第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. (2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為、和零角;按終邊位置分為和軸線角.(3)終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=. 2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長度等于的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. (2)公式:角的弧度數(shù)的絕對值|=lr(弧長用l表示)角度與弧度的換算1=180 rad,1 rad=180弧長公式弧長l=扇形面積公式S=12lr=12|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義:設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin =,cos =,tan =yx(x0).(2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):圖3-17-1中的有向線段OM,MP,AT分別稱為角的、和.() ()() ()圖3-17-1常用結(jié)論象限角與軸線角(1)象限角(2)軸線角題組一常識題1.教材改編 終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是.2.教材改編 (1)6730=rad;(2)12= .3.教材改編 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角的弧度數(shù)是.4.教材改編 若角的終邊經(jīng)過點P(-1,2),則sin -cos +tan =.題組二常錯題索引:對角的范圍把握不準(zhǔn);不能據(jù)函數(shù)值的符號確定角所在的象限;不熟悉角在不同象限時對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號;求弧長或者扇形面積把角化為弧度數(shù)時出錯.5.在ABC中,若sin A=22,則A=.6.已知P(-3,y)為角的終邊上的一點,且sin =1313,則y=.7.當(dāng)為第二象限角時,|sin|sin-cos|cos|的值是.8.若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為cm2.探究點一角的集合表示及象限角的判定例1 (1)2018長春一模 若角的頂點為坐標(biāo)原點,始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線y=-3x上,則角的所有取值的集合是()A.=2k-3,kZB.|=2k+23,kZC.|=k-23,kZD.|=k-3,kZ(2)集合|k+4k+2,kZ中的角所表示的范圍(陰影部分)是()ABCD圖3-17-2總結(jié)反思 (1)角(0<2)與角2k+(kZ)的終邊相同;(2)要求角所在的象限,只需將角表示成2k+(kZ,0<2)的形式,則角所在的象限即為角所在的象限.變式題 (1)設(shè)集合M=x|x=k2180+45,kZ,N=x|x=k4180+45,kZ,那么()A.M=NB.MNC.NMD.MN=(2)若角的終邊在x軸的上方,則2是第象限角.探究點二扇形的弧長、面積公式例2 (1)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數(shù)是.(2)已知扇形的圓心角為60,其弧長為,則此扇形的面積為.總結(jié)反思 應(yīng)用弧度制解決問題的策略:(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度;(2)涉及求扇形面積最大值的問題,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決;(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.變式題 (1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()A.3B.6C.-3D.-6(2)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時,扇形圓心角的弧度數(shù)是.探究點三三角函數(shù)的定義角度1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3 (1)2018濟南二模 已知角的終邊經(jīng)過點P(m,-2m),其中m0,則sin +cos 等于()A.-55B.55C.-35D.35(2)2018北京通州區(qū)三模 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角以O(shè)x為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點12,y,則sin =.總結(jié)反思 三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面:(1)已知角的終邊上一點P的坐標(biāo),則可先求出點P到原點的距離,然后用三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值.特別地,若角的終邊落在某條直線上,一般要分類討論.(2)已知角的某個三角函數(shù)值,可依據(jù)三角函數(shù)值設(shè)出角終邊上某一符合條件的點的坐標(biāo)來解決相關(guān)問題.角度2三角函數(shù)值的符號判定例4 (1)若sin cos <0,tansin>0,則角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若為第二象限角,則cos 2,cos2,1sin2,1cos2中,其值必為正的有()A.0個B.1個C.2個D.3個總結(jié)反思 判斷三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號,特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.角度3三角函數(shù)線的應(yīng)用例5 2018嘉興模擬 已知2,34,a=sin ,b=cos ,c=tan ,那么a,b,c的大小關(guān)系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b總結(jié)反思 利用三角函數(shù)線比較大小或解三角不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來說sin xb,cos xa,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,連接原點與交點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍.變式題 函數(shù)f(x)=1-2cosx+lnsin x-22的定義域為.第17講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試說明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能進行弧度與角度的互化.2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.(1)端點(2)正角負(fù)角象限角(3)|=+k360,kZ2.(1)半徑長(2)|r3.(1)yx(2)余弦線正弦線正切線對點演練1.|=k360+45,kZ解析 終邊落在第一象限角平分線上的最小正角為45,所以與其終邊相同的角的集合為|=k360+45,kZ.2.(1)38(2)15解析 (1)6730=67.5180=38(rad);(2)12=12180=15.3.1.2解析 根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計算公式得,=144120=1.2.4.35-105解析 r=(-1)2+22=5,所以sin =25=255,cos =-15=-55,tan =2-1=-2,所以sin -cos +tan =35-105.5.4或34解析 因為0<A<且sin A=22,所以A=4或A=34. 6.12解析 因為r=3+y2,所以由三角函數(shù)的定義可得y3+y2=1313,解得y=12.7.2解析 為第二象限角,sin >0,cos <0,|sin|sin-cos|cos|=1-(-1)=2.8.80解析 72=25 rad,S扇形=12r2=1225202=80(cm2).【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)先求出直線y=-3x的傾斜角,再根據(jù)終邊相同的角的要求得出角的取值集合;(2)對k分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析角所表示的范圍.(1)D(2)C解析 (1)因為直線y=-3x的傾斜角是23,所以終邊落在直線y=-3x上的角的取值集合為=k-3,kZ.故選D.(2)當(dāng)k=2n(nZ)時,2n+42n+2,此時表示的范圍與42表示的范圍一樣;當(dāng)k=2n+1(nZ)時,2n+42n+2,此時表示的范圍與5432表示的范圍一樣.故選C.變式題(1)B(2)一或三解析 (1)M中,x=k2180+45=k90+45=45(2k+1),kZ,2k+1是奇數(shù);N中,x=k4180+45=k45+45=45(k+1),kZ,k+1是整數(shù).綜上可知,必有MN.(2)角的終邊在x軸的上方,k360<<180+k360,kZ,k180<2<90+k180,kZ.當(dāng)k=2n(nZ)時,有n360<2<90+n360,可知2為第一象限角;當(dāng)k=2n+1(nZ)時,有n360+180<2<270+n360,可知2為第三象限角.例2思路點撥 (1)找出弧長與半徑,用弧度制公式求解;(2)設(shè)扇形的半徑為r,根據(jù)弧長公式可求出r的值,再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論.(1)2+22(2)32解析 (1)設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接等腰直角三角形的斜邊長為2r,一條直角邊長為2r,所以周長為2r+22r,所以圓弧所對圓心角的弧度數(shù)是2r+22rr=2+22.(2)設(shè)扇形的半徑為r,扇形的圓心角為60,它的弧長為,60r180=,解得r=3, S扇形=123=32.變式題(1)C(2)2解析 (1)將表的分針撥快應(yīng)按順時針方向旋轉(zhuǎn),為負(fù)角,故選項A,B不正確;又因為撥快10分鐘,故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角的絕對值大小為周角的16,即為-162=-3.(2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面積S=12lr=12(18-2r)r=-r2+9r,當(dāng)r=92時,S取得最大值,此時l=18-2r=9,所以圓心角的弧度數(shù)是lr=992=2.例3思路點撥 利用任意角的三角函數(shù)的定義求解.(1)B(2)-32解析 (1)角的終邊經(jīng)過點P(m,-2m),其中m0,r=m2+(-2m)2=5m2=5|m|.當(dāng)m>0時,sin =-2m5m=-25,cos =m5m=15,sin +cos =-55;當(dāng)m<0時,sin =-2m-5m=25,cos =m-5m=-15,sin +cos =55.sin +cos =55.(2)角以O(shè)x為始邊,終邊位于第四象限,且與單位圓交于點12,y,y=-1-122=-32,sin =yr=-321=-32.例4思路點撥 (1)根據(jù)條件確定sin ,cos 的符號,再確定所在的象限;(2)根據(jù)為第二象限角,分別確定2,2的終邊所在的象限,再根據(jù)象限確定對應(yīng)函數(shù)值的符號.(1)D(2)A解析 (1)由tansin>0,得1cos>0,所以cos >0.又sin cos <0,所以sin <0,所以為第四象限角,故選D.(2)由題意知,2k+2<<2k+(kZ),則4k+<2<4k+2(kZ),所以2的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上,所以sin 2<0,cos 2可正可負(fù)也可為零.因為k+4<2<k+2(kZ),所以2的終邊在第一或第三象限,所以cos2可正可負(fù).故選A.例5思路點撥 作出位于區(qū)間2,34上的角的三角函數(shù)線,利用三角函數(shù)線比較大小.A解析 方法一:如圖,作出位于區(qū)間2,34上的角的三角函數(shù)線,則角的正弦線、余弦線、正切線分別為MP,OM,AT,顯然有sin >cos >tan ,即a>b>c.方法二:此題也可采用特值法.2,34,可取=23,此時a=sin =32,b=cos =-12,c=tan =-3,即a>b>c,故選A.變式題x2k+3x<2k+34,kZ解析 由題意得,自變量x應(yīng)滿足1-2cosx0,sinx-22>0,即cosx12,sinx>22,則如圖中陰影部分所示,不等式組的解集為x2k+3x<2k+34,kZ.【備選理由】 例1考查判斷弧度制下的角所在的象限問題;例2考查弧長公式與等差數(shù)列的綜合問題;例3強化對三角函數(shù)定義的理解與應(yīng)用,并給出了方法二,即利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系也可求解;例4考查三角函數(shù)線的基本應(yīng)用.例1配合例1使用 若角=-4,則的終邊在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析 B因為-32<=-4<-,所以依據(jù)負(fù)角的定義可知的終邊在第二象限.故選B.例2配合例2使用 如圖所示,一條螺旋線是用以下方法畫成的:ABC是邊長為1的正三角形,曲線CA1,A1A2,A2A3分別是以A,B,C為圓心,以AC,BA1,CA2為半徑畫的弧,曲線CA1A2A3稱為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈,然后又以A為圓心,AA3為半徑畫弧這樣畫到第n圈,則所得整條螺旋線的長度ln=.(用表示即可)答案 n(3n+1)解析 設(shè)第n段弧的弧長為an,由弧長公式可得a1=23,a2=232,a3=233, 所以數(shù)列an是以23為首項,23為公差的等差數(shù)列.畫到第n圈,有3n段弧,故所得整條螺旋線的長度ln=a1+a2+a3+a3n=23(1+2+3+3n)=n(3n+1).例3配合例3使用 若點P(3,y)是角終邊上的一點,且滿足y<0,cos =35,則tan =()A.-34B.34C.43D.-43解析 D方法一:由題意知,r=32+y2,所以cos =332+y2=35,解得y=-4或y=4(舍),所以tan =-43.方法二:因為點P(3,y)是角終邊上的一點,且滿足y<0,cos =35,所以sin =-1-cos2=-45,所以tan =sincos=-43,故選D.例4配合例5使用 2018北京首師大附中月考 已知cos -12,則角的取值范圍為.答案 2k+232k+43,kZ解析 如圖所示,作出直線x=-12,交單位圓于C,D兩點,連接OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍,故滿足條件的角的取值范圍為2k+232k+43,kZ.