課時規(guī)范練52古典概型基礎鞏固組1.(2017安徽馬鞍山一模,文6)從正五邊形的5個頂點中隨機選擇3個頂點,則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是()A.13B.25C.12D.352.同時拋擲兩個骰子,則向上的點數(shù)之差的絕對值為4的概率是()A.118B.112C.19D.163.從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為()A.15B.25C.825D.9254.一名同學先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點數(shù)記為x,第二次向上的點數(shù)記為y,在平面直角坐標系xOy中,以(x,y)為坐標的點落在直線2x+y=8上的概率為()A.16B.112C.536D.195.從集合2,3,4,5中隨機抽取一個數(shù)a,從集合1,3,5中隨機抽取一個數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=(1,-1)垂直的概率為()A.16B.13C.14D.126.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.7.將一顆質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b,設任意投擲兩次使直線l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率為p1,不平行的概率為p2,若點(p1,p2)在圓(x-m)2+y2=6581的內(nèi)部,則實數(shù)m的取值范圍是.8.(2017江西宜春中學3月模擬,文19)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球,求取出的球的編號之和不大于4的概率;(2)先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n<m+2的概率.9.(2017遼寧鞍山一模,文18)上周某校高三年級學生參加了數(shù)學測試,年級部組織任課教師對這次考試進行成績分析.現(xiàn)從中隨機選取了40名學生的成績作為樣本,已知這40名學生的成績?nèi)吭?0分至100分之間,現(xiàn)將成績按如下方式分成6組:第一組40,50);第二組50,60);第六組90,100,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這次月考數(shù)學成績的平均分和眾數(shù);(2)從成績大于等于80分的學生中隨機選2名,求至少有1名學生的成績在區(qū)間90,100內(nèi)的概率.導學號24190953綜合提升組10.設a1,2,3,4,b2,4,8,12,則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間1,2上有零點的概率為()A.12B.58C.1116D.3411.(2017湖北武昌1月調(diào)研,文14)已知某射擊運動員,每次擊中目標的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次,至少擊中3次的概率:先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,表示沒有擊中目標,2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標;因為射擊4次,所以以每4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計,該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為.12.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,得到的點數(shù)分別為a,b,則使得直線bx+ay=1與圓x2+y2=1相交且所得弦長不超過423的概率為.13.(2017湖南邵陽一模,文19)空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級),相對應空氣質(zhì)量的七個類別,指數(shù)越大,說明污染的情況越嚴重,對人體危害越大.指數(shù)級別類別戶外活動建議050優(yōu)可正常活動51100良101150輕微污染易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應減少體力消耗和戶外活動151200輕度污染201250中度污染心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運動耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應減少體力活動251300中度重污染301500重污染健康人運動耐受力降低,由明顯強烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應當留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應盡量減少戶外活動現(xiàn)統(tǒng)計邵陽市市區(qū)2017年10月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);(2)求這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值;(3)將頻率分布直方圖中的五組從左到右依次命名為第一組,第二組,第五組.從第一組和第五組中的所有天數(shù)中抽出兩天,記它們的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為x,y,求事件|x-y|150的概率.導學號24190954創(chuàng)新應用組14.已知M=1,2,3,4,若aM,bM,則函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)的概率是()A.916B.716C.416D.31615.(2017北京豐臺一模,文18)某校學生營養(yǎng)餐由A和B兩家配餐公司配送.學校為了解學生對這兩家配餐公司的滿意度,采用問卷的形式,隨機抽取了40名學生對兩家公司分別評分.根據(jù)收集的80份問卷的評分,得到如圖A公司滿意度評分的頻率分布直方圖和如表B公司滿意度評分的頻數(shù)分布表.滿意度評分分組頻數(shù)50,60)260,70)870,80)1480,90)1490,1002(1)根據(jù)A公司的頻率分布直方圖,估計該公司滿意度評分的中位數(shù);(2)從滿意度高于90分的問卷中隨機抽取兩份,求這兩份問卷都是給A公司評分的概率;(3)請從統(tǒng)計角度,對A,B兩家公司做出評價.答案：1.C從正五邊形的5個頂點中隨機選擇3個頂點,基本事件總數(shù)為n=10,它們作為頂點的三角形是銳角三角形的方法種數(shù)為5,故以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是P=510=12.故選C.2.C同時拋擲兩枚骰子,基本事件總數(shù)為36,記“向上的點數(shù)之差的絕對值為4”為事件A,則事件A包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4個,故P(A)=436=19.3.B從甲、乙等5名學生中選2人有10種方法,其中2人中包含甲的有4種方法,故所求的概率為410=25.4.B依題意,以(x,y)為坐標的點共有66=36個,其中落在直線2x+y=8上的點有(1,6),(2,4),(3,2),共3個,故所求事件的概率P=336=112.5.A由題意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12種情況.因為mn,即mn=0,所以a1+b(-1)=0,即a=b,滿足條件的有(3,3),(5,5),共2個,故所求的概率為16.6.56(方法一)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,共有36個基本事件.其中向上的點數(shù)之和小于10的基本事件共有30個,所以所求概率為3036=56.(方法二)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,共有36個基本事件.記A表示“向上的點數(shù)之和小于10”,則A表示“向上的點數(shù)之和不小于10”,A的基本事件共有6個,所以P(A)=636=16,P(A)=1-P(A)=56.7.0,29由題意可知直線l1的斜率k1=-1a,直線l2的斜率k2=-b6.l1l2,k1=k2.-1a=-b6.ab=6.能使l1l2的情況有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4種.又總的基本事件有36種,能使l1l2的概率為p1=436=19,不平行的概率為p2=89.由19-m2+892<6581,解得m的取值范圍是0,29.8.解 (1)從袋中隨機取兩個球,其一切可能的結果組成的基本事件有1,4和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3,共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1,3和2,1兩個.因此所求事件的概率P=26=13.(2)先從袋中隨機取一個球,記下編號為m,放回后,再從袋中隨機取一個球,記下編號為n,其一切可能的結果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.又滿足條件nm+2的事件為:(1,3),(1,4),(2,4),共3個,所以滿足條件nm+2的事件的概率為P1=316.故滿足條件n<m+2的事件的概率為1-P1=1-316=1316.9.解 (1)因為各組的頻率之和為1,所以成績在區(qū)間80,90)內(nèi)的頻率為1-(0.0052+0.015+0.020+0.045)10=0.1,所以平均分為0.0545+0.1555+0.4565+0.2075+0.1085+0.0595=68(分),眾數(shù)的估計值是65.(2)設A表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選2名,至少有1名學生的成績在區(qū)間90,100內(nèi)”,由題意可知成績在區(qū)間80,90)內(nèi)的學生有:400.1=4,記這4名學生分別為a,b,c,d,成績在區(qū)間90,100內(nèi)的學生有0.0051040=2(人),記這2名學生分別為e,f,則從這6人中任選2人的基本事件空間為:=(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c)(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種,事件“至少有1名學生的成績在區(qū)間90,100內(nèi)”的可能結果為:A=(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共9種,故所求事件的概率為P(A)=915=35.10.C因為f(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因為a1,2,3,4,所以f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為增函數(shù).若存在零點,則f(1)f(2)0,解得a+1b8+2a.因此,可使函數(shù)在區(qū)間1,2上有零點的有:a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8,共有3種情況;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12,共有3種情況;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12,共有3種情況;a=4,5b16,故b=8,b=12,共有2種情況.所以有零點共有3+3+3+2=11種情況.而構成函數(shù)共有44=16個,根據(jù)古典概型可得有零點的概率為1116.11.0.75由題意知模擬射擊4次的結果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù),在20組隨機數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有:572702939857034743738636964746986233261680453661959774244281,共15組隨機數(shù),故所求概率約為1520=0.75.12.19由題意可知拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子得到的點數(shù)(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共36種.因為直線bx+ay=1與圓x2+y2=1相交,且所得弦長不超過423,所以1>1a2+b213,即1<a2+b29.故滿足直線bx+ay=1與圓x2+y2=1相交,且所得弦長不超過423的(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4種,因此所求的概率為436=19.13.解 (1)依題意知,輕度污染即空氣質(zhì)量指數(shù)在151200之間,共有0.0035060=9(天).(2)由直方圖知這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為x=250.1+750.4+1250.3+1750.15+2250.05=107.5.(3)第一組和第五組的天數(shù)分別為600.1=6,600.05=3,則從9天中抽出2天的一切可能結果的基本事件有36種,由|x-y|150知兩天只能在同一組中,而兩天在同一組中的基本事件有18種,用M表示|x-y|150這一事件,則P(M)=1836=12.14.A記事件A為“函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)”.因為f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f(x)=3ax2+2bx+1.當函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時,f(x)0在R上恒成立.又a>0,所以=(2b)2-43a=4b2-12a0在R上恒成立,即ab23.當b=1時,有a13,故a可取1,2,3,4,共4個數(shù);當b=2時,有a43,故a可取2,3,4,共3個數(shù);當b=3時,有a3,故a可取3,4,共2個數(shù);當b=4時,有a163,故a無可取值.綜上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9種.又a,b1,2,3,4,所以所有的基本事件共有44=16種.故所求事件A的概率為P(A)=916.故選A.15.解 (1)設A公司調(diào)查的40份問卷的中位數(shù)為x,則有0.01510+0.02510+0.03(x-70)=0.5,解得x73.3,所以,估計該公司滿意度得分的中位數(shù)為73.3.(2)滿意度高于90的問卷共有6份,其中4份評價A公司,設為a1,a2,a3,a4,2份評價B公司,設為b1,b2.從這6份問卷中隨機取2份,所有可能的結果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共有15種.其中2份問卷都評價A公司的有以下6種:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4).設兩份問卷均是評價A公司為事件C,則有P(C)=615=25.(3)由所給兩個公司的調(diào)查滿意度得分知:A公司得分的中位數(shù)低于B公司得分的中位數(shù),A公司得分集中在70,80)這組,而B公司得分集中在70,80)和80,90)兩個組,A公司得分的平均數(shù)低于B公司得分的平均數(shù),A公司得分比較分散,而B公司得分相對集中,即A公司得分的方差高于B公司得分的方差.