2018年馬鞍山市高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測高三文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則有：，則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.本題選擇C選項.2. 若全集，集合，則為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】求解二次不等式可得：或，則，結(jié)合交集的定義有：.本題選擇B選項.3. 已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為( )A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B【解析】閱讀莖葉圖可知乙組的平均數(shù)為：，結(jié)合題意可知：甲組的平均數(shù)為33，即，則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：.本題選擇B選項.4. 已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為( )A. 0 B. 2 C. 0或1 D. 0或2【答案】D【解析】的準(zhǔn)線方程為的圓心到的距離為圓相切，或，故選D.5. 設(shè)，其中變量滿足，若的最大值為6，則的最小值為( )A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】試題分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由,得,平移直線,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時,直線的截距最大,此時最大為.即,經(jīng)過點時, 直線的截距最小,此時最小.由,得,即,因為直線過,.由,解得,即.此時最小值為,故選A.考點：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法.6. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是( )A. 與是異面直線B. 平面C. 平面D. 與為異面直線，且【答案】D【解析】與均在平面內(nèi)，兩直線不是異面直線，說法A錯誤；底面三角形是正三角形，則ABC是正三角形，CAB=60，據(jù)此可知平面不成立，說法B誤；，而平面不成立，據(jù)此可知平面不成立，說法C錯誤；ABC是正三角形，則AEBC，又AECC1，據(jù)此可得平面，則與為異面直線，且，說法D正確；本題選擇D選項.7. 九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。在其第七章中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長高三尺，植物莞發(fā)芽的第一天長高一尺。蒲從第二天開始每天生長速度是前一天的一半，莞從第二天開始每天生長速度為前一天的兩倍。問這兩種植物在何時高度相同？在此問題中，蒲和莞高度相同的時刻在( )A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天【答案】B【解析】由題意可得：蒲發(fā)芽的第一天長高3尺，第二天長高尺，第三天長高尺；莞發(fā)芽的第一天長高1尺，第二天長高尺，第三天長高尺；綜上可得：蒲和莞高度相同的時刻在第三天.本題選擇B選項.8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的( )A. 115 B. 116 C. 357 D. 358【答案】D【解析】結(jié)合題意，程序運行如下：首先初始化，第一次循環(huán)，此時不滿足，執(zhí)行；第二次循環(huán)，此時不滿足，執(zhí)行；第三次循環(huán)，此時不滿足，執(zhí)行；第四次循環(huán)，此時不滿足，執(zhí)行；第五次循環(huán)，此時滿足，跳出循環(huán)，輸出.本題選擇D選項.點睛：此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計的計算步驟逐步計算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束要注意初始值的變化，分清計數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)9. 函數(shù)的圖象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)有意義，則：，由函數(shù)的解析式可得：，則選項BD錯誤；且，則選項C錯誤；本題選擇A選項.10. 已知函數(shù)，則( )A. 44 B. 45 C. 1009 D. 2018【答案】A【解析】原問題等價于求解：中有理數(shù)的個數(shù)，結(jié)合可得：有理數(shù)的個數(shù)為個，即：.本題選擇A選項.11. 在中，若，則周長的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意可得：，則：，即：.據(jù)此可得ABC是以點C為直角頂點的直角三角形，則：，據(jù)此有：，ABC的周長：，三角形滿足兩邊之和大于第三邊，則：，綜上可得：周長的取值范圍是.本題選擇C選項.12. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，若點是與在第一象限內(nèi)的交點，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)，令，由題意可得：，據(jù)此可得：，則：，則：，由可得：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，則：，即的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：圓錐曲線的離心率是圓錐曲線最重要的幾何性質(zhì)，求圓錐曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知向量，且，則_.【答案】【解析】由向量平行的充要條件有：，則：，則：.14. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為_.【答案】【解析】函數(shù)的解析式：，則：，據(jù)此可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，計算可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.15. 數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的前項和為_.【答案】【解析】當(dāng)時，由題意可得：，兩式作差可得：據(jù)此可得，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，錯位相減可得其前n項和，分組求和可得數(shù)列的前項和為.點睛：數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和16. 已知四棱椎中，底面是邊長為2的菱形，且，則四棱錐體積的最大值為_.【答案】【解析】四棱錐的體積最大，則使得底面積和高均取得最大值即可，底面積最大時，ABCD為正方形，此時底面積，高有最大值，首先要保證平面平面，由可知，點在平面內(nèi)的軌跡是以中點為圓心，長度為直徑的圓，則高的最大值為：，綜上可得：體積的最大值為：.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 在中，內(nèi)角所對的邊是，.(1)求的值；(2)求邊上的高.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)由，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得可得.(2)由(1)知，結(jié)合數(shù)量積的定義可得，又，故，由余弦定理可得，利用面積相等可得邊上的高為.試題解析：(1)在中，由，可得.(2)由(1)知，由，又，解得：，由，可得，設(shè)邊上的高為，則，所以邊上的高為.18. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，是上的動點.(1)求證：平面平面；(2)求四棱錐的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)由題意可知四邊形是菱形，由線面垂直的性質(zhì)可得，故平面，結(jié)合面面垂直的判斷定理可得平面 平面.(2)過作交于，連接，由幾何關(guān)系可得，且有，而，結(jié)合圖形的對稱性可得四棱錐的側(cè)面積為.試題解析：(1)在平行四邊形中，四邊形是菱形，平面，平面，又，平面，平面，平面 平面.(2)平面，過作交于，連接，平面，又，四棱錐的側(cè)面積為.19. 某中學(xué)為了解高一學(xué)生的視力健康狀況，在高一年級體檢活動中采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表，按照中國學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測工作手冊的方法對1039名學(xué)生進行了視力檢測，判斷標(biāo)準(zhǔn)為：雙眼裸眼視力為視力正常，為視力低下，其中為輕度，為中度，為重度.統(tǒng)計檢測結(jié)果后得到如圖所示的柱狀圖.(1)求該校高一年級輕度近視患病率；(2)根據(jù)保護視力的需要，需通知檢查結(jié)果為“重度近視”學(xué)生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進一步檢查和確診，并開展相應(yīng)的矯治，則該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為多少人？(3)若某班級6名學(xué)生中有2人為視力正常，則從這6名學(xué)生中任選2人，恰有1人視力正常的概率是多少？【答案】(1)；(2)135人；(3).【解析】試題分析：(1)由柱狀圖計算可得該校高一年級學(xué)生輕度近視患病率為.(2)由已知計算可得：該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為人.(3)記6名學(xué)生中視力正常的學(xué)生為，視力低下的學(xué)生為，列出所有可能的基本事件，結(jié)合古典概型計算公式可得恰有1人視力正常的概率是.試題解析：(1)由柱狀圖可得：，即該校高一年級學(xué)生輕度近視患病率為.(2)由已知可得：(人)即該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為135人.(3)記6名學(xué)生中視力正常的學(xué)生為，視力低下的學(xué)生為，則從中任選2人所有可能為：，.即從這6名學(xué)生中任選2人恰有1人為視力正常的概率為.20. 已知拋物線的焦點到直線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點是拋物線上的動點，若以點為圓心的圓在軸上截得的弦長均為4，求證：圓恒過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)由題意可得拋物線的焦點坐標(biāo)為，利用點到直線距離公式得到關(guān)于實數(shù)p的方程，解方程可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由題意結(jié)合勾股定理有，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整理變形可得，該方程對于任意的均成立，則據(jù)此可得圓過一定點為.試題解析：(1)由題意，焦點坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式，得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓在軸上截得的弦長為，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，化簡得：，對于任意的，方程均成立，故有：解得：，所以，圓過一定點為.點睛：求定點問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點21. 已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若函數(shù)恒成立，試確定的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】試題分析：(1)由函數(shù)的解析式有，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知，滿足題意時需，即，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)在，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是.試題解析：(1)由，得：，當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，得，令得，令得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即需，即，又由得，代入上面的不等式得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍是.點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，為曲線與的交點.(1)當(dāng)時，求點的極徑；(2)點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1) 先求得曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時，聯(lián)立方程組，解得，從而可得點的極徑；(2) 點，由題意可得，進而可得，兩邊同乘以，利用 即可得點的軌跡的直角坐標(biāo)方程.試題解析：(1)由題意可知，曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時，聯(lián)立方程組，解得，故點的極徑為.(2)在極坐標(biāo)系中，設(shè)點，由題意可得，進而可得，從而點的軌跡的直角坐標(biāo)方程為.23. 已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).(3).試題解析：(1)當(dāng)時，解不等式，時；時，；不等式總成立，所以得，所以，的解集為.(2)當(dāng)時，所以當(dāng)時，等價于恒成立，所以；當(dāng)時，等價于恒成立，所以；當(dāng)時，等價于，此時恒成立，所以；綜上可得，.