附錄:數(shù)學(xué)高考“素養(yǎng)立意”的解讀與典例分析一、核心素養(yǎng)1.“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中,逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力.“核心素養(yǎng)”之“核心”應(yīng)當(dāng)是基礎(chǔ),是起著奠基作用的品格和能力,聚集的是思維素養(yǎng).核心素養(yǎng)強調(diào)的不是知識和技能,而是獲取知識的能力.2.核心素養(yǎng)的基本特點(1)核心素養(yǎng)是知識、能力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn).(2)核心素養(yǎng)可以通過接受教育、訓(xùn)練來形成和發(fā)展.(3)核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性.(4)核心素養(yǎng)兼具個人價值和社會價值.(5)核心素養(yǎng)的作用發(fā)揮具有整合性.二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中,逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨立性,又相互交融,形成一個有機(jī)整體.三、如何認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、反思、積累、升華、孕育出來的,面對復(fù)雜的、不確定的現(xiàn)實情境和問題時,能夠綜合運用特定的數(shù)學(xué)觀念、知識、技能、思維模式、探究技能等,用積極的態(tài)度、科學(xué)的精神去提出問題、分析問題、解決問題、交流結(jié)果的過程中表現(xiàn)出來的綜合品質(zhì).四、在教學(xué)中培育學(xué)生核心素養(yǎng)的措施1.樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識.2.教師在教學(xué)實踐中要結(jié)合情境不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式,以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力.3.以學(xué)生發(fā)展為本,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、思維品質(zhì)的重要作用.4.幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能,體會數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊含的基本思想和文化價值,積累學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決實際問題的基本經(jīng)驗,提升數(shù)學(xué)基本能力,特別是抽象能力、推理能力、建模能力、運算能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析能力.5.堅持并加強問題導(dǎo)向,重視創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,特別是實際情境,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力.6.把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上,要加強“學(xué)法”指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;充分運用信息技術(shù)手段,積極探索有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式.五、數(shù)學(xué)學(xué)科的各項核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中,積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系,能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì),能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣,能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題.2.邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個問題的思維過程.主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹.在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題;能掌握推理的基本形式,表述論證的過程;能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,建構(gòu)知識框架;形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),增強數(shù)學(xué)交流能力.3.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括:在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗證結(jié)果并改進(jìn)模型,最終解決實際問題.在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中,積累用數(shù)學(xué)解決實際問題的經(jīng)驗.學(xué)生能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題;能夠針對問題建立數(shù)學(xué)模型;能夠運用數(shù)學(xué)知識求解模型,并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力,增強創(chuàng)新意識.4.直觀想象直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括:借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.5.數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算方向,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等.在數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;能有效借助運算方法解決實際問題;能夠通過運算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣;形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.6.數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù),運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷,形成知識的過程.主要包括:收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,構(gòu)建模型對信息進(jìn)行分析、推斷,獲得結(jié)論.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力,增強基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的意識,養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣,積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗.六、“素養(yǎng)立意”的典例剖析【例1】已知圓C:x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線3x-ay-11=0對稱,則圓C中以a4,-a4為中點的弦長為()A.1B.2C.3D.4答案D解析圓C:x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線3x-ay-11=0對稱,直線3x-ay-11=0過圓心C(1,-2),3+2a-11=0,直觀想象解得a=4,a4,-a4=(1,-1),數(shù)學(xué)運算點(1,-1)到圓心C(1,-2)的距離d=(1-1)2+(-1+2)2=1,數(shù)學(xué)運算圓C:x2+y2-2x+4y=0的半徑r=124+16=5,數(shù)學(xué)運算圓C中以a4,-a4為中點的弦長為2r2-d2=25-1=4.故選D.直觀想象和數(shù)學(xué)運算【例2】已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,E,F分別是AB,CD上兩動點,且AE=DF,把四邊形BCFE沿EF折起,使平面BCFE平面ABCD,若折得的幾何體的體積最大,則該幾何體外接球的體積為.答案6423解析畫出折得的幾何體(直三棱柱)如圖所示,直觀想象設(shè)DF=x,FC=6-x,則DC=x2-(6-x)2=12x-36,數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算由題設(shè)底面面積SDFC=12(6-x)12x-36=3(6-x)x-3,數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算因為高為4,所以當(dāng)g(x)=(6-x)x-3的最大值時,折得的幾何體的體積最大.邏輯推理令x-3=tx=t2+3,6-x=3-t2,數(shù)學(xué)抽象則g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t,數(shù)學(xué)建模求導(dǎo)可得f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故當(dāng)t=1x=4時,數(shù)學(xué)運算即DC=16-4=23時,幾何體的體積最大,此時底面外接圓的半徑為r=2.設(shè)外接球的球心為O,則點O到底面的距離d=2,直觀想象所以球的半徑R=d2+r2=4+4=22,則外接球的體積V=43(22)3=6423.數(shù)學(xué)運算【例3】從某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:h)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖(如圖).編號分組頻數(shù)10,2)1222,4)1634,6)3446,8)4458,10)50610,12)24712,14)12814,16)4916,184合計200(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12 h的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的200名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組.解(1)由頻率分布表,得該周課外閱讀時間不少于12 h的頻數(shù)為12+4+4=20,數(shù)據(jù)分析故可估計該周課外閱讀時間少于12 h的概率為1-20200=0.9.數(shù)學(xué)運算(2)由頻率分布表可知數(shù)據(jù)在4,6)的頻數(shù)為34,故這一組的頻率為0.17,即a=0.085,數(shù)據(jù)在8,10)的頻數(shù)為50,故這一組的頻率為0.25,即b=0.125.數(shù)據(jù)分析(3)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1200(121+316+534+744+950+1124+1312+154+174)=7.68(h),數(shù)學(xué)運算故樣本中的200名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第四組.數(shù)據(jù)分析【例4】(2017全國,理20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.解(1)由于P3,P4兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點.直觀想象又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.邏輯推理因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1.故C的方程為x24+y2=1.數(shù)學(xué)運算(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為t,4-t22,t,-4-t22.則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設(shè).數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算從而可設(shè)l:y=kx+m(m1).將y=kx+m代入x24+y2=1,直觀想象得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題設(shè)可知=16(4k2-m2+1)>0.數(shù)學(xué)運算設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2.由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時,>0,于是l:y=-m+12x+m,邏輯推理即y+1=-m+12(x-2),所以l過定點(2,-1).數(shù)學(xué)抽象