第15講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè),右側(cè),則點(diǎn)a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè),右側(cè),則點(diǎn)b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則為函數(shù)的最小值,為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則為函數(shù)的最大值,為函數(shù)的最小值.3.實(shí)際應(yīng)用題理解題意、建立函數(shù)模型,使用導(dǎo)數(shù)方法求解函數(shù)模型,根據(jù)求解結(jié)果回答實(shí)際問(wèn)題.常用結(jié)論導(dǎo)數(shù)研究不等式的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值,各類不等式與函數(shù)最值關(guān)系如下:不等式類型與最值的關(guān)系xD,f(x)>MxD,f(x)min>MxD,f(x)<MxD,f(x)max<Mx0D,f(x0)>MxD,f(x)max>Mx0D,f(x0)<MxD,f(x)min<MxD,f(x)>g(x)xD,f(x)-g(x)min>0xD,f(x)<g(x)xD,f(x)-g(x)max<0x1D1,x2D2,f(x1)>g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)min>g(x2)max(續(xù)表)不等式類型與最值的關(guān)系x1D1,x2D2,f(x1)>g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)min>g(x2)minx1D1,x2D2,f(x1)>g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)max>g(x2)maxx1D1,x2D2,f(x1)>g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分別改為不小于、不大于,相應(yīng)的與最值關(guān)系對(duì)應(yīng)的不等號(hào)也改變)題組一常識(shí)題1.教材改編 函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值為.2.教材改編 函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間-3,3上的最大值是.3.教材改編 當(dāng)x>0時(shí),ln x,x,ex的大小關(guān)系是.4.教材改編 現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是.題組二常錯(cuò)題索引:利用極值求參數(shù)時(shí)忽略對(duì)所求參數(shù)的檢驗(yàn);混淆極值與極值點(diǎn)的概念;連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上不一定存在最值;不等式問(wèn)題中的易錯(cuò)點(diǎn).5.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則a+b=.6.函數(shù)g(x)=-x2的極值點(diǎn)是,函數(shù)f(x)=(x-1)3的極值點(diǎn)(填“存在”或“不存在”).7.函數(shù)g(x)=x2在1,2上的最小值和最大值分別是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式sin xa恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;存在實(shí)數(shù)x0,使不等式sin x0a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題微點(diǎn)1由圖像判斷函數(shù)極值例1 2018杭州二中模擬 如圖2-15-1所示,可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線為l:y=g(x).設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則下列說(shuō)法正確的是()圖2-15-1A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點(diǎn)B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點(diǎn)C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點(diǎn)D.h(x0)0,x=x0不是h(x)的極值點(diǎn)總結(jié)反思 可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零,是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).微點(diǎn)2已知函數(shù)求極值例2 若x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點(diǎn),則()A.f(x)有極大值-1B.f(x)有極小值-1C.f(x)有極大值0D.f(x)有極小值0總結(jié)反思 求函數(shù)極值的一般步驟:先求函數(shù)f(x)的定義域,再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù);求f(x)=0的根;判斷在f(x)=0的根的左、右兩側(cè)f(x)的符號(hào),確定極值點(diǎn);求出具體極值.微點(diǎn)3已知極值求參數(shù)例3 2018江西九校二聯(lián) 若函數(shù)f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,62B.1,62C.-62,62D.63,11,62總結(jié)反思 根據(jù)極值求參數(shù)的值(或取值范圍)就是根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零、極值點(diǎn)處的函數(shù)值即極值列出關(guān)于參數(shù)的方程組(或不等式組),通過(guò)解方程組(或不等式組)求得參數(shù)的值(或取值范圍).應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】2018河南中原名校質(zhì)檢 已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f(x)的大致圖像如圖2-15-2所示,則下列敘述正確的是()f(b)>f(a)>f(c);圖2-15-2函數(shù)f(x)在x=c處取得極小值,在x=e處取得極大值;函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值.A.B.C.D.2.【微點(diǎn)3】函數(shù)f(x)=x2-aln x(aR)不存在極值點(diǎn),則a的取值范圍是()A.(-,0)B.(0,+)C.0,+)D.(-,03.【微點(diǎn)2】2018安慶二模 已知函數(shù)f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)的極大值為()A.2e-1B.-1eC.1D.2ln 24.【微點(diǎn)3】2018菏澤模擬 已知函數(shù)f(x)=x3-ax+2的極大值為4,若函數(shù)g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的極小值不大于m-1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.-9,-154B.-9,-154C.-154,+D.(-,-9)探究點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題例4 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax2+1,在其定義域上g(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;(2)若a>0時(shí),f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 總結(jié)反思 (1)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在端點(diǎn)處或區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得,上述值中最大的即為最大值、最小的即為最小值.如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上(不論區(qū)間的類型)有唯一的極值點(diǎn),則該點(diǎn)也是最值點(diǎn).(2)注意把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.變式題 (1)已知a1-xx+ln x對(duì)任意x1e,e恒成立,則a的最小值為()A.1B.e-2C.1eD.0(2)2018唐山三模 已知a>0,f(x)=xexex+a,若f(x)的最小值為-1,則a=()A.1e2B.1eC.eD.e2探究點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題例5 2018南京四校聯(lián)考 如圖2-15-3所示,某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園,BC,CD,DA都建有圍墻,游客只能從線段AB處進(jìn)出該主題樂(lè)園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂(lè)園管理部門(mén)決定沿著AE,FB修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段EF修建該主題樂(lè)園大門(mén)并設(shè)置檢票口,其中E,F分別為AD,BC上的動(dòng)點(diǎn),EFAB,且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為200元/米,直線部分的平均修建費(fèi)用為400元/米.圖2-15-3(1)若EF=80米,則檢票等候區(qū)域(陰影部分)的面積為多少平方米?(2)試確定點(diǎn)E的位置,使得修建費(fèi)用最低. 總結(jié)反思 (1)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵:理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型.(2)注意:函數(shù)的定義域由實(shí)際問(wèn)題確定,最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實(shí)際問(wèn)題的答案.變式題 某產(chǎn)品每件成本9元,售價(jià)30元,每星期賣出432件.如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,若商品單價(jià)降低x(0x21)元,則一個(gè)星期增加的銷售量為kx2(k>0)件.已知商品單件降低2元時(shí),一個(gè)星期的銷售量增加24件.(商品銷售利潤(rùn)=商品銷售收入-商品銷售成本)(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)f(x)表示成x的函數(shù);(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.第15講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考試說(shuō)明 1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)f(x)<0f(x)>0(2)f(x)>0f(x)<02.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)對(duì)點(diǎn)演練1.-3解析 f(x)=3x2-6x,令f(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.易知當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)>0;當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)<0;當(dāng)x(2,+)時(shí),f(x)>0.故f(x)在x=2處取得極小值f(2)=8-12+1=-3.2.16解析 由f(x)=3x2-12=0,得x=2,易知x=-2為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),故函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上的最大值f(x)max=maxf(-2),f(3)=max16,-9=16.3.ln x<x<ex解析 構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln x-x,則f(x)=1x-1,可得x=1為函數(shù)f(x)在(0,+)上唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),故f(x)f(1)=-1<0,所以ln x<x.同理可得x<ex,故ln x<x<ex.4.227a3解析 容積V=(a-2x)2x,0<x<a2,則V=2(a-2x)(-2)x+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),由V=0得x=a6或x=a2(舍去),則x=a6為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí)Vmax=227a3.5.-7解析 f(x)=3x2+2ax+b,依題意得f(1)=10,f(1)=0,即a2+a+b=9,2a+b=-3,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,故f(x)在R上單調(diào)遞增,所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.當(dāng)a=4,b=-11時(shí),符合題意,所以a+b=-7.6.0不存在解析 結(jié)合函數(shù)圖像可知g(x)=-x2的極值點(diǎn)是x=0.因?yàn)閒(x)=3(x-1)20,所以f(x)=0無(wú)變號(hào)零點(diǎn),所以函數(shù)f(x)=(x-1)3不存在極值點(diǎn).7.1,4不存在解析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值的定義可得.8.1,+)-1,+)解析 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式sin xa恒成立(sin x)maxa,即a1.存在實(shí)數(shù)x0,使不等式sin x0a成立(sin x)mina,即a-1.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 先求h(x0)的值,并結(jié)合圖像判斷x=x0是否為h(x)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn).B解析 由題設(shè)有g(shù)(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0),所以h(x0)=f(x0)-f(x0)=0.結(jié)合圖像可知,當(dāng)x<x0時(shí),有h(x)<0,h(x)為減函數(shù),當(dāng)x>x0時(shí),有h(x)>0,h(x)為增函數(shù),所以x=x0是h(x)的極小值點(diǎn).故選B.例2思路點(diǎn)撥 先根據(jù)極值的定義求得a的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化規(guī)律確定極值.A解析 x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點(diǎn),f(1)=0,即a+11=0,a=-1,f(x)=-1+1x=-x+1x,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)>0,因此f(x)有極大值f(1)=-1,故選A.例3思路點(diǎn)撥 函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f(x)=0有兩個(gè)根,換元后利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系及判別式建立不等式(組)求解即可.B解析 f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,f(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有兩個(gè)極值點(diǎn),f(x)=0有兩個(gè)根.設(shè)t=ex>0,則關(guān)于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有兩個(gè)正根,可得a-12(a+1)>0,22(a+1)>0,4-8(a-1)(a+1)>0,解得1<a<62,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,62,故選B.應(yīng)用演練1.A解析 由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知,在(-,c)與(e,+)上,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-,c)與(e,+)上單調(diào)遞增;在(c,e)上,f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(c,e)上單調(diào)遞減.所以f(c)>f(a),錯(cuò)誤;函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值,錯(cuò)誤,正確.故選A.2.D解析 f(x)的定義域是(0,+),f(x)=2x-ax=2x2-ax.因?yàn)閒(x)在(0,+)上不存在極值點(diǎn),所以2x2=a無(wú)正實(shí)數(shù)根,因?yàn)?x2>0,所以a0,故選D.3.D解析 f(x)=2ef(e)x-1e,f(e)=2ef(e)e-1e,f(e)=1e,f(x)=2ln x-xe,f(x)=2x-1e.由f(x)=0,得x=2e,f(x)的極大值為f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故選D.4.B解析 f(x)=3x2-a.當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)無(wú)極值.當(dāng)a>0時(shí),易得f(x)在x=-a3處取得極大值,則有f-a3=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,則g(x)=3x2+(m-3). 當(dāng)m-30時(shí),g(x)0,g(x)在(-3,2)上不存在極小值.當(dāng)m-3<0時(shí),易知g(x)在x=3-m3處取得極小值,依題意有-3<3-m3<2,g3-m3m-1,解得-9<m-154.例4思路點(diǎn)撥 (1)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解;(2)對(duì)a分類討論來(lái)求解.解:(1)g(x)=ln x-(a+2)x+1,由題意得a+2lnx+1x恒成立.設(shè)h(x)=lnx+1x(x>0),則h(x)=1-lnx-1x2=-lnxx2,所以當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時(shí),h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,因此h(x)max=h(1)=1,所以a+21,可得a-1,所以實(shí)數(shù)a的最小值為-1.(2)f(x)=2ax-(a+2)+1x=(ax-1)(2x-1)x(x>0,a>0),由f(x)=0,得x=12或x=1a.當(dāng)a1時(shí),1a1,因?yàn)閤1,e,所以f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=-2,符合題意;當(dāng)1e<a<1時(shí),1<1a<e,因?yàn)閤1,e,所以當(dāng)x1,1a時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x1a,e時(shí),f(x)單調(diào)遞增,f(x)min=f1a<f(1)=-2,不合題意,舍去;當(dāng)0<a1e時(shí),1ae,因?yàn)閤1,e,所以f(x)單調(diào)遞減,f(x)min=f(e)<f(1)=-2,不合題意,舍去.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,+).變式題(1)B(2)A解析 (1)令f(x)=1-xx+ln x,則f(x)=-1x2+1x,可得函數(shù)f(x)在1e,1上單調(diào)遞減,在1,e上單調(diào)遞增,又f(e)=1e<f1e=e-2,所以函數(shù)f(x)的最大值為e-2,故ae-2,故選B.(2)由f(x)=xexex+a,得f(x)=(ex+xex)(ex+a)-xexex(ex+a)2=ex(ex+ax+a)(ex+a)2.令g(x)=ex+ax+a,則g(x)=ex+a>0,則g(x)在(-,+)上為增函數(shù),又g(-1)=1e>0,x-時(shí),g(x)-,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,即ex0+ax0+a=0,所以f(x0)=0,所以函數(shù)f(x)在(-,x0)上為減函數(shù),在(x0,+)上為增函數(shù),則f(x)的最小值為f(x0)=x0ex0ex0+a=-1,即x0ex0=-ex0-a. 聯(lián)立,可得x0=-2.把x0=-2代入,可得a=1e2,故選A.例5思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M,N兩點(diǎn),連接O1E,O2F,O1O2,則陰影部分的面積為矩形AO1O2B的面積減去三部分的面積,這三部分分別為梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)設(shè)AO1E=,0,2,將修建費(fèi)用表示為的函數(shù),即可利用導(dǎo)數(shù)求最小值.解:(1)如圖所示,設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M,N兩點(diǎn),連接O1E,O2F,O1O2,則ME=20米,O1M=203米.梯形O1O2FE的面積為12(120+80)203=20003(平方米),矩形AO1O2B的面積為12040=4800(平方米),易得AO1E=6,則扇形O1AE和扇形O2FB的面積均為1261600=4003(平方米),故陰影部分的面積為4800-20003-8003平方米.(2)設(shè)AO1E=,0,2,則AE與BF的長(zhǎng)都是40,EF=120-240sin =120-80sin ,所以修建費(fèi)用f()=20080+400(120-80sin )=16 000(+3-2sin ),所以f()=16 000(1-2cos ).令f()=0,得=3,當(dāng)變化時(shí),f(),f()的變化情況如下表:0,333,2f()-0+f()極小值由上表可得,當(dāng)=3,即AO1E=3時(shí),f()有極小值,也為最小值.故當(dāng)AO1E為3時(shí),修建費(fèi)用最低.變式題解:(1)若商品單價(jià)降低x元,則一個(gè)星期增加的銷售量為kx2件,由已知條件得k22=24,解得k=6,則f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x0,21.(2)由(1)知f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).令f(x)=0,解得x=2或x=12. 當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)-0+0-f(x)9072極小值極大值0當(dāng)x=12時(shí),f(x)取得極大值;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值.f(0)=9072,f(12)=11 664,當(dāng)x=12時(shí),f(x)max=11 664,故定價(jià)為30-12=18(元)能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.【備選理由】 例1主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值的個(gè)數(shù);例2是已知極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍,并考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力,屬于中檔題;例3的兩問(wèn)都是利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題,而對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題要善于轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題;例4為利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題.例1配合例2使用 2018丹東二模 設(shè)f(x)=12x2-x+cos(1-x),則函數(shù)f(x)()A.有且僅有一個(gè)極小值B.有且僅有一個(gè)極大值C.有無(wú)數(shù)個(gè)極值D.沒(méi)有極值解析 A由f(x)=12x2-x+cos(1-x),得f(x)=x-1+sin(1-x).設(shè)g(x)=x-1+sin(1-x),則g(x)=1-cos(1-x)0,即g(x)為增函數(shù),又g(1)=0,所以當(dāng)x(-,1)時(shí),g(x)<0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.又f(1)=0,所以函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)極小值f(1).故選A.例2配合例3使用 若函數(shù)f(x)=ax2+xln x有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案 -12<a<0解析 f(x)=xln x+ax2(x>0),f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+xln x有兩個(gè)極值點(diǎn),所以g(x)=0在區(qū)間(0,+)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.g(x)=1x+2a=1+2axx,當(dāng)a0時(shí),g(x)>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,因此g(x)=0在區(qū)間(0,+)上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,應(yīng)舍去.當(dāng)a<0時(shí),由g(x)>0,得0<x<-12a,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;由g(x)<0,得x>-12a,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x=-12a時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值.要使g(x)=0在區(qū)間(0,+)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則g-12a=ln-12a>0,可得-12<a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12<a<0.例3配合例4使用 2018三明5月質(zhì)檢 已知函數(shù)f(x)=(x-4)ex-2+mx(mR).(1)當(dāng)x>2時(shí),f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)a0,1)時(shí),函數(shù)g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)有最小值,設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.解:(1)因?yàn)閒(x)=(x-4)ex-2+mx0對(duì)任意x(2,+)恒成立,所以x-4xex-2-m對(duì)任意x(2,+)恒成立.設(shè)(x)=x-4xex-2=1-4xex-2,則(x)=1-4x+4x2ex-2=(x-2)2x2ex-20,所以(x)在(2,+)上單調(diào)遞增,所以(x)>(2)=-1,則由題意得-m-1,即m1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為1,+).(2)對(duì)g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)求導(dǎo),得g(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x>2).記F(x)=x-4xex-2+a(x>2),由(1)知F(x)在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a0,所以存在唯一正實(shí)數(shù)x0(2,4,使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0.所以當(dāng)x(2,x0)時(shí),F(x)<0,g(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,x0)上單調(diào)遞減;當(dāng)x(x0,+)時(shí),F(x)>0,g(x)>0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,+)上單調(diào)遞增.所以g(x)在(2,+)上有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2,由題設(shè)得h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.又因?yàn)?a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.令u(x)=1xex-2(2<x4),則u(x)=x-1x2ex-2>0,函數(shù)u(x)在區(qū)間(2,4上單調(diào)遞增,所以u(píng)(2)<u(x)u(4),即函數(shù)h(a)的值域?yàn)?2,e24.例4配合例5使用 現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?解:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13A1B12PO1=13622=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3). (2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,O1O=4h.連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是倉(cāng)庫(kù)的容積V=V柱+V錐=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,從而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).當(dāng)0<h<23時(shí),V>0,V是增函數(shù);當(dāng)23<h<6時(shí),V<0,V是減函數(shù).故當(dāng)h=23時(shí),V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23 m時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大.