考點(diǎn)規(guī)范練35直接證明與間接證明一、基礎(chǔ)鞏固1.要證a2+b2-1-a2b20,只需證明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-a4+b420C.(a+b)22-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0答案D解析在各選項(xiàng)中,只有(a2-1)(b2-1)0a2+b2-1-a2b20,故選D.2.分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3a”索的因應(yīng)是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案C解析b2-ac<3ab2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.故選C.3.設(shè)x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,則()A.P>QB.P<QC.PQD.PQ答案A解析因?yàn)?x+2-x22x2-x=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立),而x>0,所以P>2.又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x1,所以Q2.于是P>Q.故選A.4.利用反證法證明“若x2+y2=0,則x=y=0”時(shí),應(yīng)假設(shè)()A.x,y都不為0B.xy,且x,y都不為0C.xy,且x,y不都為0D.x,y不都為0答案D解析原命題的結(jié)論是x,y都為0,利用反證法時(shí),應(yīng)假設(shè)x,y不都為0.5.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),下列條件中,能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的是()A.a+b>1B.a+b>2C.a2+b2>2D.ab>1答案B解析若a=12,b=23,則a+b>1,但a<1,b<1,故A推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故C推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故D推不出;對(duì)于B,若a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1.反證法:假設(shè)a1,且b1,則a+b2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個(gè)大于1.6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減.若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值()A.恒為負(fù)值B.恒等于零C.恒為正值D.無(wú)法確定正負(fù)答案A解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的減函數(shù).由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0,故選A.7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是.答案m<n解析(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,得m<n.(方法二:分析法)因?yàn)閍>b>0,所以要得出m與n的大小關(guān)系,只需判斷mn=a-ba-b與1的大小關(guān)系,只需判斷a+b-2aba-b與1的大小關(guān)系,只需判斷a+b-2ab-(a-b)與0的大小關(guān)系,只需判斷2b-2ab與0的大小關(guān)系,只需判斷b-a與0的大小關(guān)系.由a>b>0,可知b-a<0,即mn<1,即可判斷m<n.8.6+7與22+5的大小關(guān)系為.答案6+7>22+5解析要比較6+7與22+5的大小,只需比較(6+7)2與(22+5)2的大小,只需比較6+7+242與8+5+410的大小,只需比較42與210的大小,只需比較42與40的大小,42>40,6+7>22+5.9.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.證明a,b,c(0,+),a+b2ab>0,b+c2bc>0,a+c2ac>0.又上述三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立.a+b2b+c2c+a2>abc成立.上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),得lga+b2b+c2c+a2>lgabc,lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.10.已知a>0,1b-1a>1,求證:1+a>11-b.證明由已知1b-1a>1及a>0可知0<b<1,要證1+a>11-b,只需證1+a1-b>1,只需證1+a-b-ab>1,只需證a-b-ab>0,即a-bab>1,即1b-1a>1,這是已知條件,所以原不等式得證.11.設(shè)函數(shù)f(x)=1x+2,a,b(0,+).(1)用分析法證明:fab+fba23;(2)設(shè)a+b>4,求證:af(b),bf(a)中至少有一個(gè)大于12.證明(1)要證明fab+fba23,只需證明1ab+2+1ba+223,只需證明ba+2b+ab+2a23,即證b2+4ab+a22a2+5ab+2b223,即證(a-b)20,這顯然成立,所以fab+fba23.(2)假設(shè)af(b),bf(a)都小于或等于12,即ab+212,ba+212,所以2ab+2,2ba+2,兩式相加得a+b4,這與a+b>4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一個(gè)大于12.二、能力提升12.若A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則()A.A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形C.A1B1C1是鈍角三角形,A2B2C2是銳角三角形D.A1B1C1是銳角三角形,A2B2C2是鈍角三角形答案D解析由條件知,A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則A1B1C1是銳角三角形,且A2B2C2不可能是直角三角形.假設(shè)A2B2C2是銳角三角形.由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,則A2+B2+C2=2,這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾.因此假設(shè)不成立,故A2B2C2是鈍角三角形.13.已知a,b,(0,+),且1a+9b=1,要使得a+b恒成立,則的取值范圍是.答案(0,16解析a,b(0,+),且1a+9b=1,a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba10+29=16(當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=12時(shí)等號(hào)成立).a+b的最小值為16.要使a+b恒成立,只需16.0<16.14.在RtABF中,AB=2BF=4,C,E分別是AB,AF的中點(diǎn)(如圖).將此三角形沿CE對(duì)折,使平面AEC平面BCEF(如圖),已知D是AB的中點(diǎn).(1)求證:CD平面AEF;(2)求證:平面AEF平面ABF.圖圖證明(1)取AF中點(diǎn)M,連接DM,EM.D,M分別是AB,AF的中點(diǎn),DM是ABF的中位線,DM12BF.又CE12BF,四邊形CDME是平行四邊形,CDEM.又EM平面AEF,CD平面AEF,CD平面AEF.(2)由題意知CEAC,CEBC,且ACBC=C,故CE平面ABC.又CD平面ABC,CECD.四邊形CDME是矩形.EMMD.在AEF中,EA=EF,M為AF的中點(diǎn),EMAF,且AFMD=M,EM平面ABF.又EM平面AEF,平面AEF平面ABF.三、高考預(yù)測(cè)15.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an+1+n-2,nN*,a1=2.(1)證明:數(shù)列an-1是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=3nSn-n+1(nN*)的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:Tn<6.(1)解因?yàn)镾n=an+1+n-2,所以當(dāng)n2時(shí),Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3,兩式相減,得an=an+1-an+1,即an+1=2an-1.設(shè)cn=an-1,代入上式,得cn+1+1=2(cn+1)-1,即cn+1=2cn(n2).又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3.所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1.綜上,對(duì)于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列an-1是等比數(shù)列,其首項(xiàng)a1-1=1,公比q=2.所以an-1=12n-1,故an=2n-1+1.(2)證明由Sn=an+1+n-2,得Sn-n+2=an+1=2n+1,即Sn-n+1=2n,所以bn=3n2n.所以Tn=b1+b2+bn-1+bn=32+622+3n2n,2,得2Tn=3+62+3322+3n2n-1,-,得Tn=3+32+322+32n-1-3n2n=31+12+122+12n-1-3n2n=31-12n1-12-3n2n=6-3n+62n.因?yàn)?n+62n>0,所以Tn=6-3n+62n<6.