專題對(duì)點(diǎn)練27不等式選講1.(2018全國(guó),文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.2.(2018全國(guó),文23)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象;(2)當(dāng)x0,+)時(shí),f(x)ax+b,求a+b的最小值.3.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.求證:(1)ab+bc+ac13;(2)a2b+b2c+c2a1.4.已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.專題對(duì)點(diǎn)練27答案1.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1<x<1,2,x1.故不等式f(x)>1的解集為xx>12.(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax-1|<1成立.若a0,則當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax-1|1;若a>0,|ax-1|<1的解集為0<x<2a,所以2a1,故0<a2.綜上,a的取值范圍為(0,2.2.解 (1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12x<1,3x,x1.y=f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí),f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值為5.3.證明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因?yàn)閍2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.4.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.當(dāng)x-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解;當(dāng)-1<x<1時(shí),不等式化為3x-2>0,解得23<x<1;當(dāng)x1時(shí),不等式化為-x+2>0,解得1x<2.所以f(x)>1的解集為x23<x<2.(2)由題設(shè)可得f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1xa,-x+1+2a,x>a.所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),故ABC的面積為23(a+1)2.由題設(shè)得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范圍為(2,+).