專(zhuān)題突破練(1)函數(shù)的綜合問(wèn)題一、選擇題1函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2 C7 D0答案B解析解法一：由f(x)0得或解得x2或xe因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)解法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)故選B2已知A(2，5)，B(4，1)，若點(diǎn)P(x，y)在線段AB上，則的最大值為()A B1 C D答案C解析由題意，得線段AB：y1(x4)y2x9(2x4)，所以1，當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為故選C3若變量x，y滿足|x|ln 0，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是()答案B解析由|x|ln 0得y畫(huà)出圖象可知選B4(2018貴陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)log2(2x)1，則f(6)()A2 B4 C2 D4答案C解析因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)而在x0時(shí)，f(x)log2(2x)1，所以f(6)f(6)log2(26)1(log281)2故選C5(2018唐山模擬)已知偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，若f(2)0，則滿足xf(x)0的x的取值范圍是()A(，2)(0，2) B(2，0)(2，) C(，2)(2，) D(2，0)(0，2)答案A解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，0上單調(diào)遞增，又f(2)0，所以f(2)0，即在區(qū)間(，2)和(2，)上，f(x)0；在區(qū)間(2，2)上，f(x)0，所以xf(x)0等價(jià)于和即得x<2或0<x<2故選A6(2018廣東潮州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)，則使得f(x22x)>f(3x6)成立的x的取值范圍是()A(，2)(3，) B(2，3)C(，2) D(3，)答案A解析易得函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1為單調(diào)增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，依題意得x22x>3x6，解得x<2或x>3故選A7(2018佛山質(zhì)檢一)已知函數(shù)f(x)則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Af(sinx) Bf(cosx)Cxf(sinx) Dx2f(cosx)答案C解析易知f(x)為偶函數(shù)，即滿足xR，f(x)f(x)恒成立研究g(x)xf(sinx)，g(x)xfsin(x)xf(sinx)xf(sinx)g(x)，故g(x)xf(sinx)為奇函數(shù)故選C8(2019青島質(zhì)檢)已知ab1，則下列結(jié)論正確的是()Aaabb Baln bbln aCaln abln b Dabba答案C解析取ae，b，則B項(xiàng)明顯錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若abba成立，則ln abln ba，則bln aaln b，由B項(xiàng)錯(cuò)誤得D項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍b1，所以ln aln b0，由同向不等式相乘得aln abln b，進(jìn)一步得ln aaln bb，所以aabb，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確故選C9若x，yR，且滿足則xy()A4 B3 C3 D4答案B解析函數(shù)f(t)t32018t(tR)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，故若f(u)f(v)0，則必有uv0，本題中，ux4，vy1，x4y10xy3故選B10(2018長(zhǎng)沙統(tǒng)考)函數(shù)f(x)2x的圖象大致為()答案A解析f(x)2x2x1，其定義域?yàn)?，1)(1，)令u(x)2x，v(x)由于u(x)和v(x)都在(，1)和(1，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(，1)上和(1，)上單調(diào)遞增，排除C，D；又當(dāng)x趨向負(fù)無(wú)窮時(shí)，2x趨近于0，趨近于0，所以f(x)接近于1，所以選A11(2018大慶質(zhì)檢一)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)<0若afln ，bfln ，cf(e01)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ab<a<c Bb<c<a Cc<a<b Da<c<b答案C解析依題意，有f(x)在0，)上單調(diào)遞減，而且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則由其圖象知f(x)在(，0上單調(diào)遞減，從而奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減則由ln ln 1<ln1，0>ln >ln 1，e01>0，知ln <ln <e01，從而結(jié)合f(x)的單調(diào)性，有fln >fln >f(e01)，即c<a<b故選C12(2018長(zhǎng)沙統(tǒng)考)設(shè)平行于x軸的直線l分別與函數(shù)y2x和y2x1的圖象相交于點(diǎn)A，B，若函數(shù)y2x的圖象上存在點(diǎn)C，使得ABC為等邊三角形，則這樣的直線l()A不存在 B有且只有一條C至少有兩條 D有無(wú)數(shù)條答案B解析如圖，設(shè)直線l的方程為ya(a0)，則點(diǎn)A(log2a，a)，B(log2a1，a)因?yàn)橹本€AB平行于x軸，所以|AB|1取AB中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以CDAB，且|AD|，|CD|，所以點(diǎn)Clog2a，a因?yàn)辄c(diǎn)C在y2x的圖象上，所以a2log2a，解得a，所以直線l只有一條故選B二、填空題13若關(guān)于x的不等式x24x2a>0在區(qū)間1，4內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，2)解析不等式x24x2a>0在區(qū)間1，4內(nèi)有解等價(jià)于a<(x24x2)max，令g(x)x24x2，x1，4，g(x)g(4)2，a<214若存在b1，2，使得2b(ba)4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1，)解析由題可得2b(ab)4ab4ba4bb，即存在b1，2使得a4bb，因?yàn)閥4xx在R是單調(diào)遞減的，所以4bb在區(qū)間1，2上的范圍為1，1，則a1，故填1，)15已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)log3x(x>0)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，若g(a)g(b)3(其中a>0且b>0)，則的最小值為_(kāi)答案9解析依題意可知g(x)3x，g(a)g(b)3a3b3ab3即ab1，(ab)59當(dāng)且僅當(dāng)a，b取“”16如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在函數(shù)ylogx，yx，yx的圖象上，且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_答案，解析由2logx可得點(diǎn)A，2，由2x可得點(diǎn)B(4，2)，因?yàn)?，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，三、解答題17(2018湖北荊州摸底)已知定義在(0，)上的函數(shù)f(x)，滿足f(mn)f(m)f(n)(m，n>0)，且當(dāng)x>1時(shí)，有f(x)>0(1)求證：ff(m)f(n)；(2)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)；(3)比較f與的大小解(1)證明：f(m)fff(n)，ff(m)f(n)(2)證明：任取x1，x2(0，)，且x1<x2，則f(x2)f(x1)f0<x1<x2，>1，f>0，f(x2)>f(x1)，f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)ffffff1，f0，故f18(2018浙江寧波統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)log2(x1)，g(x)x|xa|(1)若g(x)為奇函數(shù)，求a的值并判斷g(x)的單調(diào)性(單調(diào)性不需證明)；(2)對(duì)任意x11，)，總存在唯一的x22，)，使得f(x1)g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)g(x)為奇函數(shù)，g(x)g(x)x(|xa|xa|)0恒成立a0此時(shí)g(x)x|x|，在R上單調(diào)遞增(2)x11，)，f(x)log2(x1)，f(x1)1，)，g(x)當(dāng)a2時(shí)，g(x2)在2，)上單調(diào)遞增，g(2)42a1，a，a2當(dāng)2<a<4時(shí)，g(x2)在2，a上單調(diào)遞減，在a，)上單調(diào)遞增g(2)42a<1，a<，2<a<當(dāng)a4時(shí)，g(x2)在2，上單調(diào)遞增，在，a上單調(diào)遞減，在a，)上單調(diào)遞增g2<1，2<a<2，不成立綜上可知a19(2018福建四校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率P與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間滿足關(guān)系：P(其中c為小于6的正常數(shù))(注：次品率次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P01表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？解(1)當(dāng)x>c時(shí)，P，Tx2x10；當(dāng)1xc時(shí)，P，Tx2x1綜上，日盈利額T(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為T(mén)(2)由(1)，當(dāng)x>c時(shí)，每天的盈利額為0，1xc，當(dāng)3c<6時(shí)，T152(6x)15123(當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)取等號(hào))，Tmax3，此時(shí)x3；當(dāng)1c<3時(shí)，由T知函數(shù)T在1，3上遞增，當(dāng)xc時(shí)，Tmax綜上，若3c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若1c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)20(2018天津模擬)統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)為yx3x8(0<x<120)(1)當(dāng)x64千米/小時(shí)時(shí)，行駛100千米耗油量多少升？(2)若油箱有225升油，則該型號(hào)汽車(chē)最多行駛多少千米？解(1)當(dāng)x64千米/小時(shí)時(shí)，要行駛100千米需要小時(shí)，要耗油6436481195(升)(2)設(shè)225升油能使該型號(hào)汽車(chē)行駛a千米，由題意得，x3x8225，所以a，設(shè)h(x)x2，則當(dāng)h(x)最小時(shí)，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，當(dāng)x(0，80)時(shí)，h(x)<0，當(dāng)x(80，120)時(shí)，h(x)>0，故當(dāng)x(0，80)時(shí)，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(80，120)時(shí)，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x80時(shí)，h(x)取得最小值，此時(shí)a取最大值為200所以若油箱有225升油，則該型號(hào)汽車(chē)最多行駛200千米