第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S():sin()=.(2)公式C():cos()= .(3)公式T():tan()=.常用結(jié)論1.兩角和與差的正切公式的變形:tan tan =tan()(1tan tan ).2.二倍角余弦公式的變形:sin2=1-cos22,cos2=1+cos22.3.一般地,函數(shù)f()=asin +bcos (a,b為常數(shù))可以化為f()=a2+b2sin(+)其中tan=ba或f()=a2+b2cos(-)其中tan=ab.題組一常識題1.教材改編 sin 75的值為.2.教材改編 已知cos =-35,2,則sin+3的值是.3.教材改編 cos 65cos 115-cos 25sin 115=.4.教材改編 已知tan =13,tan =-2,則tan(-)的值為.題組二常錯題索引:忽略角的取值范圍;公式的結(jié)構(gòu)套用錯誤;混淆兩角和與差的正切公式中分子、分母上的符號;方法選擇不當(dāng)致誤.5.已知tan54+=17,2,則cos 的值是.6.化簡:12sin x-32cos x=.7.計算:1-tan151+tan15=.8.若+=34,則1+tan(-)(1-tan )的值為.探究點一兩角和與差的三角函數(shù)公式例1 (1)2018湘潭模擬 若sin(2-)=16,sin(2+)=12,則sin 2cos =()A.23B.13C.16D.112(2)2018晉城一模 已知cos+6=3cos ,tan =33,則tan(+)=.總結(jié)反思 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用,的三角函數(shù)表示的三角函數(shù),在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時,特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.變式題 (1)2018佛山質(zhì)檢 已知cos =17,0,2,則cos-3=()A.-1114B.3314C.5314D.1314(2)2018唐山三模 已知tan+6=1,則tan-6=()A.2-3B.2+3C.-2-3D.-2+3探究點二兩角和與差公式的逆用與變形例2 (1)2018煙臺一模 已知cosx-6=33,則cos x+cosx-3=()A.-1B.1C.233D.3(2)已知sin +cos =13,sin -cos =12,則sin(-)=.總結(jié)反思 常見的公式變形:(1)兩角正切的和差公式的變形,即tan tan =tan()(1tan tan );(2) asin +bcos =a2+b2sin(+)tan =ba.變式題 (1)2018河南中原名校聯(lián)考 22cos 375+22sin 375的值為()A.32B.12C.-32D.-12(2)(1+tan 20)(1+tan 21)(1+tan 24)(1+tan 25)=.探究點三角的變換問題例3 (1)已知-3,0,cos+6-sin =435,則sin+12的值是()A.-235B.-210C.235D.-45(2)2018莆田二模 已知sin =255,sin(-)=-1010,均為銳角,則=()A.512B.3C.4D.6總結(jié)反思 常見的角變換:22=24,2=(+)+(-),=+2+-2,3+=2-6-等.變式題 (1)2018榆林模擬 若0<<4,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,則cos+2=()A.539B.-33C.7327D.-69(2)已知2<<<34,cos(-)=1213,sin(+)=-35,則sin 2=()A.5665B.-5665C.1665D.-1665第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切考試說明 1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.【課前雙基鞏固】知識聚焦(1)sin cos cos sin (2)cos cos sin sin (3)tantan1tantan對點演練1.6+24解析 sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30=2232+2212=6+24.2.4-3310解析 cos =-35,2,sin =45,sin+3=sin cos3+cos sin3=4512+-3532=4-3310.3.-1解析 原式=cos 65cos 115-sin 65sin 115=cos(65+115)=cos 180=-1.4.7解析 tan(-)=tan-tan1+tantan=7.5.-45解析 因為tan54+=tan4+=17,所以1+tan1-tan=17,所以tan =-34,又2,所以cos =-432+(-4)2=-45.6.sinx-3解析 12sin x-32cos x=cos3sin x-sin3cos x=sinx-3.7.33解析 1-tan151+tan15=tan45-tan151+tan45tan15=tan(45-15)=tan 30=33.8.2解析 因為+=34,所以tan(+)=-1,即tan+tan1-tantan=-1,整理得(1-tan )(1-tan )=2,所以1+tan(-)(1-tan )=(1-tan )(1-tan )=2.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)利用兩角和與差的正弦公式展開已知條件,進(jìn)而求解;(2)先利用已知條件求出tan ,再根據(jù)兩角和的正切公式求解.(1)B(2)-33解析 (1)由sin(2-)=16,sin(2+)=12,可得sin 2cos -cos 2sin =16, sin 2cos +cos 2sin =12,由+得2sin 2cos =23,所以sin 2cos =13.故選B.(2)cos+6=32cos -12sin =3cos ,-sin =3cos ,故tan =-3,tan(+)=tan+tan1-tantan=-3+331+333=-2332=-33.變式題(1)D(2)D解析 (1)cos =17,0,2,sin =1-cos2=1-172=437,cos-3=cos cos3+sin sin3=1712+43732=1314.故選D.(2)由題意知,tan-6=tan+6-3=tan+6-tan31+tan+6tan3=1-31+3=-2+3.故選D.例2思路點撥 (1)首先利用兩角差的余弦公式展開cosx-3,整理后再逆用兩角差的余弦公式即可;(2)將兩個條件等式分別平方相加即可.(1)B(2)-5972解析 (1)由題可知,cos x+cosx-3=cos x+cos xcos3+sin xsin3=32cos x+32sin x=332cosx+12sinx=3cosx-6=333=1.故選B.(2)sin +cos =13,sin -cos =12,(sin +cos )2=19,(sin -cos )2=14,即sin2+2sin cos +cos2=19,sin2-2sin cos +cos2=14,由+得sin2+2sin cos +cos2+sin2-2sin cos +cos2=(sin2+cos2)+(cos2+sin2)+2(sin cos -sin cos )=1+1+2sin(-)=2+2sin(-)=1336,則sin(-)=-5972.變式題(1)A(2)4解析 (1)22cos 375+22sin 375=22cos 15+22sin 15=cos(45-15)=cos 30=32.故選A.(2)(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25=1+tan(20+25)(1-tan 20tan 25)+tan 20tan 25=2,同理可得(1+tan 21)(1+tan 24)=2,所以原式=4.例3思路點撥 (1)對條件整理可得cos+3=45,又+12=+3-4,利用兩角差的正弦公式求解;(2)根據(jù)角的變換得=+(-),利用已知條件先求出sin 的值,再求角. (1)B(2)C解析 (1)由cos+6-sin =435,得cos cos6-sin sin6-sin =435,即32cos -32sin =435,12cos -32sin =45,即cos+3=45.-3,0,+30,3,sin+3=1-cos2+3=35,sin+12=sin+3-4=22sin+3-22cos+3=2235-45=-210,故選B.(2)因為sin =255,sin(-)=-1010,且,均為銳角,所以cos =55,cos(-)=31010,所以sin =sin+(-)=sin cos(-)+cos sin(-)=25531010+55-1010=25250=22,所以=4.故選C.變式題(1)A(2)B解析 (1)由題可知,0<4+<2,4<4-2<2,所以sin4+=223,sin4-2=63,所以cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.故選A.(2)因為2<<<34,所以0<-<4,<+<32,由cos(-)=1213,得sin(-)=513,由sin(+)=-35,得cos(+)=-45,則sin 2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=513-45+1213-35=-5665,故選B.【備選理由】 例1考查兩角差的正切公式、基本不等式、正切函數(shù)的單調(diào)性,考查綜合分析與運算的能力;例2主要考查三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用,熟練運用相關(guān)公式和特殊角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵;例3考查兩角和與差的正弦公式的運用,關(guān)鍵是角的配湊,然后化簡求值.例1配合例1使用 2018南充模擬 若tan =3tan 0<<<2,則-的最大值為.答案 6解析 tan =3tan 0<<<2,tan >0,tan(-)=tan-tan1+tantan=2tan1+3tan2=21tan+3tan.tan >0,1tan+3tan 21tan3tan=23,tan(-)33,當(dāng)且僅當(dāng)3tan2=1,即tan =33時取等號,此時=6,tan =3tan ,即tan =3,=3.又0<<<2,0<-<2,0<tan(-)33,又y=tan x在0,2上單調(diào)遞增,當(dāng)tan(-)取得最大值時,-的值最大,當(dāng)=3,=6時,-的值最大,-的最大值為3-6=6.例2配合例3使用 2018安徽皖江八校聯(lián)考 2cos55-3sin5cos5的值為.答案 1解析 2cos55-3sin5cos5=2cos(60-5)-3sin5cos5=cos5+3sin5-3sin5cos5=1.例3配合例3使用 2018安陽模擬 已知m=tan(+)tan(-+),若sin 2(+)=3sin 2,則m=()A.12B.34C.32D.2解析 Dsin 2(+)=3sin 2,sin(+)+(+-)=3sin(+)-(+-),sin(+)cos(+-)+cos(+)sin(+-)=3sin(+)cos(+-)-3cos(+)sin(+-),-2sin(+)cos(+-)=-4cos(+)sin(+-),即sin(+)cos(+-)cos(+)sin(+-)=tan(+)tan(-+)=2,m=2.故選D.