第1講直線與圓考情考向分析高考考查重點(diǎn)是求直線和圓的方程、直線間的平行和垂直關(guān)系、距離、直線與圓的位置關(guān)系，此類問題難度屬于中檔，偶爾出現(xiàn)解答題其中直線方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程是C級(jí)要求熱點(diǎn)一直線、圓的方程例1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且2，則直線l的方程為_答案xy10解析方法一易知l的斜率必存在，設(shè)l：yk(x1)由2，可設(shè)BM2t，MAt，如圖，過原點(diǎn)O作OHl于點(diǎn)H，則BH.設(shè)OHd，在RtOBH中，d22r25，在RtOMH中，d22OM21，解得d2.所以d2，解得k1或k1，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，2，由圖知k1，所以l：xy10.方法二設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)因?yàn)?，所以有即又代入可得解得x12，代入可得y11，又點(diǎn)A在第一象限，故A(2,1)，由點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)可得直線AB的方程為xy10.(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為_答案(x1)2y24解析由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a2，半徑為r，則解得圓M的方程為(x1)2y24.思維升華求具備一定條件的直線或圓的方程時(shí)，其關(guān)鍵是尋找確定直線或圓的兩個(gè)幾何要素，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用跟蹤演練1(1)過點(diǎn)P(4,0)的直線l與圓C：(x1)2y25相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn)，則直線l的方程為_答案x3y40解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則CDAB，設(shè)CDd，ADx，則PAAB2x，在RtACD中，由勾股定理得d2x2r25，在RtPDC中，由勾股定理得d29x2CP225，由解得d2.易知直線l的斜率一定存在，設(shè)為k，則l：yk(x4)，圓心C(1,0)到直線l的距離為d，解得k2，k，所以直線l的方程為y(x4)，即為x3y40.(2)若圓上一點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x2y0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線xy10相交的弦長(zhǎng)為2，則圓的方程為_答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x2y0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，說明圓心在直線x2y0上，即a2b0，且(2a)2(3b)2r2.而圓與直線xy10相交的弦長(zhǎng)為2，故r222，由，解得或所以所求圓的方程為(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.熱點(diǎn)二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例2(2018江蘇儀征中學(xué)檢測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2y24x0及點(diǎn)A， B.(1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MNAB，求直線l的方程；(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2PB212 ？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y24，所以圓心C，半徑為2.因?yàn)閘AB, A， B，所以直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為xym0, 則圓心C到直線l的距離為d.因?yàn)镸NAB2，而CM2d22，所以42, 解得m0或m4，故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P，則2y24，PA2PB2222212，即x2y22y30，即x224, 因?yàn)?lt;<22，所以圓2y24與圓x224相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.思維升華(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法：幾何法：利用d與r的關(guān)系；代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法，其步驟為：確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，r1r2，|r1r2|；比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論跟蹤演練2(1)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若AB2，則圓C的面積為_答案4解析圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，半徑r，C到直線yx2a的距離d.又由AB2，得22a22，解得a22，所以圓C的面積為(a22)4.(2)(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x1)2y22，點(diǎn)A(2,0)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2MO210，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO210，所以(x2)2y2x2y210, 即x2y22x30，因?yàn)?x1)2y22，所以y22(x1)2，所以x22(x1)22x30，化簡(jiǎn)得x.因?yàn)閥22(x1)2，所以y2，所以y.熱點(diǎn)三 直線、圓的綜合問題例3如圖所示，已知圓A的圓心在直線y2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線xy10對(duì)稱，又圓A與直線l1：x2y70相切，過點(diǎn)B(2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN2時(shí)，求直線l的方程；(3)()是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由解(1)由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線xy10對(duì)稱知圓心A在直線xy10上由得A(1,2)，設(shè)圓A的半徑為R，圓A與直線l1：x2y70相切，R2，圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0，連結(jié)AQ，則AQMN，MN2，AQ1.由AQ1，得k，直線l的方程為3x4y60，所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP，0，()22()2；當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P，則，又(1,2)，()210；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，由解得P，()2210，綜上所述，()為定值10.思維升華直線、圓的綜合問題包括和圓有關(guān)的定點(diǎn)定值問題、范圍問題及探究性問題解決的基本思路有兩種：代數(shù)法和幾何法，解題時(shí)要注意充分利用方程、向量及圖形的特征跟蹤演練3(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6,7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0)且b5.解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可設(shè)l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2.由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d2.即2，解得m5或m15.直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的取值范圍為22，221(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_答案3解析設(shè)A(a,2a)，則a0.又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x5)(xa)y(y2a)0.由題意知C.由解得或D(1,2)又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.2圓心在直線y4x上，且與直線xy10相切于點(diǎn)P(3，2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案(x1)2(y4)28解析方法一設(shè)圓心為(a，4a)，則有r，解得a1，r2，則圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二過點(diǎn)P(3，2)且垂直于直線xy10的直線方程為xy50，聯(lián)立方程組解得則圓心坐標(biāo)為(1，4)，半徑為r 2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.3(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知直線xyb0與圓x2y29交于不同的兩點(diǎn)A，B.若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且|，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_答案(3，3)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則2，故|，即22，再由直線與圓的弦長(zhǎng)公式可得，AB2(d為圓心到直線的距離)，又直線與圓相交，故d<r，得<3，所以3<b<3，根據(jù)22，24得，23，由點(diǎn)到直線的距離公式可得2，即3，所以b或b，綜上可得，b的取值范圍是(3，3)4已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線l：yx被圓M所截的弦長(zhǎng)為，且圓心M在直線l的下方(1)求圓M的方程；(2)設(shè)A(0，t)，B(0，t6)(5t2)，若圓M是ABC的內(nèi)切圓，求ABC的面積S的最大值和最小值解(1)設(shè)圓心M，由已知得M到l：8x6y30的距離為，又M在l的下方，8a3>0，8a35，a1.故圓M的方程為2y21.(2)由已知可設(shè)AC的斜率為k1，BC的斜率為k2，則直線AC的方程為yk1xt，直線BC的方程為yk2xt6.由方程組得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0.ABt6t6，S6，圓M與AC相切，1，k1，同理， k2，k1k2，S6，5t2，2t31，8t26t14，Smax6，Smin6，ABC的面積S的最大值為，最小值為.A組專題通關(guān)1直線過點(diǎn)(5,4)且與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為5，則此直線方程為_答案2x5y100解析設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則直線方程為1，a>0，b>0.依題意有解得故所求直線方程為2x5y100.2已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓O的方程是_答案(x5)2y25解析設(shè)圓心為(a,0)(a0)，則r，解得a5.所以圓O的方程是(x5)2y25.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長(zhǎng)為_答案解析圓心為點(diǎn)(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長(zhǎng)為22 .4已知點(diǎn)P(t,2t)(t0)是圓O：x2y21內(nèi)一點(diǎn)，直線tx2tym與圓O相切，則直線xym0與圓O的位置關(guān)系是_答案相交解析由點(diǎn)P(t,2t)(t0)是圓O：x2y21內(nèi)一點(diǎn)，得|t|<1.因?yàn)橹本€ tx2tym圓O相切，所以1，所以|m|<1.又圓O：x2y21的圓心O(0,0)到直線xym0的距離d<1r.所以位置關(guān)系為“相交”5過原點(diǎn)O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長(zhǎng)為_答案4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)25，可知圓心為C(3,4)，半徑為.如圖可知，CO5，OP2.設(shè)OC與PQ的交點(diǎn)為M，在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.6(2018無錫期末)過圓x2y216內(nèi)一點(diǎn)P(2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，則四邊形ACBD的面積為_答案19解析根據(jù)題意畫圖，連結(jié)OP，OA ，過O 作OEAB ，OFCD ，E 為AB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為CD 的中點(diǎn)，又ABCD ，ABCD ，四邊形EPFO 為正方形，由圓的方程得圓心O(0,0)，半徑r4 ，OP223213，OE2 AE2OA2OE216，AE，ABCD，S四邊形ACBDABCD19.7若O1：x2y25與O2：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_答案4解析由題意知O1(0,0)，O2(m,0)，且|m|3，又O1AAO2，m2()2(2)225，m5，AB24.8已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PMPN的最小值為_答案54解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求PC1PC2的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(2，3)，則(PC1PC2)minC1C25.所以(PMPN)min54.9已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_答案xy30解析由題意，設(shè)所求的直線方程為xym0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知，22(a1)2，解得a3或1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以a3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上，所以30m0，即m3，故所求的直線方程為xy30.10已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN.解(1)由題設(shè)可知，直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.x1,2，x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以MN2.B組能力提高11圓心M在曲線y218x上，圓M與y軸相切且與圓C：(x2)2(y3)21外切，則圓M的方程為_答案2(y3)2或(x2)2(y6)24解析設(shè)圓M：(xa)2(yb)2r2，b218a，r|a|，a，r，圓心C(2,3)，rc1，又圓M與圓C外切，則MCrrc，即r1，即 1，解得b3或b6.圓M的方程為2(y3)2或(x2)2(y6)24.12已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：ymx(34m)(mR)恒有公共點(diǎn)，且要求圓O的面積最小，則圓O的方程為_答案x2y225解析因?yàn)橹本€l：ymx(34m)過定點(diǎn)T(4,3)，由題意知，要使圓O的面積最小， 定點(diǎn)T(4,3)在圓上，所以圓O的方程為x2y225.13已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為_答案32解析如圖所示，設(shè)PAPBx(x0)，APO，則APB2，PO，sin .|cos 2x2(12sin2)，令y，則y，即x4(1y)x2y0.因?yàn)閤2是實(shí)數(shù)，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得y32或y32.又因?yàn)閤20，所以所以y.故()min32.14(2018江蘇省如皋中學(xué)月考)已知圓O：x2y24.(1)直線l1：xy20與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)度；(2)如圖，設(shè)M， P是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M1，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M2，如果直線PM1，PM2與y軸分別交于和，問mn是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由解(1)由于圓心到直線l1：xy20的距離d.圓的半徑r2，所以AB22.(2)由于M(x1，y1)，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M1，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M2，可得M1，M2，由M(x1，y1)，P(x2，y2)是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得xy4, xy4.直線PM1的方程為，令x0，求得ym.直線PM2的方程為，令x0，求得yn.mn 4.故mn為定值