11.3二項(xiàng)分布及其應(yīng)用最新考綱考情考向分析1.了解獨(dú)立事件的概念.2.了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.以了解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布的概念為主，重點(diǎn)考查二項(xiàng)分布概率模型的應(yīng)用.識(shí)別概率模型是解決概率問(wèn)題的關(guān)鍵.在高考中，常以選擇、填空題的形式考查，難度為中低檔.1.相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件.(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B).(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立.(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立.2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率.3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).概念方法微思考“事件相互獨(dú)立”與“事件互斥”有何不同？提示兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.()(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立.()(3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于(ab)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其中ap，b1p.()題組二教材改編2.P55T3天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為()A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56答案C解析設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.3.P69B組T1拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_.答案解析拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為，所以至少有一次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1，用X表示10次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則XB，E(X)10.題組三易錯(cuò)自糾4.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工成一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件能否被加工成一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件恰好有一個(gè)一等品的概率為()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)閮扇思庸こ梢坏绕返母怕史謩e為和，且相互獨(dú)立，所以兩個(gè)零件恰好有一個(gè)一等品的概率為P.5.小王通過(guò)英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次通過(guò)的概率是()A.B.C.D.答案A解析所求概率PC131.6.國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_.答案解析記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P()P()P()1P(A)1P(B)，“甲、乙兩人至少有1人去北京旅游”的對(duì)立事件為“甲、乙兩人都不去北京旅游”，故所求概率為1P()1.題型一相互獨(dú)立事件的概率例1(2018溫州“十五校聯(lián)合體”期中聯(lián)考)一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n4且nN*)和5個(gè)白球，從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng).(1)若一次摸兩個(gè)球，其中獎(jiǎng)的概率為，求n的值；(2)若一次摸一個(gè)球，記下顏色后，又把球放回去.當(dāng)n4時(shí)，求兩次摸球中獎(jiǎng)的概率.解(1)一次摸獎(jiǎng)從n5個(gè)球中任選兩個(gè)，有C種，它們等可能，其中兩球不同色有CC種，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率P1.由，得n4或n5.(2)若n4，兩次摸球(每次摸球后放回)中獎(jiǎng)的概率是P.思維升華求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；正面計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽.現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A.B.C.D.答案D解析設(shè)Ai (i1，2)表示繼續(xù)比賽時(shí)，甲在第i局獲勝；B事件表示甲隊(duì)獲得冠軍，則BA11A2，P(B)P(A1)P(1A2).題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例2一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？解(1)X可能的取值為10，20，100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列為X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1P(A1A2A3)131.因此，玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是.思維升華在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率.跟蹤訓(xùn)練2投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A.0.648B.0.432C.0.360D.0.312答案A解析所求概率為C0.620.40.630.648.題型三二項(xiàng)分布及其均值、方差例3某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及均值E().解(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由題意，得隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，則P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.隨機(jī)變量的分布列為0123P故隨機(jī)變量的均值E()0123.思維升華在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率，列出分布列.跟蹤訓(xùn)練3(2018臺(tái)州模擬)有10道數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題，每題選對(duì)得4分，不選或選錯(cuò)得0分.已知某考生能正確答對(duì)其中的7道題，余下的3道題每題能正確答對(duì)的概率為.假設(shè)每題答對(duì)與否相互獨(dú)立，記為該考生答對(duì)的題數(shù)，為該考生的得分，則P(9)_，E()_.(用數(shù)字作答)答案32解析7，8，9，10，P(9)C23；28，32，36，40，P(28)3，P(32)C2，P(36)C2，P(40)3，所以E()2832364032.1.甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為()A.B.C.D.答案D解析根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲獎(jiǎng)乙沒(méi)獲獎(jiǎng)或甲沒(méi)獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)，則所求概率是，故選D.2.袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.B.C.D.答案D解析袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1，3次中恰有2次抽到黃球的概率PC2.3.某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的均值為()A.100B.200C.300D.400答案B解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則YB(1000，0.1)，E(Y)10000.1100.又X2Y，E(X)E(2Y)2E(Y)200.4.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X12)等于()A.C102B.C92C.C92D.C102答案D解析“X12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，因此P(X12)C92C102.5.甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，“丙命中目標(biāo)”為事件C，則擊中目標(biāo)表示事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生.又P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目標(biāo)被擊中的概率P1P().6.(2019湖州質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布XB，則函數(shù)f(x)x24xX存在零點(diǎn)的概率是()A.B.C.D.答案C解析函數(shù)f(x)x24xX存在零點(diǎn)，164X0，X4.X服從XB，P(X4)1P(X5)1.7.(2018杭州四校聯(lián)考)若B，D()，則n_，E()_.答案63解析由D()n，得n6，E()63.8.(2018杭州高考仿真測(cè)試)一個(gè)盒子中有大小形狀完全相同的m個(gè)紅球和6個(gè)黃球，現(xiàn)從中有放回的摸取5次，每次隨機(jī)摸出一個(gè)球，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為X，若E(X)3，則m_，P(X2)_.答案9解析由題意知每次隨機(jī)抽出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，所以XB，則由E(X)3，得53，解得m9，所以，所以P(X2)C23.9.4支足球隊(duì)兩兩比賽，一定有勝負(fù)，每隊(duì)贏的概率都為.若每隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)各不相同，則共有_種結(jié)果；其概率為_.答案24解析4支足球隊(duì)兩兩比賽，一定有勝負(fù)，每隊(duì)贏的概率都為0.5，并且每隊(duì)贏的場(chǎng)數(shù)各不相同，4隊(duì)比6場(chǎng)只考慮勝場(chǎng)，且各不相同，勝場(chǎng)分別為0，1，2，3，共有A432124種結(jié)果，概率為PA6.10.若將甲、乙兩個(gè)球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限，則在1，2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的概率是_.答案解析將甲、乙兩個(gè)球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子的放球數(shù)量不限，則有339(種)不同的放法，其中在1，2號(hào)盒子中各有一個(gè)球的結(jié)果有2種，故所求概率是.11.設(shè)隨機(jī)變量XB(2，p)，隨機(jī)變量YB(3，p)，若P(X1)，則P(Y1)_.答案解析XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p.又YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.12.挑選空軍飛行員可以說(shuō)是“萬(wàn)里挑一”，要想通過(guò)需要五關(guān)：目測(cè)、初檢、復(fù)檢、文考(文化考試)、政審.若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過(guò)了前兩關(guān)，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5，0.6，0.75，能通過(guò)文考關(guān)的概率分別是0.6，0.5，0.4，由于他們平時(shí)表現(xiàn)較好，都能通過(guò)政審關(guān)，若后三關(guān)之間通過(guò)與否沒(méi)有影響.(1)求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一人通過(guò)復(fù)檢的概率；(2)設(shè)只要通過(guò)后三關(guān)就可以被錄取，求錄取人數(shù)X的分布列.解(1)設(shè)A，B，C分別表示事件“甲、乙、丙通過(guò)復(fù)檢”，則所求概率PP(A)P(B)P(C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2)甲被錄取的概率為P甲0.50.60.3，同理P乙0.60.50.3，P丙0.750.40.3.甲、乙、丙每位同學(xué)被錄取的概率均為0.3，故可看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即XB(3，0.3)，X的可能取值為0，1，2，3，其中P(Xk)C(0.3)k(10.3)3k.故P(X0)C0.30(10.3)30.343，P(X1)C0.3(10.3)20.441，P(X2)C0.32(10.3)0.189，P(X3)C0.330.027，故X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.02713.如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送貨到某單位B處，有ACDB，AEFB兩條路線.若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如ACD算作兩個(gè)路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為).若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是_.答案AEFB解析路線ACDB途中發(fā)生堵車事件的概率P11，路線AEFB途中發(fā)生堵車事件的概率P21.因?yàn)?lt;，所以應(yīng)選擇路線AEFB.14.(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知一個(gè)不透明的袋中有大小、質(zhì)地相同的4個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球.若不放回地摸球，每次摸1個(gè)球，摸取4次，則恰有3次摸到紅球的概率為_；若有放回地摸球，每次摸1個(gè)球，摸取3次，則摸到紅球的次數(shù)X的均值為_.答案解析方法一由題意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到紅球的概率為，若有放回地摸球，X的所有可能取值為0，1，2，3，且P(X0)3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C3，E(X)0123.方法二由題意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到紅球的概率為，若有放回地摸球，則XB，E(X)3.15.(2018浙江臺(tái)州高三適應(yīng)性考試)某特種部隊(duì)的3名戰(zhàn)士甲、乙、丙在完成一次任務(wù)后有三條撤退路線可走，他們各自選擇撤退的路線是隨機(jī)且相互獨(dú)立的，若這三條路線能順利撤退回到部隊(duì)的概率分別為，.(1)求戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊(duì)的概率；(2)設(shè)X為順利撤退回到部隊(duì)的戰(zhàn)士的人數(shù)，求X的均值.解(1)設(shè)戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊(duì)的概率為P，因?yàn)樗麖娜龡l路線中選擇一條順利撤退回到部隊(duì)是隨機(jī)的，所以P.(2)由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，分析可知X服從二項(xiàng)分布B.方法一所以P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30，所以E(X)0123.方法二n3，p，E(X)np3.16.在某年全國(guó)高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問(wèn)題.規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過(guò).已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為，且每題正確回答與否互不影響.(1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列，并計(jì)算其均值；(2)分析比較兩考生的通過(guò)能力.解(1)甲正確回答的題目數(shù)可取1，2，3.P(1)，P(2)，P(3).故其分布列為123PE()1232.又乙正確回答的題目數(shù)B，其分布列為0123PE()np32.(2)D()(21)2(22)2(23)2，D()np(1p)3，D()<D().P(2)，P(2)，P(2)>P(2).從回答對(duì)題數(shù)的均值考查，兩人水平相當(dāng)；從回答對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確回答2題的概率考查，甲獲得通過(guò)的可能性大.因此可以判斷甲的通過(guò)能力較強(qiáng).