測試42空間點、直線、平面間的位置關(guān)系高考概覽考綱研讀1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理3能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題一、基礎(chǔ)小題1若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的()A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件答案A解析“兩條直線為異面直線”“兩條直線無公共點”“兩直線無公共點”“兩直線異面或平行”故選A2下列命題正確的個數(shù)為()經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0 B1 C2 D3答案C解析經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩條平行線可以確定一個平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，正確；命題中沒有說清三個點是否共線，不正確3若直線上有兩個點在平面外，則()A直線上至少有一個點在平面內(nèi)B直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C直線上所有點都在平面外D直線上至多有一個點在平面內(nèi)答案D解析根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi)4如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A點A B點BC點C但不過點M D點C和點M答案D解析A，B，MAB，M又l，Ml，M根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點C也在與的交線上5若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A異面或平行 B異面或相交C異面 D相交、平行或異面答案D解析異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置如圖(可有三種情況)所示，故a，c可能相交、平行或異面6以下四個命題中：不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析正確，否則三點共線和第四點必共面；錯誤，如圖三棱錐，能符合題意但A，B，C，D，E不共面；錯誤，從的幾何體知；空間四邊形為反例可知，錯誤7已知異面直線a，b分別在平面，內(nèi)，且c，那么直線c一定()A與a，b都相交B只能與a，b中的一條相交C至少與a，b中的一條相交D與a，b都平行答案C解析如果c與a，b都平行，那么由平行線的傳遞性知a，b平行，與異面矛盾故選C8如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有_條答案5解析依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1故符合條件的棱有5條二、高考小題9(2018全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A B C D答案C解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以異面直線AE與CD所成的角為EAB，設(shè)正方體的棱長為2a，則由E為棱CC1的中點，可得CEa，所以BEa，則tanEAB故選C10(2015廣東高考)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我們知道正三角形的三個頂點滿足兩兩距離相等，于是可以排除C，D又注意到正四面體的四個頂點也滿足兩兩距離相等，于是排除A，故選B11(2016山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析因為直線a和直線b相交，所以直線a與直線b有一個公共點，而直線a，b分別在平面，內(nèi)，所以平面與必有公共點，從而平面與相交；反之，若平面與相交，則直線a與直線b可能相交、平行、異面故選A三、模擬小題12(2018武昌調(diào)研)已知直線l和平面，無論直線l與平面具有怎樣的位置關(guān)系，在平面內(nèi)總存在一條直線與直線l()A相交 B平行 C垂直 D異面答案C解析當(dāng)直線l與平面平行時，在平面內(nèi)至少有一條直線與直線l垂直，當(dāng)直線l平面時，在平面內(nèi)至少有一條直線與直線l垂直，當(dāng)直線l與平面相交時，在平面內(nèi)至少有一條直線與直線l垂直，所以無論直線l與平面具有怎樣的位置關(guān)系，在平面內(nèi)總存在一條直線與直線l垂直13(2018福州五校聯(lián)考)如圖，已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACBDF，DC1CD1E，則直線EF是平面ACD1與()A平面BDB1的交線B平面BDC1的交線C平面ACB1的交線D平面ACC1的交線答案B解析連接BC1因為EDC1，F(xiàn)BD，所以EF平面BDC1，故平面ACD1平面BDC1EF故選B14(2018湖北七市(州)聯(lián)考)設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直答案B解析對于A，在平面內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線m垂直，這些直線是互相平行的，A錯誤；對于B，因為直線m與平面相交但不垂直，所以過直線m必有并且也只有一個平面與平面垂直，B正確；對于C，類似于A，在平面外可能有無數(shù)條直線垂直于直線m并且平行于平面，C錯誤；對于D，與直線m平行且與平面垂直的平面有無數(shù)個，D錯誤故選B15(2018蘭州市高考實戰(zhàn)模擬)已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AD1，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A B C D答案A解析如圖，連接A1D，A1C1，由題易知B1CA1D，C1DA1是異面直線B1C與C1D所成的角，又AA1AB，AD1，A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故選A16(2018河北石家莊質(zhì)檢)下列正方體或四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四點不共面的一個圖是()答案D解析(利用“經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面”判斷)對選項A，易判斷PRSQ，故點P，Q，R，S共面；對選項B，易判斷QRSP，故點P，Q，R，S共面；對選項C，易判斷PQSR，故點P，Q，R，S共面；而選項D中的RS，PQ為異面直線，故選D17(2018武漢調(diào)研)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有_對答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面直線的有3對18(2018山西四校聯(lián)考)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且，則下列說法正確的是_(填寫所有正確說法的序號)EF與GH平行；EF與GH異面；EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；EF與GH的交點M一定在直線AC上答案解析連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以E，F(xiàn)，G，H共面因為EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以四邊形EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點為M因為點M在EF上，故點M在平面ACB上同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點，又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上一、高考大題1(2017全國卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD(1)證明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO因為ADCD，所以ACDO又由于ABC是正三角形，所以ACBO從而AC平面DOB，故ACBD(2)連接EO由(1)及題設(shè)知ADC90，所以DOAO在RtAOB中，BO2AO2AB2又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為112(2015四川高考)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線DF平面BEG解(1)點F，G，H的位置如圖所示(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH同理BG平面ACH又BEBGB，所以平面BEG平面ACH(3)證明：連接FH因為ABCDEFGH為正方體，所以DH平面EFGH因為EG平面EFGH，所以DHEG又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD又DF平面BFHD，所以DFEG同理DFBG又EGBGG，所以DF平面BEG二、模擬大題3(2018河南洛陽月考)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，F(xiàn)EA1B且EFA1BA1D1綊BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BD1C，F(xiàn)ED1C，EF與CD1可確定一個平面，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四邊形CD1FE是梯形，直線CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三線共點4(2018河南焦作一模)如圖所示，平面四邊形ADEF所在的平面與梯形ABCD所在的平面垂直，ADCD，ADED，AFDE，ABCD，CD2AB2AD2EDxAF(1)若四點F，B，C，E共面，ABa，求x的值；(2)求證：平面CBE平面EDB解(1)AFDE，ABDC，AFABA，DEDCD，平面ABF平面DCE四點F，B，C，E共面，F(xiàn)BCE，ABF與DCE相似ABa，EDa，CD2a，AF，由相似比得，即，所以x4(2)證明：不妨設(shè)AB1，則ADAB1，CD2，在RtBAD中，BD，取CD中點為M，則MD與AB平行且相等，連接BM，可得BMD為等腰直角三角形，因此BC，因為BD2BC2CD2，所以BCBD，又因為平面四邊形ADEF所在的平面與梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF平面ABCDAD，EDAD，所以ED平面ABCD，所以BCDE，又因為BDDED，所以BC平面EDB，因為BC平面CBE，所以平面CBE平面EDB5(2018沈陽質(zhì)檢)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA證明(1)因為ASAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點又因為E是SA的中點，所以EFAB因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC同理EG平面ABC又EFEGE，所以平面EFG平面ABC(2)因為平面SAB平面SBC，且交線為SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，因為BC平面SBC，所以AFBC又因為ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB因為SA平面SAB，所以BCSA6(2018河南鄭州模擬)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M為PC的中點(1)求證：PCAD；(2)在棱PB上是否存在一點Q，使得A，Q，M，D四點共面？若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由；(3)求點D到平面PAM的距離解(1)證明：取AD的中點O，連接OP，OC，AC，因為四邊形ABCD是ABC60的菱形，所以ADC60，ADCD，所以ACD是正三角形，所以O(shè)CAD，又PAD是正三角形，所以O(shè)PAD，又OCOPO，OC平面POC，OP平面POC，所以AD平面POC，又PC平面POC，所以PCAD(2)存在當(dāng)點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面證明如下：取棱PB的中點Q，連接QM，QA，因為M為PC的中點，所以QMBC，在菱形ABCD中，ADBC，所以QMAD，所以A，Q，M，D四點共面(3)點D到平面PAM的距離即為點D到平面PAC的距離，由(1)可知POAD，因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，即PO為三棱錐PACD的高，在RtPOC中，POOC，則PC，在PAC中，PAAC2，PC，所以邊PC上的高AM，所以SPACPCAM，設(shè)點D到平面PAC的距離為h，由VDPACVPACD，得SPAChSACDPO，即h22，解得h，所以點D到平面PAM的距離為