課時(shí)作業(yè)(三十一)第31講數(shù)列求和時(shí)間 /45分鐘分值 /100分基礎(chǔ)熱身1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a4,a6是方程x2-18x+p=0的兩根,則S9=()A.9B.81C.5D.452.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a2-8a5=0,則S8S4=()A.12B.1716C.2D.173.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(3n-1),則a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-154.2018江西蓮塘一中、臨川二中聯(lián)考 已知f(x)=ex-12-e12-x+1,數(shù)列an滿足an=f(0)+f1n+f2n+fn-1n+f(1),則a2017=()A.2018B.2019C.2020D.20215.2018寧夏銀川一中模擬 已知an是等差數(shù)列,a1=1,公差d0,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=.能力提升6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問(wèn)題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:現(xiàn)有一根金杖,長(zhǎng)五尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下一尺,重4斤,在細(xì)的一端截下一尺,重2斤,問(wèn)依次每一尺各重多少斤?設(shè)該問(wèn)題中的金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,則金杖的重量為()A.6斤 B.10斤C.12斤D.15斤7.2019湖南師大附中月考 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an+1an<1,若a3+a5=10,a1a7=16,則S4=()A.60或152B.60C.152D.1208.2018陜西延安黃陵中學(xué)模擬 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1009,a1010是方程4x-32x+2=0的兩根”是“S2018=1009”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.2018昆明二模 若數(shù)列an滿足an+1+an=(-1)nn,則數(shù)列an的前20項(xiàng)的和為()A.-100B.100C.-110D.11010.2018貴州遵義航天中學(xué)月考 在遞減的等差數(shù)列an中,a1a3=a22-4,若a1=13,則數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()A.24143B.1143C.2413D.61311.2018河南六市二聯(lián) 已知數(shù)列bn滿足b1=1,b2=4,bn+2=1+sin2n2bn+cos2n2,則該數(shù)列的前11項(xiàng)和S11=.12.2018遼寧朝陽(yáng)三模 已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a1=0,若an+1=1+(-1)nan+(-2)n,則S100=.13.2018安徽八校4月聯(lián)考 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1,bn=log2(an22an),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則滿足Tn>1024的n的最小值為.14.(10分)設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和為55,且a2,a6+a7,a4-9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=1(an-6)(an-4),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<12.15.(10分)2018馬鞍山三模 已知數(shù)列an是遞減的等比數(shù)列,a2=4,且a2,2a3,a4+3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bn=1anlog216an,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.16.(15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2+n2(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an3an(nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.課時(shí)作業(yè)(三十一)1.B解析a4+a6=18,S9=92(a1+a9)=92(a4+a6)=81,故選B.2.B解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a2-8a5=0,a1q-8a1q4=0,解得q=12,則S8S4=a11-1281-12a11-1241-12=1+124=1716,故選B.3.A解析 因?yàn)閍n=(-1)n(3n-1),所以a1+a2+a10=-2+5-8+11-26+29=(-2+5)+(-8+11)+(-26+29)=35=15.4.A解析 由題意知f(x)+f(1-x)=ex-12-e12-x+1+e12-x-ex-12+1=2,因?yàn)閍n=f(0)+f1n+f2n+fn-1n+f(1),an=f(1)+fn-1n+f1n+f(0),兩式相加得2an=2(n+1),所以an=1+n,所以a2017=2018,故選A.5.64解析 因?yàn)閍1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a22=a1a5,即(1+d)2=1(1+4d),解得d=2,所以an=1+(n-1)2=2n-1,所以a8=28-1=15,則S8=(a1+a8)82=4(1+15)=64.6.D解析 設(shè)由細(xì)到粗每一尺的重量為ai(i=1,2,3,4,5)斤,由題意可知a1,a2,a3,a4,a5成等差數(shù)列,設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn,則a1=2,a5=4,所以S5=2+425=15,故選D.7.B解析 由等比數(shù)列an是遞減數(shù)列,且a3+a5=10,a3a5=16,得a3=8,a5=2,所以q=12,所以a1=32,則S4=a1(1-q4)1-q=60,故選B.8.A解析a1009,a1010是方程4x-32x+2=0的兩根,2a10092a1010=2,a1009+a1010=1,S2018=(a1+a2018)20182=1009(a1009+a1010)=1009,充分性成立;反之,不一定成立.故“a1009,a1010是方程4x-32x+2=0的兩根”是“S2018=1009”的充分不必要條件,故選A.9.A解析 由an+1+an=(-1)nn,得a2+a1=-1,a3+a4=-3,a5+a6=-5,a19+a20=-19,數(shù)列an的前20項(xiàng)的和為a1+a2+a19+a20=-1-3-19=-1+19210=-100,故選A.10.D解析 設(shè)數(shù)列an的公差為d,則d<0,所以由a1a3=a22-4,a1=13,得13(13+2d)=(13+d)2-4,解得d=-2(正值舍去),則an=13-2(n-1)=15-2n.因?yàn)?anan+1=1(15-2n)(13-2n)=1212n-15-12n-13,所以數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和Sn=12-113-12n-1312-113-126-13=613,故選D.11.93解析 根據(jù)題中所給的遞推公式,可以求得b3=2b1=2,b4=b2+1=5,從而可以得到該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,其前11項(xiàng)中有6項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng),5項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng),所以S11=1-261-2+54+5421=63+20+10=93.12.2-21013解析 由an+1=1+(-1)nan+(-2)n(nN*)得,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有an+1=(-2)n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有an+1=2an+2n,所以數(shù)列an的所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以-2為首項(xiàng),以4為公比的等比數(shù)列,所以S100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=2(a2+a4+a6+a98)+(22+24+26+298)+(a2+a4+a6+a100)=3(a2+a4+a6+a100)-2a100+(22+24+26+298)=3-2(1-450)1-4-2(-2)99+4(1-449)1-4=2-21013.13.9解析 由數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1,可知當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,當(dāng)n=1時(shí),a1=22=4,不滿足上式,所以b1=log2(a122a1)=8,bn=log2(an22an)=log2an2+log22an=2n+2n(n2), 所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n=8+(4+2n)(n-1)2+4(1-2n-1)1-2=(n+2)(n-1)+2n+1+4, 當(dāng)n=9時(shí),T9=118+210+4=1116>1024, 當(dāng)n=8時(shí),T8=107+29+4=586<1024, 所以滿足Tn>1024的n的最小值為9.14.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),則5a1+542d=55,(a1+5d+a1+6d)2=(a1+d)(a1+3d-9),解得a1=7,d=2或a1=11,d=0(舍去),故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=7+(n-1)2=2n+5.(2)證明:由an=2n+5,得bn=1(an-6)(an-4)=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Sn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1<12.15.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(0<q<1),由a2,2a3,a4+3成等差數(shù)列,得4a3=a2+a4+3,又a2=4,所以16q=4+4q2+3,即4q2-16q+7=0,解得q=12或q=72(舍去),故an=a2qn-2=412n-2=12n-4,即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=12n-4.(2)bn=1anlog216an=n2n-4,則Sn=118+214+312+n2n-4,2Sn=114+212+31+(n-1)2n-4+n2n-3,兩式相減,得-Sn=18+14+12+2n-4-n2n-3,所以Sn=-18+14+12+2n-4+n2n-3=-18+2n-31-2+n2n-3=(n-1)2n-3+18.16.解:(1)當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n;當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,滿足上式.綜上可知,an=n.(2)由(1)知bn=n3n,則Tn=131+232+333+n3n,3Tn=132+233+334+n3n+1,兩式相減,得-2Tn=3+32+33+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1,Tn=34+n2-143n+1.