課時規(guī)范練46拋物線基礎(chǔ)鞏固組1.(2017廣西桂林一模,文4)若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,2)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于()A.12B.1C.32D.22.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=42x的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn),若|PF|=42,則POF的面積為()A.2B.22C.23D.43.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則|AB|等于()A.2B.4C.6D.84.(2017山西運(yùn)城模擬)已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y5.(2017河北張家口4月模擬,文6)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=6,則線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為()A.2B.4C.5D.66.(2017河南洛陽一模,文11)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為()A.6B.5C.4D.37.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為.9.已知點(diǎn)F為拋物線y2=12x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,過A作AH垂直拋物線的準(zhǔn)線于H,若直線l的傾斜角0,3,則AFH面積的最小值為.10.(2017廣東江門一模,文10改編)F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),以F為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于點(diǎn)A,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)B,若FB=4FA,則FAFB=.導(dǎo)學(xué)號24190944綜合提升組11.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.355B.2C.115D.312.(2017全國,文12)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.5B.22C.23D.3313.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=42,|DE|=25,則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.14.(2017安徽馬鞍山一模,文20)設(shè)動點(diǎn)P(x,y)(x0)到定點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)D(x0,2)是曲線C上一點(diǎn),與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l1,l2過點(diǎn)D,且它們的傾斜角互補(bǔ).若直線l1,l2與曲線C的另一交點(diǎn)分別是M,N,證明直線MN的斜率為定值.導(dǎo)學(xué)號24190945創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2017山東菏澤一模,文15)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,以拋物線C上的點(diǎn)M(x0,22)x0>p2為圓心的圓與y軸相切,與線段MF相交于點(diǎn)A,且被直線x=p2截得的弦長為3|MA|,若|MA|AF|=2,則|AF|=.16.(2016吉林東北師大附中二模,文20)已知拋物線C:y=12x2,直線l:y=x-1,設(shè)P為直線l上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時,求線段AB的長;(2)求證:直線AB恒過定點(diǎn).答案：1.D由題意,3x0=x0+p2,x0=p4,p22=2.p>0,p=2,故選D.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故選C.3.D由題設(shè)知線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.設(shè)A,B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為d1,d2.由拋物線的定義知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.D設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的拋物線方程是x2=3y.5.A拋物線y2=4x,p=2.設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,利用拋物線定義,AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故選A.6.A拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為l:x=-2,直線y=k(x+2)恒過定點(diǎn)P(-2,0),如圖,過點(diǎn)A,B分別作AMl于點(diǎn)M,BNl于點(diǎn)N,由|FA|=2|FB|,則|AM|=2|BN|,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn).連接OB,則|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,|BN|=3,|AM|=6,故選A.7.C如圖,分別過點(diǎn)A,B作AA1l于點(diǎn)A1,BB1l于點(diǎn)B1,由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|.BCB1=30,AFx=60.連接A1F,則AA1F為等邊三角形,過點(diǎn)F作FF1AA1于點(diǎn)F1,則F1為AA1的中點(diǎn),設(shè)l交x軸于點(diǎn)K,則|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故拋物線方程為y2=3x.8.2由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時,為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.363設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)(y>0),直線l的傾斜角0,3,則x9.故AFH的面積S=12(x+3)y.令t=S2=14(x+3)212x=3x(x+3)2.則t=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函數(shù)t單調(diào)遞增.故當(dāng)x=9時,S最小,此時Smin2=39122,即Smin=363.10.94由題意,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線交垂線于點(diǎn)C,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D,則由拋物線的定義,|FA|=m+12,由BACBFD,得m+121=34,m=14.|FA|=34,|FB|=3,FAFB=|FA|FB|=94.11.B由題可知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),則動點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|,則動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值,即焦點(diǎn)F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是|4-0+6|5=2.12.C由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因為M在x軸的上方,所以M(3,23).因為MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因為F(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.13.4不妨設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=R2.因為|AB|=42,所以可設(shè)A(m,22).又因為|DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.14.(1)解 由題意知,點(diǎn)P的軌跡方程是以F(1,0)為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x.(2)證明 由D(x0,2)在曲線C上,得4=4x0,則x0=1,從而D(1,2).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l1:y=k(x-1)+2,則l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,x11=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2+4k+4k2.x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,直線MN的斜率為定值-1.15.1由拋物線的定義得|MF|=x0+p2.圓與y軸相切,|MA|=x0.圓被直線x=p2截得的弦長為3|MA|,圓心到直線x=p2的距離為|MA|2-32|MA|2=12|MA|,|MA|=2x0-p2,2x0-p2=x0,解得x0=p.M(p,22),2p2=8,p=2.|MA|AF|=2,|AF|=12|MA|=12p=1.16.(1)解 設(shè)Ax1,12x12,Bx2,12x22,y=12x2的導(dǎo)數(shù)為y=x,以A為切點(diǎn)的切線方程為y-12x12=x1(x-x1),整理得y=x1x-12x12,同理,以B為切點(diǎn)的切線方程為y=x2x-12x22,代入P(0,-1),得x12=x22=2(x1x2<0),可得|AB|=|x1-x2|=22.(2)證明 設(shè)P(x,y),由(1)得y=x1x-12x12,y=x2x-12x22,可得Px2+x12,x1x22.由已知直線AB的斜率必存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,y=kx+b,y=12x2,可得x2-2kx-2b=0,即有x1+x2=2k,x1x2=-2b,可得P(k,-b),由點(diǎn)P在直線y=x-1上,可得b=1-k,則直線AB的方程為y=kx+(1-k),即k(x-1)-y+1=0,則直線AB過定點(diǎn)(1,1).