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廣東省廣州市重點(diǎn)高中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

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1、2022屆高三第一次檢測(cè)考試 數(shù)學(xué)試卷 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分,共4頁(yè),滿分為150分??荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng): 1、 答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上,用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上。 2、 選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案;不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答,答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上,超出指定區(qū)域的答案無效;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛

2、筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分 選擇題(共60分) 一、單選題:本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合,,則( ) A. B. C. D. 2.若不等式成立的充分條件為,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C. D. 3.若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在下列函數(shù)中,最小值為2的是( ) A. B. C. D. 5.已知函數(shù),則(

3、 ) A. B.4 C. D. 6.函數(shù)的圖象大致為( ) A. B. C. D. 7.已知函數(shù),若對(duì)任意,恒成立,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 8.在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則角B的最大值為( ) A. B. C. D. 二、多選題:本題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,全部選對(duì)得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)得2分. 9.下列函數(shù)既是偶函數(shù),在上又是增函數(shù)的是( ) A. B. C. D. 10.下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.若,則 B.若,則存在唯一實(shí)數(shù)使得

4、 C.若,,則 D.與非零向量共線的單位向量為 11.已知雙曲線,以下說法正確是的( ) A.m∈(-2,-1) B.若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,則 C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D.若,則的漸近線方程為 12.已知函數(shù),方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則下列選項(xiàng)正確的為( ) A.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 B.實(shí)數(shù)的取值范圍為 C.函數(shù)無最值 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增 第二部分 非選擇題(90分) 三、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分. 13.函數(shù)的遞增區(qū)間是______. 14.已知,則______. 15.已知函數(shù),若對(duì)于任意的,,則______. 16.已知等差數(shù)列的

5、前n項(xiàng)和,且滿足,(且),若(),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______. 四、解答題: 本大題共6個(gè)小題,共70分. 17.(本小題10分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,. (1)求; (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:. 18.(本小題12分)△ABC的內(nèi)角A,,的對(duì)邊分別為,,.△ABC的面積為S,已知. (1)求角; (2)若,,△ABC外接圓的半徑為,求. 19.(本小題12分)紅隊(duì)隊(duì)員甲?乙?丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A,,進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì),乙對(duì),丙對(duì)各一盤,已知甲勝,乙勝,丙勝的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率;

6、 (2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求的分布列. 20.(本小題12分)已知四邊形滿足,,是的中點(diǎn),將△BAE沿著翻折成,使平面平面,為的中點(diǎn). (1)求四棱錐的體積; (2)求平面與平面所成角的正弦值. 21.(本小題12分)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),且以直線(m∈R)所過的定點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;. (1)設(shè)點(diǎn)A,B分別是橢圓C的左?右頂點(diǎn),P,Q分別是橢圓C和圓O∶上的動(dòng)點(diǎn)(P,Q位于y軸兩側(cè)),且直線PQ與x軸平行,直線AP,BP分別與y軸交于不同的兩點(diǎn)M,N,

7、求證∶QM與QN所在的直線互相垂直. 22.(本小題12分)已知函數(shù),. (1)求函數(shù)在處的切線方程; (2)是否存在正數(shù),使得對(duì)任意恒成立?證明你的結(jié)論. (3)求在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 2022屆高三第一次檢測(cè)考試 數(shù)學(xué)試卷 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分,共4頁(yè),滿分為150分??荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng): 3、 答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上,用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上。 4、 選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改

8、動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案;不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答,答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上,超出指定區(qū)域的答案無效;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分 選擇題(共60分) 一、單選題:本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合,,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.若不等式成立的充分條件為,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

9、 A. B. C. D. 【答案】A 3.若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 4.在下列函數(shù)中,最小值為2的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 5.已知函數(shù),則( ) A. B.4 C. D. 【答案】A 6.函數(shù)的圖象大致為( ) A. B. C. D. 【答案】A 7.已知函數(shù),若對(duì)任意,恒成立,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 8.在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則角

10、B的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 二、多選題:本題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,全部選對(duì)得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)得2分. 9.下列函數(shù)既是偶函數(shù),在上又是增函數(shù)的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 10.下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.若,則 B.若,則存在唯一實(shí)數(shù)使得 C.若,,則 D.與非零向量共線的單位向量為 【答案】ABC 11.已知雙曲線,以下說法正確是的( ) A.m∈(-2,-1) B.若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,則 C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D.若,則的漸近線方程為 【答案】BD

11、 12.已知函數(shù),方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則下列選項(xiàng)正確的為( ) A.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 B.實(shí)數(shù)的取值范圍為 C.函數(shù)無最值 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增 【答案】ABC 第二部分 非選擇題(90分) 三、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分. 13.函數(shù)的遞增區(qū)間是______. 【答案】 14.已知,則______. 【答案】 15.已知函數(shù),若對(duì)于任意的,,則______. 【答案】0 16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且滿足,(且),若(),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______. 【答案】 四、解答題: 本大題共6個(gè)小題,共70分. 17.(本

12、小題10分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,. (1)求; (2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:. 【答案】(1);(2)證明見解析. 【詳解】 (1)設(shè)公差為,由題, 解得,.所以..……………………5分 (2)由(1),,則有. 則. 所以..……………………10分 18.(本小題12分)△ABC的內(nèi)角A,,的對(duì)邊分別為,,.△ABC的面積為S,已知. (1)求角; (2)若,,△ABC外接圓的半徑為,求. 【答案】(1);(2). 【詳解】 (1)由可得 , 因?yàn)?,所以,所以? 由余弦定理可得, 由正弦定理可得, 所以,即..……………………5分 因?yàn)椋?/p>

13、且,所以.因?yàn)?,所? (2)因?yàn)橥饨訄A的半徑為,,由正弦定理得,,所以由,得, 整理可得.又,,所以,故,所以,所以 ,故..……………………12分 19.(本小題12分)紅隊(duì)隊(duì)員甲?乙?丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A,,進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì),乙對(duì),丙對(duì)各一盤,已知甲勝,乙勝,丙勝的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率; (2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求的分布列. 【答案】(1);(2)答案見解析. 【詳解】解:(1)設(shè)甲勝A的事件為,乙勝的事件為,丙勝的事件為, 則,,分別表示甲不勝A,乙不勝,丙不勝的事件. ∵,,,∴

14、,,. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有:,,,, 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率 ;.……………………5分 (2)由題意知可能取值為0,1,2,3. 因此, ,, 由對(duì)立事件的概率公式得. 所以的分布列為: 0 1 2 3 0.1 0.35 0.4 0.15 .……………………12分 20.(本小題12分)已知四邊形滿足,,是的中點(diǎn),將△BAE沿著翻折成,使平面平面,為的中點(diǎn). (1)求四棱錐的體積; (2)求平面與平面所成角的正弦值. 【答案】(1);(2). 【詳解】 (1)取的中點(diǎn),連接

15、,易知, 則為等邊三角形,則,又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,所以?……………………4分 (2)連接,以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,, 則,, ,, 設(shè)平面的法向量為,則,即, 令,則,設(shè)平面的法向量為, 則,即,令,則, 則,又兩平面的夾角范圍為 所以平面與平面所成角的正弦值為..……………………12分 21.(本小題12分)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),且以直線(m∈R)所過的定點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;. (1)設(shè)點(diǎn)A,B分別是橢圓C的左?右頂點(diǎn),P,Q分別是橢圓

16、C和圓O∶上的動(dòng)點(diǎn)(P,Q位于y軸兩側(cè)),且直線PQ與x軸平行,直線AP,BP分別與y軸交于不同的兩點(diǎn)M,N,求證∶QM與QN所在的直線互相垂直. 【答案】(1);(2)證明見解析. 【詳解】 (1)由題意,直線過定點(diǎn),即橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為, 設(shè)橢圓,則, 因?yàn)檫^右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2,可得,即,聯(lián)立方程組,可得, 所以橢圓C的方程為..……………………5分 (2)由(1)知,可得, 設(shè),則,,且, 則直線AP的方程為,則, 直線BP的方程為,則, 所以, , 所以, 所以,即QM與QN所在的直線互相垂直. .……………………12分

17、22.(本小題12分)已知函數(shù),. (1)求函數(shù)在處的切線方程; (2)是否存在正數(shù),使得對(duì)任意恒成立?證明你的結(jié)論. (3)求在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【答案】(1);(2)存在正數(shù),使得對(duì)任意恒成立;證明見解析;(3)個(gè). 【詳解】 (1),,又, 在處的切線方程為:,即;.……………………3分 (2)令,,則, 當(dāng)時(shí),,在上恒成立, 在上單調(diào)遞增,∴gx≥g0=0,即在上恒成立; 若,即,只需, 又,,, 則當(dāng)時(shí),成立; 存在正數(shù),使得對(duì)任意恒成立;.……………………7分 (3)①當(dāng)時(shí),,在上無零點(diǎn); ②當(dāng)時(shí),, ,在上單調(diào)遞增, ,,,使得, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增; 又,,, 在和上各有一個(gè)零點(diǎn); ③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增, ,,,使得, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增; ,,, ,使得, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, ,,在上無零點(diǎn); 綜上所述:在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè). .……………………12分

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