專題對(duì)點(diǎn)練22直線與圓及圓錐曲線1.設(shè)A,B為曲線C:y=x24上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.2.(2018全國(guó),文20)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓O1外切,與圓O2內(nèi)切.(1)求圓心P的軌跡E的方程;(2)過(guò)A(-2,0)作兩條互相垂直的直線l1,l2分別交曲線E于M,N兩點(diǎn),設(shè)l1的斜率為k(k>0),AMN的面積為S,求Sk的取值范圍.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線x-3y=4相切.(1)求圓O的方程;(2)若圓O上有兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱,且|MN|=23,求直線MN的方程;(3)圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求PAPB的取值范圍.5.已知點(diǎn)N(-1,0),F(1,0)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn),點(diǎn)M是以N為圓心,4為半徑的圓上任意一點(diǎn),線段MF的垂直平分線交MN于點(diǎn)R.(1)點(diǎn)R的軌跡為曲線E,求曲線E的方程;(2)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),F為其焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),與曲線E交于P,Q兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn):是否存在直線l使A,F,Q是線段PB的四等分點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.6.(2018天津,文19)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若BPM的面積是BPQ面積的2倍,求k的值.專題對(duì)點(diǎn)練22答案1.解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.將y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.當(dāng)=16(m+1)>0,即m>-1時(shí),x1,2=22m+1.從而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.2.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2;由題設(shè)知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解 (1)設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r,則|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的軌跡為橢圓,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=3,所以橢圓的方程為x24+y23=1(x-2).(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0,y0),直線l1的方程為y=k(x+2),代入x24+y23=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.A(-2,0)在橢圓x24+y23=1上,x0(-2)=16k2-123+4k2,則x0=6-8k23+4k2,|AM|=1+k26-8k23+4k2+2=1+k2123+4k2.同理|AN|=1+1k212k23k2+4.所以S=12|AM|AN|=121+k2123+4k21+1k212k23k2+4.Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3),令k2+1=t>1,Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)=72t(4t-1)(3t+1)=7212t+1-1t,所以Sk(0,6).4.解 (1)依題意,圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-3y=4的距離,即r=41+3=2.所以圓O的方程為x2+y2=4.(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.則圓心O到直線MN的距離d=|m|5,所以m25+(3)2=22,即m=5.所以直線MN的方程為2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因?yàn)镻APB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1).由于點(diǎn)P在圓O內(nèi),故x2+y2<4,x2-y2=2.由此得y2<1.所以PAPB的取值范圍為-2,0).5.解 (1)由題意,|RM|=|RF|,|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,R的軌跡是以N,F為焦點(diǎn)的橢圓,a=2,c=1,b=3,曲線E的方程為x24+y23=1;(2)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),F為其焦點(diǎn),拋物線的方程為y2=4x,假設(shè)存在直線l使A,F,Q是線段PB的四等分點(diǎn),則|AF|=12|FB|.直線l斜率顯然存在,設(shè)方程為y=k(x-1)(k0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線代入拋物線方程,整理可得ky2-4y-4k=0,y1+y2=4k,y1y2=-4,|AF|=12|FB|,y2y1=-2,由解得k=22.k=22時(shí),直線l的方程為y=22(x-1),解得A12,-2,B(2,22).直線與橢圓方程聯(lián)立解得P25,-625,A107,627.yB2yQ,Q不是FB的中點(diǎn),即A,F,Q不是線段PB的四等分點(diǎn).同理可得k=-22時(shí),A,F,Q不是線段PB的四等分點(diǎn),不存在直線l使A,F,Q是線段PB的四等分點(diǎn).6.解 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為x29+y24=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由BPM的面積是BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12.當(dāng)k=-89時(shí),x2=-9<0,不合題意,舍去;當(dāng)k=-12時(shí),x2=12,x1=125,符合題意.所以,k的值為-12.