第一章 計(jì)數(shù)原理（復(fù)習(xí)一）一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1 精要總結(jié)（1）分類加法計(jì)數(shù)原理又稱為分類計(jì)數(shù)原理、加法原理等應(yīng)用此原理解題要注意以下幾點(diǎn)：明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事當(dāng)完成這件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他的方法確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法都屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法也就是分類時(shí)必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”分類加法計(jì)數(shù)原理的集合表述形式做一件事完成它的辦法用集合S表示，S被劃分成n類方法分別用集合S1，S2，S3，Sn表示，即S=S1S2S3Sn且SiSj=（ij；i，j=1，2，n），S1，S2，S3，Sn分別有m1，m2，mn個(gè)元素，則完成這件事共有的方法即集合S中元素的個(gè)數(shù)為m1+m2+mn如下圖所示：（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理又稱為分步計(jì)數(shù)原理、乘法原理等應(yīng)用此原理解題要注意以下三點(diǎn)：明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事要經(jīng)過幾步完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事都不可能完成根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n步連續(xù)地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏可以用下圖表示分步計(jì)數(shù)原理（3）分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理常綜合應(yīng)用：在分類中又包含分步，或分步中包含分類，“類”“步”交融解決此類問題要注意根據(jù)所學(xué)認(rèn)真分析，既要會合理分類，又能合理分步，解答時(shí)是先分類后分步，還是先分步后分類應(yīng)視具體問題而定常見的問題一般是先分類后分步2 錯(cuò)例辨析例1 甲、乙、丙、丁四位女同學(xué)在課后練習(xí)打排球，第一次甲傳給乙、丙、丁三人中任一人，第二次由接球者再傳給其他三人任一人，這樣共傳了4次，則第4次球仍回到甲的方法共有 ( ) A21種 B42種 C24種 D27種錯(cuò)解：分四步完成：第一步由甲傳給乙、丙、丁中的一人，有3種方法；第二步傳給甲以外的2人，第三步又傳給甲以外的2人，第四步再傳給甲共有221種方法，因此一共有3221=12種方法錯(cuò)因分析：上述解法中漏掉了第二步可以在傳回甲這種情況，正確解法如下：正解：分四步完成：第一步由甲傳給乙、丙、丁中的一人，有3種方法；第二步應(yīng)分二類考慮：第一類傳給甲，則第三步傳給乙、丙、丁均可，第四步再傳給甲，共有131種方法；第二類不傳給甲，則可傳給甲以外的2人，第三步又傳給甲以外的2人，第四步再傳給甲共有221種方法，因此一共有3(131+221)=21種方法變式訓(xùn)練：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自從家里拿來了互不相同的一本課外書，他們把四本不同的書籍放在一起，然后從中取一本別的同學(xué)的書進(jìn)行交換看，則不同的取法共有（） A 6種 B 9種 C 11種 D 23種 答案:B解：第一步：四個(gè)人中的任意一人(例如甲)先取一本，則由題意知共有3 種取法；第二步：由第一人取走的書的供書人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的任一人取，只有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3311=9(種)故選B二、排列組合問題的綜合應(yīng)用1 精要總結(jié)排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)排列問題常見方法要熟悉，相鄰用捆綁法、不相鄰用插空法、特殊元素（位置）優(yōu)先處理等，還常通過試驗(yàn)、畫簡圖等手段使問題形象化，從而易于尋求解題途徑由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗(yàn)因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn)組合問題解決的基本方法是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的過程分步，要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義，注意正難則反的思想的應(yīng)用處理排列與組合的綜合性問題應(yīng)遵循的三大原則：先特殊后一般的原則、先選后排的原則、先分類后分步的原則按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”始終是處理排列、組合問題的基本原理，要通過解題訓(xùn)練積累分類和分步的基本技能，還要牢記排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì)，能熟練的進(jìn)行運(yùn)算2 錯(cuò)例辨析例2 從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有（） A140種 B80種 C70種 D35種答案:C錯(cuò)解：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，可這樣?。杭仔?臺、乙型1臺，從剩余部分再任意取一臺；故不同的取法有臺選A錯(cuò)因分析：甲型1臺、乙型1臺，剩余的隨便取一臺會出現(xiàn)重復(fù)，因此，我們需要詳細(xì)將其中的情況分類，或者利用排除法解決正解：方法一：利用排除法，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有種選方法二：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺選變式訓(xùn)練：在去年清華大學(xué)自主招生過程中，我市有4名學(xué)生通過了考核，其中只有3個(gè)專業(yè)可供這4名同學(xué)選擇，每個(gè)專業(yè)至少要有一名同學(xué)填報(bào)，且甲、乙不能選擇同一專業(yè)，則不同的填報(bào)方案種數(shù)為_種 答案:30解：先將4人分成三組，一組2人，其它兩組各1人且甲、乙不在同一組，共有分組方法，3組同學(xué)分別填報(bào)3個(gè)專業(yè)共有填法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知,不同的填報(bào)方案種數(shù)為種例3 某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A 4種 B 10種 C 18種 D 120種錯(cuò)解：贈送4人可以是2本畫冊2本集郵冊，可有=72種贈法；還可以是1本畫冊3本集郵冊，贈法有=48，所以贈法一共有72+48=120種，故選D 錯(cuò)解：由于相同的畫冊和相同的集郵冊是無區(qū)分的，故只需分組不需再排序正解：贈送4人可以是2本畫冊2本集郵冊，由于畫冊與集郵冊都是相同的，可有種贈法；還可以是1本畫冊3本集郵冊，贈法有，所以贈法一共有6+4=10種，故選B 變式訓(xùn)練：亞運(yùn)會期間，某班有四名學(xué)生參加了志愿者工作將這四名學(xué)生分到A、B、C三個(gè)不同的展館服務(wù)，每個(gè)展館至少分配一人若甲要求不到A館，則不同的分配方案有( )A36種 B30種 C24種 D20種 答案：C 解：甲有兩種選擇，剩下的3個(gè)人可以每個(gè)展館都分一人，也可以在其他兩個(gè)展館中一個(gè)展館分兩人，一個(gè)展館分一人，所以不同的分配方案有=24種，故選C三、二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式以及系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1 精要總結(jié)(1)運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng) (其中n，）注意(a+b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，因此一定要注意二項(xiàng)式中兩項(xiàng)的順序問題另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)的系數(shù)是兩個(gè)不同概念，前者只指而后者是指除字母外的常數(shù)部分(2)求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求有時(shí)還需先根據(jù)已知條件求n后，再確定r，才能求出(3)有些三項(xiàng)展開問題可以通過變形變成二項(xiàng)式問題加以解決；有時(shí)也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏兩個(gè)二項(xiàng)式乘積問題的解決也是類似，可以將其中一個(gè)比較簡單的展開，逐項(xiàng)分析；也可以通過兩個(gè)式子的通項(xiàng)乘積建立新的通項(xiàng)公式，然后在進(jìn)行分析（4）求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用特殊值代入法，通常將字母變量賦值為l，-1或0； (5)用二項(xiàng)式定理證明整除問題，一般將被除式構(gòu)造為關(guān)于除式的二項(xiàng)式的形式，再展開，常采用“配湊法”、“消去法”配合整除的有關(guān)知識解決2 錯(cuò)例辨析例4 如果在（+）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)錯(cuò)解：前三項(xiàng)的系數(shù)為成等差數(shù)列，故可知2n=1+，整理可得n2-5n+2=0顯然，不存在這樣的n，故本題無解錯(cuò)因分析：對于二項(xiàng)式系數(shù)的定義與系數(shù)的定義理解不透徹，系數(shù)是指每項(xiàng)中除了字母之外的所有的常數(shù)正解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，由題意得2=1+，得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=Cx，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=變式訓(xùn)練：的展開式中的系數(shù)是，如果展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則等于答案:9，2解：因?yàn)?，令，即所以的系?shù)為；又因?yàn)?，所以或，所以（舍去）?