回扣7解析幾何1直線方程的五種形式(1)點斜式：yy1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(2)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(3)兩點式：(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)(4)截距式：1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同時為0)2直線的兩種位置關系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線垂直l1l2k1k21.提醒當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略3三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離|AB|.(2)點到直線的距離d(其中點P(x0，y0)，直線方程為AxByC0)(3)兩平行線間的距離d(其中兩平行線方程分別為l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應對應相等4圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)5直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法(2)圓與圓的位置關系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法6圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)|PF|PM|點F不在直線l上，PMl于M標準方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|a，|y|b|x|ax0頂點(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)對稱性關于x軸，y軸和原點對稱關于x軸對稱焦點(c,0)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e (0<e<1)e(e>1)e1準線x漸近線yx7.直線與圓錐曲線的位置關系判斷方法：通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷弦長公式：|AB|x1x2| |y1y2|.8解決范圍、最值問題的常用解法(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域9定點問題的思路(1)動直線l過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m,0)(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點10求解定值問題的兩大途徑(1)(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值11解決存在性問題的解題步驟第一步：先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結(jié)論.1不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯2易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視截距為0的情況，直接設為1；再如，過定點P(x0，y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設為yy0k(xx0)等3討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.4在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，要注意有可能這兩條直線重合；在立體幾何中提到的兩條直線，一般可理解為它們不重合5求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導致錯解6在圓的標準方程中，誤把r2當成r；在圓的一般方程中，忽視方程表示圓的條件7易誤認兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導致漏解8利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支9易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a，b，c三者之間的關系，導致計算錯誤10已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解 11.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式0的限制尤其是在應用根與系數(shù)的關系解決問題時，必須先有“判別式0”；在求交點、 弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應在“>0”下進行1直線2mx(m21)y0的傾斜角的取值范圍為()A0，) B.C. D.答案C解析由已知可得m0，直線的斜率k.當m0時，k0；當m>0時，k1，又因為m>0，所以0<k1.綜上可得直線的斜率0k1.設直線的傾斜角為，則0tan 1，因為0<，所以0.2直線axbyab0(a0)與圓x2y220的位置關系為()A相離 B相切C相交或相切 D相交答案C解析由已知可得，圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為，圓心到直線的距離為，其中(ab)22(a2b2)，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交或相切，故選C.3曲線x2(y1)21(x0)上的點到直線xy10的距離的最大值為a，最小值為b，則ab的值是()A. B2C.1 D.1答案C解析因為圓心(0,1)到直線xy10的距離為>1，所以半圓x2(y1)21(x0)上的點到直線xy10的距離的最大值為1，到直線xy10的距離的最小值為點(0,0)到直線xy10的距離，為，所以ab11.4直線3x4y50與圓x2y24相交于A，B兩點，則弦AB的長等于()A4 B3 C2 D.答案C解析由于圓x2y24的圓心為O(0,0)，半徑r2，而圓心O(0,0)到直線3x4y50的距離d1，|AB|222.5與圓O1：x2y24x4y70和圓O2：x2y24x10y130都相切的直線條數(shù)是()A4 B3 C2 D1答案B解析O1(2,2)，r11，O2(2,5)，r24，|O1O2|5r1r2，圓O1和圓O2外切，與圓O1和圓O2都相切的直線有3條故選B.6設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖，由題意可知F，設P點坐標為，顯然，當y0<0時，kOM<0；當y0>0時，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨設y0>0，則()，kOM，當且僅當y2p2時，等號成立，故選C.7已知拋物線y28x的準線與雙曲線1(a>0)相交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，ABF為直角三角形，則雙曲線的離心率為()A3 B2 C. D.答案A解析依題意知，拋物線的準線為x2，代入雙曲線方程得y，不妨設A.FAB是等腰直角三角形，p4，求得a，雙曲線的離心率為e3，故選A.8若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析由題意得F(1,0)，設點P(x0，y0)，則y3(2x02)x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因為2x02，所以當x02時，取得最大值，最大值為6，故選C.9已知函數(shù)yf(x)ax12(a>0且a1)的圖象恒過定點A，設拋物線E：y24x上任意一點M到準線l的距離為d，則d的最小值為()A5 B. C. D.答案C解析當x10，即x1時，y1，故A(1，1)，設拋物線的焦點為F(1,0)，根據(jù)拋物線的定義可知，當F、A、M三點共線時d的最小值為.10我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”已知F1，F(xiàn)2是一對相關曲線的焦點，P是它們在第一象限的交點，當F1PF230時，這一對相關曲線中橢圓的離心率是()A74 B2C.1 D42答案B解析由題意設橢圓方程為1，雙曲線方程為1，且cc1.由題意1，(*)由F1PF230及余弦定理，得橢圓中：4c24a2(2)|PF1|PF2|，雙曲線中：4c24a(2)|PF1|PF2|，可得b(74)b2，代入(*)式，得c4aa2(c2b)a2(84)c2a2(74)a4，即e4(84)e2(74)0，得e274，即e2，故選B.11已知直線l：mxy1，若直線l與直線xm(m1)y2垂直，則m的值為_；動直線l：mxy1被圓C：x22xy280截得的最短弦長為_答案0或22解析由兩直線垂直的充要條件得m1(1)m(m1)0，m0或m2；圓的半徑為3，動直線l過定點(0，1)，當圓心(1,0)到直線的距離最長，即d時，弦長最短，此時弦長為22.12已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|2，則|CD|_.答案4解析設AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y(x3)，BD的直線方程為y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.13已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1的焦點，PQ是過焦點F1的弦，且PQ的傾斜角為60，那么|PF2|QF2|PQ|的值為_答案16解析由雙曲線方程1知，2a8，由雙曲線的定義，得|PF2|PF1|2a8，|QF2|QF1|2a8，得|PF2|QF2|(|QF1|PF1|)16.|PF2|QF2|PQ|16.14在直線y2上任取一點Q，過Q作拋物線x24y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過定點_答案(0,2)解析設Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡得yx1xy1，同理，在點B處的切線方程為yx2xy2.又點Q(t，2)的坐標滿足這兩個方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程2xty，即直線AB的方程為y2tx，因此直線AB恒過定點(0,2)15已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標原點，求|MN|.解(1)由題設可知，直線l的方程為ykx1，因為l與圓C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.16(1k)24(1k2)712k232k12>0，所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812，解得k1，經(jīng)檢驗，滿足>0.所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.16已知圓F1：(x1)2y2r2與圓F2：(x1)2y2(4r)2(0<r<4)的公共點的軌跡為曲線E，且曲線E與y軸的正半軸相交于點M.若曲線E上相異的兩點A，B滿足直線MA，MB的斜率之積為.(1)求曲線E的方程；(2)證明直線AB恒過定點，并求定點的坐標；(3)求ABM的面積的最大值解(1)設圓F1，圓F2的公共點為Q，由已知得|F1F2|2，|QF1|r，|QF2|4r，故|QF1|QF2|4>|F1F2|，因此曲線E是長軸長2a4，焦距2c2的橢圓，且b2a2c23，所以曲線E的方程為1.(2)由曲線E的方程，得上頂點M(0，)，記A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，x10，x20，若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為xx1，故y1y2，且yy3，因此kMAkMB，與已知不符，因此直線AB的斜率存在，設直線AB：ykxm，代入橢圓E的方程1，得(34k2)x28kmx4(m23)0.(*)因為直線AB與曲線E有公共點A，B，所以方程(*)有兩個非零不等實根x1，x2，所以x1x2，x1x2，又kAM，kMB，由kAMkBM，得4(kx1m)(kx2m)x1x2，即(4k21)x1x24k(m)(x1x2)4(m)20，所以4(m23)(4k21)4k(m)(8km)4(m)2(34k2)0，化簡得m23m60，故m或m2，結(jié)合x1x20知，m2，即直線AB恒過定點N(0,2)(3)由>0且m2得k<或k>，又SABM|SANMSBNM|MN|x2x1| ，當且僅當4k2912，即k時，ABM的面積最大，最大值為.