBE，可知FHBH，F(xiàn)HAC，BHAC.DHBHH，AC平面DHB，ACBD.(2)法一：取AD的中點(diǎn)M，連接MB，MC，過(guò)B點(diǎn)作BNMC，垂足為N，ABBD，ACCD，且M為AD的中點(diǎn)，BMAD，CMAD，BMCMM，AD平面BMC.BN平面BMC，BNAD.BNMC，ADMCM，BN平面ACD，直線BC與平面ACD所成角即BCM，由(1)可知ADE為正三角形，則AD，可求得BMCM，BN，CN，cosBCN.直線BC與平面ACD所成角的余弦值為.法二：(等體積法)由(1)可知ADE為等邊三角形，則DH.SABC2，SACD.設(shè)三棱錐BACD的高為h，VBADCVDABC，VDABCSABCDH，VBADCSADChhh，解得h，設(shè)直線BC與平面ACD所成角為，則sin ，cos ，直線BC與平面ACD所成角的余弦值為.20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)aln x(x>1)(1)若f(x)在區(qū)間(1，)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：f(x)<x3.解：(1)f(x)，要使f(x)在區(qū)間(1，)不單調(diào)，則f(x)0在(1，)上有解，即a在(1，)上有解，所以a的取值范圍是(0,1)(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，令g(x)ln xx3，則g(x)(x1).因?yàn)閤>1，所以1>0,1x2x<0，所以g(x)<0, 則g(x)在(1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(1)<0，故f(x)<x3.“1820”大題規(guī)范滿分練(四)18(本小題滿分14分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c,3(cacos B)bsin A.(1)求角A的大??；(2)若sin Bcos C，求角C的大小解：(1)由已知及正弦定理得，3(sin Csin Acos B)sin Bsin A，即3sin(AB)sin Acos Bsin Bsin A，化簡(jiǎn)得3cos Asin Bsin Bsin A.sin B0，tan A，A.(2)由(1)知BC，sincos Ccos2Csin Ccos C(1cos 2C)sin 2Ccos 2Csin 2C，sin.又<2C<，2C，C.19.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐ABCD中，ABD，BCD均為正三角形，且二面角ABDC為120.(1) 求證：ACBD；(2) 求二面角BADC的余弦值解：(1)證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OA，OC，則由ABD，BCD均為正三角形，可得OABD，OCBD, OAOCO，BD平面AOC.AC平面AOC，ACBD .(2)設(shè)ABD，BCD的邊長(zhǎng)均為2a，則OAOCa，由二面角ABDC為120，可知AOC120，AC3a.過(guò)點(diǎn)B作BEAD，垂足為E，則BEa.過(guò)點(diǎn)E作EHAD，垂足為E，EHACH.在ACD中，由余弦定理得，cosDAC.在RtAEH中，AEa，cosEAH，AHa，EHa，連接BH，則BEH就是所求的二面角BADC的平面角在等腰ABC中，由余弦定理得，cosBAC，解得BHa.又BEa，于是在BEH中，由余弦定理得，cosBEH.所以二面角BADC的余弦值為.20(本小題滿分15分)已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Sn2ann4.(1)證明Snn2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，由Sn2ann4，得a13.S1124.當(dāng)n2時(shí)，Sn2ann4可化為Sn2(SnSn1)n4，即Sn2Sn1n4，Snn22Sn1(n1)2Snn2是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知，Snn22n1，Sn2n1n2.于是TnS1S2Sn221223222n1n2(22232n1)(12n)2n2n2n24.數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn為2n24.“1820”大題規(guī)范滿分練(五)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)cos2xsin xcos x(>0)的最小正周期為.(1)求f的值；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間及取值范圍解：(1)f(x)sin 2x.cos 2xsin 2xcos.T，1，f(x)cos，f.(2)當(dāng)x時(shí)，2x.當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f(x)的減區(qū)間為，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)的增區(qū)間為，f(x).19(本小題滿分15分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱長(zhǎng)均為1，A1C1B1C.(1)求證：A1BAC；(2)若A1B1，求直線A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，BOAC.連接AB1交A1B于點(diǎn)M，連接OM，則B1COM.A1C1AC，A1C1B1C，ACOM.又OMBOO，AC平面A1BO.A1B平面A1BO，A1BAC.(2)A1C1AC，直線A1C1和平面ABB1A1所成的角等于直線AC和平面ABB1A1所成的角三棱柱ABCA1B1C1所有的棱長(zhǎng)均為1，A1BAB1，A1BAC，AB1ACA，A1B平面AB1C，平面AB1C平面ABB1A1.平面AB1C平面ABB1A1AB1，AC在平面ABB1A1的射影在直線AB1上，B1AC為直線AC和平面ABB1A1所成的角AB12AM2，A1C1B1C，A1C1AC，ACB1C，在RtACB1中，cosB1AC.直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值為.即直線A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值為.20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)(x>0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：f(x)>e.解：(1)f(x).令h(x)exx1，則h(x)ex1，當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0，所以函數(shù)h(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)minh(0)0，即exx1，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立由已知x>0，得ex>x1，<0，所以f(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(2)證明：f(x)>e等價(jià)于exxe1<0.令g(x)exxe1，x>0，則g(x)exexe，由(1)知e>1，所以g(x)<0.所以當(dāng)x>0時(shí)，有g(shù)(x)<g(0)0，即exxe1<0，故f(x)>e.“1820”大題規(guī)范滿分練(六)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)cos(2x)sin2x(0<)(1)若，求f(x)的值域；(2)若f(x)的最大值是，求的值解：(1)由題意得f(x)cossin2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1(2)因?yàn)閒(x)cos cos 2xsin sin 2xcos 2xsin sin 2x，又函數(shù)f(x)的最大值為，所以221，從而cos 0，又0<，故.19(本小題滿分15分)設(shè)平面ABCD平面ABEF，ABCD，ABEF，BAFABC90，BCCDAFEF1，AB2.(1)證明：CE平面ADF；(2)求直線DF與平面BDE所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)锳BCD，ABEF，所以CDEF.又因?yàn)镃DEF，所以四邊形CDFE是平行四邊形所以CEDF.因?yàn)镃E平面ADF，DF平面ADF，所以CE平面ADF.(2)取AB的中點(diǎn)G，連接CG交BD于點(diǎn)O，連接EO.因?yàn)镃EDF，所以DF與平面BDE所成角等于CE與平面BDE所成角因?yàn)锳BAF，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，所以AF平面ABCD.連接EG，DG，則四邊形AGEF為平行四邊形，所以EGAF，所以EG平面ABCD.因?yàn)锽D平面ABCD，所以EGBD.因?yàn)镃GBD，EGCGG，所以BD平面ECG.因?yàn)锽D平面BDE，所以平面BDE平面ECG.在平面CEO中，作CHEO交EO于點(diǎn)H.又因?yàn)槠矫鍮DE平面ECGEO，所以CH平面BDE.所以CEH是CE與平面BDE所成角過(guò)點(diǎn)G作GQEO，因?yàn)镺COG，所以CHGQ，又CEDF，所以sinCEH.故直線DF與平面BDE所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由題意有，即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn. 可得Tn23，故Tn6.“1820”大題規(guī)范滿分練(七)18(本小題滿分14分)(2019屆高三遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面積解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，又x0，函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.(2)由(1)知f(x)sin，f(A)sin1，ABC為銳角三角形，0<A<，<2A<，2A，即A.又bsin Casin A，bca24，SABCbcsin A.19(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，側(cè)面PCD為正三角形且二面角PCDA為60.(1)設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為m，求證：mBC；(2)設(shè)底邊AB與側(cè)面PBC所成的角為，求sin 的值解：(1)證明：因?yàn)锽CAD，BC側(cè)面PAD，AD側(cè)面PAD，所以BC側(cè)面PAD.又因?yàn)閭?cè)面PAD側(cè)面PBCm，所以mBC.(2)取CD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接PM，MN，則PMCD，MNCD.所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角從而PMN60.作POMN于O，則PO底面ABCD.因?yàn)镃M2，PM2，所以O(shè)M，OP3.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ON為x軸，OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(4，2,0)，B(4，2,0)，C(，2,0)，P(0，0,3)，(0,4,0)，(4，2，3)，(，2，3)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即取y3，得平面PBC的一個(gè)法向量為n(0,3,2)則sin |cosn，|.20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)f(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)證明：f(x)僅有唯一的極小值點(diǎn)解：(1)因?yàn)閒(x)，所以f(1)2.又因?yàn)閒(1)e2，所以切線方程為y(e2)2(x1)，即2xye40.(2)證明：令h(x)ex(x1)2，則h(x)exx，所以x(，0)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)>0.當(dāng)x(，0)時(shí)，易知h(x)<0，所以f(x)<0，f(x)在(，0)上沒(méi)有極值點(diǎn)當(dāng)x(0，)時(shí)，因?yàn)閔(1)2<0，h(2)e22>0，所以f(1)<0，f(2)>0，f(x)在(1,2)上有極小值點(diǎn)又因?yàn)閔(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)僅有唯一的極小值點(diǎn)“1820”大題規(guī)范滿分練(八)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值，并求出相應(yīng)的x值解：(1)由圖象可知A2.周期T，又T，2.f(x)2sin(2x)，f 2sin2，2k，kZ，即2k，kZ.又|<，f(x)2sin.(2)當(dāng)x時(shí)，2x，sin，f(x)2sin1,2當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)maxf 2.當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)minf(0)1.19(本小題滿分15分)如圖，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，點(diǎn)C在O上，且CAB30，D為AC的中點(diǎn)(1)證明：AC平面POD；(2)求直線OC與平面PAC所成角的正弦值解：(1)證明：因?yàn)镺AOC，D是AC的中點(diǎn)，所以ACOD.又因?yàn)镻O底面O，AC底面O，所以ACPO.因?yàn)镺DPOO，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，AC平面PAC，所以平面POD平面PAC，在平面POD中，過(guò)O作OHPD交PD于H，則OH平面PAC.連接CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，所以O(shè)CH是直線OC和平面PAC所成的角在RtPOD中，OH，在RtOHC中，sinOCH.所以直線OC與平面PAC所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為T(mén)n(nN*)，已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解：(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q0)由b11，b3b22，可得q2q20.因?yàn)閝0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16.聯(lián)立解得a11，d1，故ann，所以Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn，可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n4或n1(舍去)所以n的值為4.