專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問(wèn)題【自主熱身，歸納提煉】1、設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2a42，S2S41，則a10_【答案】. 8【解析】： 列方程組求出a1和d，則a10a19d.設(shè)公差為d，則解得所以a10a19d8.2、 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S1530，a71，則S9的值為_(kāi)【答案】： 9 解法1利用等差數(shù)列基本量；解法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系：在等差數(shù)列an中，若m，n，p，qN*且mnpq，則amanapaq；等差數(shù)列任兩項(xiàng)的關(guān)系：在等差數(shù)列an中，若m，nN*且其公差為d，則aman(mn)d.3、在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a66a4，則a3的值為_(kāi)【答案】： 【解析】：由a8a66a4得a2q6a2q46a2q2，則有q4q260，所以q23(舍負(fù))，又q>0，所以q，則a3a2q. 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算是高考?？碱}型，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵，值得注意的是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣“anamqnm(n>m)”的應(yīng)用4、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且，a4a2，則a3的值為_(kāi)【答案】：. 【解析】： 兩個(gè)已知等式均可由a3和公比q表示由已知，得解得5、記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若am10，S2m1110，則m的值為_(kāi)【答案】： 6【解析】：由S2m1(2m1)a1(m1)d(2m1)(2m1)am得，11010(2m1)，解得m6.6、已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若4a4，a3，6a5成等差數(shù)列，且a33a，則S3_【答案】：. 【解析】：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則q>0，且a1>0，由4a4，a3，6a5成等差數(shù)列，得2a34a46a5，即2a34a3q6a3q2，解得q.又由a33a，解得a1，所以S3a1a2a3. 7、知是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和若，則的值為 【答案】2或6【解析】由，當(dāng)左邊=右邊=顯然不成立，所以，則有，因?yàn)椋?即，所以或，所以.【易錯(cuò)警示】若用到等比數(shù)列的前項(xiàng)公式，要討論公比是否為1；方程兩邊，若公因數(shù)不為0，可以同時(shí)約去，若不確定是否為0，要移項(xiàng)因式分解，轉(zhuǎn)化成乘積為0的形式再求解，否則會(huì)漏解.8、九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為_(kāi)升【答案】：. 【解析】：設(shè)該等差數(shù)列為an，則有S43，a9a8a74，即a8，則有即解得a1.9、 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn216n15(n2，nN*)，若對(duì)任意nN*，總有SnSk，則k的值是_10、若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3a12，則a5的最小值為 【答案】：8 【解析】： 因?yàn)閍3a12，所以，即所以，設(shè)，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào).【問(wèn)題探究，變式訓(xùn)練】例1、已知公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若3，則的值為_(kāi)【答案】：. 【解析】：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，則由3得3，所以d4a1，所以.【變式1】、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= 【解析】 由，得，由S3，S6- S3，S9- S6成等差數(shù)列，故S6- S3 = 2S3，S9- S6 = 3S3 = S6，解得=【變式2】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= 【解析】 由，得，由S5，S10- S5，S15- S10，S20- S15成等差數(shù)列，故S10- S5 = 2 S5，S15- S10 = 4S5，S20- S15 = 8S5，所以，故【變式3】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則= 【解析】 由，得，則【關(guān)聯(lián)1】、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2an2，則_.【解析】： 4 求出a1及an1與an間的遞推關(guān)系由Sn2an2和Sn12an12，兩式相減得an12an0，即an12an.又a1S12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2、公比q2的等比數(shù)列，所以q24.【關(guān)聯(lián)2】、Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則_.【答案】： 解法1 由可得，當(dāng)n1時(shí)，所以a22a1. da2a1a1，所以.解法2 ，觀察發(fā)現(xiàn)可令Snn2n，則anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，所以.【關(guān)聯(lián)3】、 已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)的和分別是An和Bn，且，使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為 【解析】，所以，要使得為整數(shù)，則n+1為18的因數(shù)， n=1，2，5，8，17，所以，使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有5個(gè)例1、已知數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2a315，S416.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2) 設(shè)數(shù)列bn滿足b1a1，bn1bn.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】： (1) 設(shè)數(shù)列an的公差為d，則d0.由a2a315，S416，得解得或(舍去)所以an2n1.(4分)(2) 因?yàn)閎1a11，bn1bn， (6分)即b2b1，b3b2，bnbn1，n2，累加得bnb1，(9分)所以bnb11.又b11也符合上式，故bn，nN*.(11分)解后反思 對(duì)于研究與整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，一般地，可利用整數(shù)性或通過(guò)求出某個(gè)變量的限制范圍，利用整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行一一地驗(yàn)證【變式1】、設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足，S7 = 7（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得為數(shù)列an中的項(xiàng)【解析】（1）設(shè)公差為d，則，得，因?yàn)閐 0，所以，又由S7 = 7得a4 = 1，解得a1 = -5，d = 2，所以，（2），令，則， 因?yàn)閠是奇數(shù)，所以t可取的值為，當(dāng)t = 1，m = 1時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)t = -1時(shí)，m = 0（舍），所以，滿足條件的正整數(shù)m = 1【變式2】、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn，cn滿足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1) 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2) 若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切nN*，有bncn，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列思路分析 (2) 若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則an1d，d，所以bncnd.因此要先證bncn是常數(shù)【解析】： (1) 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，則.(2分)所以(n2)cnn2，得cn1.(4分)(2) 由(n1)bnan1，得n(n1)bnnan1Sn，從而(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1.兩式相減，得(n1)(n2)bn1n(n1)bn(n1)an2(n1)an1，即(n2)bn1nbnan2an1.(*)(6分)又(n2)cn(n1)bn，所以2(n2)cn2(n1)bn(n2)bn1nbn，整理，得cn(bnbn1)(9分)因?yàn)閎ncn對(duì)一切nN*恒成立，所以bncn(bnbn1)對(duì)一切nN*恒成立，得cn，且bnbn12.而bn，bn1，所以必有bnbn1.綜上所述，bncn對(duì)一切nN*恒成立(12分)此時(shí)，由(*)式，得an2an12對(duì)一切nN*恒成立(14分)對(duì)(n1)bnan1，取n1，得a2a12.綜上所述，an1an2對(duì)一切nN*恒成立所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列(16分)思想根源 若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則是公差為d的等差數(shù)列【關(guān)聯(lián)1】、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Sn1Sn3n1，其中常數(shù)>0.設(shè)bn (nN*)(1) 若3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若1且3，設(shè)cnan3n(nN*)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(3) 若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有bn3，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】： 因?yàn)镾n1Sn3n1，nN*，所以當(dāng)n2時(shí)，SnSn13n，從而an1an23n，n2，nN*又在Sn1Sn3n1中，令n1，可得a2a1231，滿足上式，所以an1an23n, nN* (2分)(1) 當(dāng)3時(shí)， an13an23n，nN*，從而，即bn1bn，又b11，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以bn.(4分)(2) 當(dāng)>0且3且1時(shí)，cnan3nan123n13n an13n1(33) (an13n1)cn1, (7分) 又c130，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，cnn1(8分)(3) 在(2)中，若1，則cn0也可使an有意義，所以當(dāng)3時(shí)，cnn1.從而由(1)和(2)可知 (9分)當(dāng)3時(shí)，bn，顯然不滿足條件，故3.(10分)當(dāng)3時(shí)，bnn1.若>3, >0，bn<bn1，nN*，bn1，)，不符合，舍去. (11分)若0<<1，>0，>0，bn>bn1，nN*，且bn>0.所以只需b113即可，顯然成立故0<<1符合條件； (12分)若1，bn1，滿足條件故1符合條件；(13分)若1<<3，<0，>0，從而bn<bn1，nN*，因?yàn)閎11>0.故bn，要使bn3恒成立，只需3即可所以1<. (15分)綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.(16分)【關(guān)聯(lián)2】、已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列a的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且3TnS2Sn，nN*.(1) 求a1的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3) 若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比數(shù)列，求k和t的值 第(2)問(wèn)，由于式子“3TnS2Sn”涉及數(shù)列an，a的前n項(xiàng)和，常用相鄰項(xiàng)作差法處理，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列an的遞推式，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列求解；第(3)問(wèn)，由題意，兩個(gè)未知量k和t，一個(gè)等式，屬于不定方程問(wèn)題，通常有以下思考方法：因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法，本題采用奇偶性分析法求解規(guī)范解答 (1) 由3T1S2S1，得3aa2a1，即aa10.因?yàn)閍10，所以a11.(2分)(2) 因?yàn)?TnS2Sn，所以3Tn1S2Sn1，得3aSS2an1，即3a(Sn1Sn)(Sn1Sn)2an1，即3a(Sn1Sn)an12an1，因?yàn)閍n10，所以3an1Sn1Sn2，(5分)所以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以當(dāng)n2時(shí)，2.(8分)又由3T2S2S2，得3(1a)(1a2)22(1a2)，即a2a20.因?yàn)閍20，所以a22，所以2，所以對(duì)nN*，都有2成立，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，nN*.(10分)(3) 由(2)可知Sn2n1.因?yàn)镾1，SkS1，StSk成等比數(shù)列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k，(12分)所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k21(*)由于SkS10，所以k1，即k2.當(dāng)k2時(shí)，2t8，得t3.(14分)當(dāng)k3時(shí)，由(*)，得(2k1)232k21為奇數(shù)，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此時(shí)k無(wú)正整數(shù)解綜上，k2，t3.(16分) 數(shù)列中不定方程的常見(jiàn)解題策略有因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計(jì)法、奇偶性分析法，這些策略有一個(gè)共同的特征，就是對(duì)等式兩邊適當(dāng)?shù)淖冃芜x擇等式一邊的特征進(jìn)行解題，如整除的性質(zhì)、范圍上界或下界、因式分解的形式、是否為有理數(shù)、奇偶性等【關(guān)聯(lián)3】、在數(shù)列an中，已知a12，an13an2n1.(1) 求證：數(shù)列ann為等比數(shù)列；(2) 記bnan(1)n，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若T3為數(shù)列Tn中的最小項(xiàng)，求的取值范圍思路分析 (1) 證明等比數(shù)列，一般從等比數(shù)列的定義出發(fā)，首先要說(shuō)明它的任意一項(xiàng)均不為0，且相鄰兩項(xiàng)的比值為非零的常數(shù)(2) 由第(1)問(wèn)求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，由此得到bn的通項(xiàng)公式，通過(guò)分組求和后得到它的前n項(xiàng)和注意到T3為數(shù)列Tn中的最小項(xiàng)，因此，將它轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式恒成立問(wèn)題，而要研究數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，研究數(shù)列的單調(diào)性是必然的手段，通過(guò)研究數(shù)列的單調(diào)性后來(lái)得到變量的取值范圍當(dāng)n2時(shí)，由T2T3，得9；(12分)當(dāng)n4時(shí)，n2n12(n4)(n3)0恒成立，所以對(duì)n4恒成立令f(n)，n4，則f(n1)f(n)0恒成立，故f(n)在n4時(shí)單調(diào)遞增，所以f(4).(15分)綜上，9.(16分)解后反思 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可而研究數(shù)列中的取值范圍問(wèn)題，一般都是通過(guò)研究數(shù)列的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行求解【關(guān)聯(lián)4】、已知等差數(shù)列an的公差d不為0，且ak1，ak2，akn，(k1k2kn)成等比數(shù)列，公比為q.(1) 若k11，k23，k38，求的值；(2) 當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列？(3) 若數(shù)列kn為等比數(shù)列，且對(duì)于任意nN*，不等式anakn2kn恒成立，求a1的取值范圍 思路分析 (1) 通過(guò)等比中項(xiàng)，得到a1和d的方程，從而求出的值；(2) 先由數(shù)列kn為等比數(shù)列，得出kk1k3，再結(jié)合ak1，ak2，ak3成等比數(shù)列，得方程a1(k11)da1(k31)da1(k21)d2，化簡(jiǎn)得1，再證明當(dāng)1時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列，從而確定的值為1；(3) 由(2)中結(jié)論得出knk1qn1(q1)，代入anakn2kn并分離變量得0，再證明無(wú)限小，從而確定有下界，得到0，從而確定a1的取值范圍是2，)【解析】： (1) 由已知可得a1，a3，a8成等比數(shù)列，所以(a12d)2a1(a17d), (2分)整理可得4d23a1d.因?yàn)閐0，所以.(4分)(2) 設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列，則kk1k3.又因?yàn)閍k1，ak2，ak3成等比數(shù)列，所以a1(k11)da1(k31)da1(k21)d2.整理，得a1(2k2k1k3)d(k1k3kk1k32k2)因?yàn)閗k1k3，所以a1(2k2k1k3)d(2k2k1k3)因?yàn)?k2k1k3，所以a1d，即1.(6分)當(dāng)1時(shí)，ana1(n1)dnd，所以aknknd.又因?yàn)閍knak1qn1k1dqn1，所以knk1qn1.所以q，數(shù)列kn為等比數(shù)列綜上，當(dāng)1時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列(8分)因?yàn)閘nxxx，則lnn12lnn1n1，解不等式n1n1lnqln，即(n1)2lnqn1ln0，可得n1，所以n12.設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)不妨取n01，則當(dāng)n1n0時(shí)，原式得證所以0，所以a12，即得a1的取值范圍是2，)(16分)解后反思 本題第(2)問(wèn)是根據(jù)必要條件來(lái)解題，由數(shù)列kn為等比數(shù)列，得出前三項(xiàng)成等比，求出1，但要注意要證明當(dāng)1時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列；第(3)問(wèn)，證明當(dāng)n時(shí)，0，這里用代數(shù)方法嚴(yán)格證明，要認(rèn)真地體會(huì)